JSJ-Zerlegung

Die Jaco-Shalen-Johannson-Zerlegung, abgekürzt JSJ-Zerlegung, benannt nach William Jaco, Peter Shalen und Klaus Johannson, ist eine Aussage aus der Topologie der 3-Mannigfaltigkeiten.

Aussage

Sie besagt, dass jede irreduzible 3-dimensionale Mannigfaltigkeit eine (bis auf Isotopie) eindeutige Seifert-gefaserte Untermannigfaltigkeit mit atoroidalem Komplement besitzt. Diese wird auch als charakteristische Untermannigfaltigkeit bezeichnet.

Beweis

Der Beweis wurde 1979 von William Jaco und Peter Shalen[1] sowie, unabhängig von diesen, von Klaus Johannson[2] durchgeführt.

Konsequenzen

Die JSJ-Zerlegung ist eine wichtige Voraussetzung für die Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten. Jede Seifert-gefaserte Mannigfaltigkeit lässt sich geometrisieren, und die von Grigori Perelman bewiesene Thurston-Vermutung besagt, dass jede atoroidale irreduzible 3-Mannigfaltigkeit eine hyperbolische Metrik trägt.

Quellen
  1. Jaco, William H.; Shalen, Peter B. Seifert fibered spaces in 3-manifolds. Mem. Amer. Math. Soc. 21 (1979), no. 220
  2. Johannson, Klaus, Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries. Lecture Notes in Mathematics, 761. Springer, Berlin, 1979. ISBN 3-540-09714-7
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