Kähler-Differential

Es sei ${\displaystyle A}$ ein Ring und ${\displaystyle B}$ eine ${\displaystyle A}$-Algebra.

Für einen ${\displaystyle B}$-Modul ${\displaystyle M}$ ist eine ${\displaystyle A}$-lineare Derivation von ${\displaystyle B}$ mit Werten in ${\displaystyle M}$ definiert als eine ${\displaystyle A}$-lineare Abbildung ${\displaystyle D\colon B\to M}$, für die die Leibnizregel gilt, das heißt

${\displaystyle D(b_{1}b_{2})=b_{1}D(b_{2})+b_{2}D(b_{1}).}$

Die Menge aller solcher Derivationen bildet einen ${\displaystyle B}$-Modul, der mit

${\displaystyle \mathrm {Der} _{A}(B,M)}$

bezeichnet wird.

Weiter sei

${\displaystyle I:=\ker(B\otimes _{A}B\to B)}$

der Kern der Multiplikation, der über den linken Faktor als ${\displaystyle B}$-Modul aufgefasst werde. Der Modul der Kähler-Differentiale oder der relativen Differentiale ist dann

${\displaystyle \Omega _{B/A}:=I/I^{2}.}$

Die universelle Derivation ist die Abbildung

${\displaystyle \mathrm {d} \colon B\to \Omega _{B/A},\quad b\mapsto \mathrm {d} b:=b\otimes 1-1\otimes b.}$

Sie ist eine ${\displaystyle A}$-lineare Derivation.

Es gilt:

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{B}(\Omega _{B/A},M)\to \mathrm {Der} _{A}(B,M),\quad f\mapsto f\circ \mathrm {d} ,}$

ist ein Isomorphismus. Man kann das auch so formulieren: Der Funktor ${\displaystyle \mathrm {Der} _{A}(B,{-})}$ wird durch das Paar ${\displaystyle (\Omega _{B/A},\mathrm {d} )}$ dargestellt. Insbesondere ist ${\displaystyle \Omega _{B/A}}$ durch diese Eigenschaft im Wesentlichen eindeutig bestimmt.

• Ist ${\displaystyle A}$ ein Ring, ${\displaystyle B}$ eine ${\displaystyle A}$-Algebra, ${\displaystyle C}$ eine ${\displaystyle B}$-Algebra und ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle C}$-Modul, so ist die folgende Sequenz exakt:

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Der} _{B}(C,M)\longrightarrow \mathrm {Der} _{A}(C,M)\longrightarrow \mathrm {Der} _{A}(B,M).}$

Infolgedessen ist die entsprechende Sequenz der relativen Differentiale exakt:

${\displaystyle \Omega _{B/A}\otimes _{B}C\longrightarrow \Omega _{C/A}\longrightarrow \Omega _{C/B}\longrightarrow 0.}$

• Ist speziell ${\displaystyle C=B/I}$ für ein Ideal ${\displaystyle I}$ in ${\displaystyle B}$, so ist ${\displaystyle \mathrm {Der} _{B}(C,M)=0}$, aber man kann noch einen weiteren Term in der exakten Sequenz angeben:

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Der} _{A}(B/I,M)\longrightarrow \mathrm {Der} _{A}(B,M)\longrightarrow \mathrm {Hom} _{B/I}(I/I^{2},M)}$

Infolgedessen ist die folgende Sequenz der Moduln der Kähler-Differentiale exakt:

${\displaystyle I/I^{2}\longrightarrow \Omega _{B/A}\otimes _{B}B/I\longrightarrow \Omega _{(B/I)/A}\longrightarrow 0.}$

Es sei ${\displaystyle L/K}$ eine Körpererweiterung.

• Hat ${\displaystyle K}$ Charakteristik 0, so ist ${\displaystyle \dim _{L}\Omega _{L/K}}$ gleich dem Transzendenzgrad von ${\displaystyle L/K}$.
• Hat ${\displaystyle K}$ Charakteristik ${\displaystyle p>0}$, und ist ${\displaystyle L/K}$ endlich erzeugt, so gilt ${\displaystyle \Omega _{L/K}=0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle L/K}$ algebraisch und separabel ist. Ist beispielsweise ${\displaystyle L=K({\sqrt[{p}]{a}})}$ eine nichttriviale inseparable Erweiterung, so ist ${\displaystyle \Omega _{L/K}}$ ein eindimensionaler ${\displaystyle L}$-Vektorraum.

• Ist ${\displaystyle B=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$, so ist ${\displaystyle \Omega _{B/A}}$ ein freier ${\displaystyle B}$-Modul mit Erzeugern ${\displaystyle \mathrm {d} X_{1},\ldots ,\mathrm {d} X_{n}}$.