Kan-Komplex

Der violette 2-Simplex ${\displaystyle \sigma }$ hat die schwarzen Kanten ${\displaystyle \tau _{0},\tau _{2}}$ als Ränder: ${\displaystyle \partial _{0}\sigma =\tau _{0},\partial _{2}\sigma =\tau _{2}}$.

Eine simpliziale Menge ist ein Kan-Komplex, wenn sie die Kan-Erweiterungs-Eigenschaft erfüllt:

Für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,0\leq k\leq n+1}$ und jede ${\displaystyle (n+1)}$-elementige Menge ${\displaystyle \left\{\tau _{0},\ldots ,\tau _{k-1},\tau _{k+1},\ldots \tau _{n+1}\right\}}$ von ${\displaystyle n}$-Simplizes mit ${\displaystyle \partial _{i}\tau _{j}=\partial _{j-1}\tau _{i}}$ für alle ${\displaystyle i<j}$ gibt es ein ${\displaystyle (n+1)}$-Simplex ${\displaystyle \sigma }$ mit ${\displaystyle \partial _{i}\sigma =\tau _{i}}$ für ${\displaystyle i=0,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,n+1}$.

D. M. Kan[1] gab eine kombinatorische Definition von Homotopiegruppen für Kan-Komplexe.

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum. Die singuläre simpliziale Menge ${\displaystyle S_{*}(X)}$ sei wie folgt definiert. Die ${\displaystyle n}$-Simplizes in ${\displaystyle S_{n}(X)}$ sind die stetigen Abbildungen des Standard-${\displaystyle n}$-Simplexes nach ${\displaystyle X}$. Die Randabbildungen von ${\displaystyle S_{*}(X)}$ werden von den Randabbildungen ${\displaystyle \Delta ^{n-1}\to \Delta ^{n}}$ induziert.

${\displaystyle S_{*}(X)}$ ist ein Kan-Komplex, seine Homotopiegruppen (im Sinne von Kan) stimmen mit den Homotopiegruppen von ${\displaystyle X}$ überein.

• J. Peter May: Simplicial objects in algebraic topology. Reprint of the 1967 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL 1992, ISBN 0-226-51181-2.

• G. Friedman: an elementary illustrated introduction to simplicial sets

1. Daniel Marinus Kan: A combinatorial definition of homotopy groups. In: Ann. of Math. (2) 67 1958, S. 282–312.