Kakuro

Die einfachste mathematische Überlegung, die man sich beim Lösen von Kakuro zunutze macht, ist folgende: Für eine gegebene Anzahl Stellen (Felder) sind bestimmte Summen eindeutig bestimmt. Betrachtet man beispielsweise die Zahl 7 unten rechts senkrecht in obigem Beispiel: Sie soll mit drei Stellen gebildet werden. Hierfür kommt ausschließlich die Zahlenkombination (1, 2, 4) in einer bisher noch nicht bekannten Reihenfolge in Frage. Die Zahl 6 links unten waagerecht lässt sich nur durch eine Kombination der Zahlen (1, 2, 3) in drei Stellen darstellen.

Folgende Zahlen besitzen nur eine einzige Zerlegung in zwei zulässige Summanden: 3 (1, 2), 4 (1, 3), 16 (7, 9) und 17 (8, 9). Ebenso lassen sich Zahlen finden, die nur eine einzige Zerlegung in noch mehr Summanden zulassen.

Bei 2 bis 9 Feldern existieren 502 Zahlensets, aus denen die Lösungen bestehen können. Bei einigen Felder-Summen-Kombinationen gibt es nur ein Zahlenset, das Maximum von 12 Zahlensets findet man bei der Summe 20 und 4 Feldern sowie bei der Summe 25 und 5 Feldern. Durch die Permutation steigt die Zahl der Möglichkeiten im letzten Fall auf 1440 (12 × 5!). Bei 9 Feldern existiert zwar nur ein Zahlenset – nämlich alle Ziffern von 1–9 gemeinsam –, aber durch die Permutation steigt die Zahl der Möglichkeiten auf 9! = 362880. Bei einigen Felder-Summen-Kombinationen sind manche Ziffern gar nicht enthalten. Bei 6 Feldern und Summe 37 z. B. gibt es 2 Zahlensets, aber keines enthält eine 1. Wenn eine 2 oder eine 5 gesichert ist, kann weder eine 3 noch eine 4 vorkommen. Umgekehrt kann keine 2 und auch keine 5 vorkommen, wenn eine 3 oder eine 4 gesichert ist. Durch Streichen dieser Kandidaten wird die Lösung weiter eingegrenzt.

Da in den Feldern des Kakuro nur die Ziffern 1 bis 9 eingetragen werden dürfen, hat zu einer gegebenen Anzahl Stellen deren Summe einen Maximalwert. Eine Reihe von vier Feldern hat beispielsweise maximal den Wert ${\displaystyle 30=9+8+7+6}$. Ebenso hat dieselbe Reihe von Feldern minimal den Wert ${\displaystyle 10=1+2+3+4}$.

Formelmäßig lässt sich der Maximal- bzw. Minimalwert einer Summe abhängig von der Stellenanzahl ${\displaystyle n}$ wie folgt ausdrücken (${\displaystyle u(n)}$ bezeichnet den Maximal-, ${\displaystyle l(n)}$ den Minimalwert):

${\displaystyle u(n)=\sum _{k=9-n+1}^{9}k={\frac {19\cdot n-n^{2}}{2}}}$

${\displaystyle l(n)=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}}$ (Gaußsche Summenformel)

Da sich die Ziffern in einer Reihe nicht wiederholen dürfen, hat eine Reihe maximal neun Stellen und damit maximal den Wert 45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9.