KPZ-Fixpunkt

Eine Höhenfunktion mit Fluktuation abhängig von der (1+1) Raumzeit

Die Modelle in der KPZ-Universalitätsklasse entsprechen einer (nicht-symmetrischen) flukturierenden Grenzfläche. Dies bedeutet, dass die Modelle durch eine Funktion beschrieben werden, welche analog zu einer wachsenden Höhenfunktion ${\displaystyle h(t,{\vec {x}})}$ einer Grenzfläche ist, deren Höhe von der Zeit ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$ und der Position im Raum ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$ abhängt. Wir beschränken uns auf den Fall ${\displaystyle (1+1)}$, d. h. eine Zeit- und Raumdimension ${\displaystyle (t,x)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} }$, da der allgemeine Fall weitaus weniger erforscht ist.

Einige Modelle in der KPZ-Universalitätsklasse sind stochastische Grenzflächenwachstumsmodelle (englisch random interface growth models). Bei solchen Modellen hat man direkt mit einer Höhenfunktion zu tun, welche das stochastische Wachstum modelliert. Bei anderen Modellen wie zum Beispiel den gerichteten Polymermodellen (englisch directed polymer model) existiert eine analoge Funktion, die in diesem Fall die freie Energie beschreibt. Eine Klassifikation aller Modelle der KPZ-Universalitätklasse ist weiterhin Gegenstand der Forschung.

Das Eden-Wachstumsmodell nach 59 Schritten. Das letzte hinzugefügte Teilchen wurde rot eingefärbt.

Ein einfaches Beispiel für ein stochastisches Wachstumsmodell ist das Eden-Modell. Man betrachtet ein Gitter in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ und beginnt mit einem Teilchen an einer Position ${\displaystyle (i,j)}$. Der Prozess setzt dann zufällig (unter Gleichverteilung) ein neues Teilchen als direkter Nachbar (adjazent) neben die bereits existierenden Teilchen auf das Gitter. Die äußersten Teilchen bilden einen Rand und die Höhenfunktion ${\displaystyle h(t,x)}$ ist die Distanz des Randes zu seinem Anfang bzw. nach einem Shift zu seinem Zentrum. Das Eden-Modell kann zur Modellierung des Wachstumes von Bakterienkolonien oder der Ausbreitung eines Feuers auf einer Wiese verwendet werden.

Trotz seiner Einfachheit stellte sich heraus, dass das Eden-Modell mathematisch äußerst kompliziert ist. Nach zum Beispiel 10'000 Schritten besteht der Rand aus einer chaotischen Kurve und es ist schwierig irgendetwas zu beweisen. Eine Eigenschaft unterscheidet jedoch das Eden-Modell von anderen stochastischen Modellen. Es existiert eine Korrelation in der Raum-Dimension, d. h. die neuen Teilchen landen nicht irgendwo auf dem Gitter, sondern sind direkte Nachbarn der vorher platzierten Teilchen. Diese Eigenschaft unterscheidet zum Beispiel Modelle in der KPZ-Universalitätsklasse von Modellen in der klassischen gaußschen Universalitätsklasse. Man vermutet durch heuristische Argumente und numerische Experimente, dass das Eden-Modell in der KPZ-Universalitätsklasse liegen sollte, ein mathematischer Beweis existiert zurzeit aber noch nicht.

Das kanonische Modell der KPZ-Universalitätsklasse ist die KPZ-Gleichung

${\displaystyle \partial _{t}h(t,x)=\lambda (\partial _{x}h)^{2}+\nu \partial _{x}^{2}h+\sigma \xi (t,x),}$

wobei ${\displaystyle \lambda ,\nu ,\sigma }$ Konstanten sind. Die drei Terme der Gleichung bedeuten:

1. Wachstum ${\displaystyle (\partial _{x}h)^{2}}$: die Höhenfunktion wächst nichtlinear mit der Zeit, die Wachstumsgeschwindigkeit ist rotationsinvariant und steigungsabhängig.
2. Glättung ${\displaystyle \partial _{x}^{2}h}$: das Modell besitzt einen Diffusionsausdruck zur Glättung. Dies kann zum Beispiel bedeuten, dass geformte Spitzen im Rand mit der Zeit abflachen und tiefe Löcher schnell gefüllt werden.
3. Fluktuation ${\displaystyle \xi }$: die Grenzfläche des Modelles flukturiert gaußisch. ${\displaystyle \xi (t,x)}$ ist raumzeitliches weißes Rauschen.

Alle Modelle in der KPZ-Universalitätsklasse besitzen diese drei Eigenschaften und ihre Höhenfunktion flukturiert mit einem Skalierungsexponenten von ${\displaystyle 1/3}$. Alternativ kann man die KPZ-Universalitätklasse auch als die Klasse der Modelle definieren, die zum KPZ-Fixpunkt konvergieren.

Man vermutet nun, dass für alle Modelle in der KPZ-Universalitätsklasse die Höhe zur Zeit ${\displaystyle t}$ um ihren Erwartungswert mit ${\displaystyle t^{1/3}}$ flukturiert und das die räumliche Korrelation der Fluktuationen von der Ordnung ${\displaystyle t^{2/3}}$ ist. Diese Exponenten führen zur sogenannten 1:2:3-Skalierung der Höhenfunktion

${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}h(\varepsilon ^{-3/2}t,\varepsilon ^{-1}x)-C_{\varepsilon }t,}$

wobei 1:3 und 2:3 das Verhältnis der Exponenten beschreibt und ${\displaystyle C_{\varepsilon }}$ eine Konstante bezeichnet.[2] Die 1:2:3-Skalierung wurde für verschiedene Modelle der Physik schon in den 1980ern vorgeschlagen.

Die starke KPZ-Universalitätsvermutung besagt, dass alle Modelle in der KPZ-Universalitätsklasse unter der 1:2:3-Skalierung der Höhenfunktion gegen den gleichen universalen Markow-Prozess ${\displaystyle ({\mathfrak {h}}(t,x))_{t\geq 0,x\in \mathbb {R} }}$ in Verteilung konvergieren, den KPZ-Fixpunkt, sofern die Anfangsbedingungen auch konvergieren.

Das bedeutet in Formeln

${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-3/2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t)\;{\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathfrak {h}}(t,x)}$

mit Initialbedingung

${\displaystyle {\mathfrak {h}}(0,x):=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}h(0,c_{2}\varepsilon ^{-1}x),}$

wobei ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$ Konstanten sind, die vom Modell abhängen.[3]

Entfernt man aus der KPZ-Gleichung den Wachstumsterm (setzt also ${\displaystyle \lambda =0}$)

${\displaystyle \partial _{t}h(t,x)=\nu \partial _{x}^{2}h+\sigma \xi ,}$

so konvergiert die KPZ-Gleichung unter der 1:2:4-Skalierung

${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t)\;{\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathfrak {h}}(t,x)}$

zum Edwards-Wilkinson-Fixpunkt.

Die schwache KPZ-Universalitätsvermutung behauptet nun, dass die KPZ-Gleichung der einzige heterokline Orbit zwischen den beiden Equlibirumpunkten ist.

Der KPZ-Fixpunkt ${\displaystyle ({\mathfrak {h}}(t,x))_{t\geq 0,x\in \mathbb {R} }}$ ist ein Markow-Prozess dessen Zustandsraum der Raum der oberhalbstetigen Funktionen mit einer lokalen Hausdorff-Topologie ist und nicht der Raum der stetigen Funktionen. Der Grund hierfür ist, weil viele Modelle in der Klasse Anfangsbedingungen besitzen, die nicht in diesem Raum sind und zu Funktionen konvergiert, die analog zur Delta-Distribution sind (narrow wedge).[4]

Matetski-Quastel-Remenik zeigten, dass die ${\displaystyle n}$-Punkt-Verteilung für ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle t>0}$ als Fredholm-Determinante

${\displaystyle \mathbb {P} _{{\mathfrak {h}}(0,\cdot )}({\mathfrak {h}}(t,x_{1})\leq a_{1},{\mathfrak {h}}(t,x_{2})\leq a_{2},\dots ,{\mathfrak {h}}(t,x_{n})\leq a_{n})=\det(I-K)_{L^{2}(\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}\times \mathbb {R} )}}$

dargestellt werden kann, wobei ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle K}$ ein spezieller Spurklasse-Operator ist und das Subskript bedeutet, dass der Prozess in ${\displaystyle {\mathfrak {h}}(0,\cdot )}$ startet.[4]

Fixiert man die Zeit oder betrachtet den Grenzwert

${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }t^{-1/3}(h(c_{1}t,c_{2}t^{2/3}x)-c_{3}t){\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathcal {A}}(x)}$

so erhält man den Airy-Prozess ${\displaystyle ({\mathcal {A}}(x))_{x\in \mathbb {R} }}$ der auch in der Theorie der Zufallsmatrizen erscheint, welcher von den Initialbedingungen abhängt.[5]