Iteration

In der Mathematik bezeichnet man als Iteration die wiederholte Anwendung derselben Funktion. Das bedeutet

${\displaystyle f^{\langle {0}\rangle }:=\mathrm {id} _{X}}$

und die Bildung der Kompositionen

${\displaystyle f^{\langle {n}\rangle }:=f\circ f^{\langle {n-1}\rangle }=\underbrace {f\circ f\circ \dotsb \circ f} _{n{\text{ mal}}}}$

für eine gegebene Funktion ${\displaystyle f\colon X\to X}$, bei der die Bildmenge ${\displaystyle f(X)}$ im Urbild ${\displaystyle X}$ enthalten ist, d. h.

${\displaystyle f(X)\subset X}$.

Bei negativen Iterationsnummern, erhält man, falls zulässig, Umkehrfunktionen, bspw. die minus erste Iteration.

• Ist   ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$   die Funktion der Verdoppelung
      ${\displaystyle g(x)=2x}$,
  dann ist
      ${\displaystyle g^{\langle {n}\rangle }(x)=2^{n}x}$
  und
      ${\displaystyle g^{\langle {-1}\rangle }(x)={\frac {x}{2}}}$ die Umkehrfunktion.
• Ist   ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$   die quadratische Funktion
      ${\displaystyle h(x)=x^{2}}$,
  dann ist
      ${\displaystyle h^{\langle {n}\rangle }(x)=x^{2^{n}}}$
  und
      ${\displaystyle h^{\langle {-1}\rangle }(x)={\sqrt {x}}}$ die Umkehrfunktion.

Häufig werden beim Exponenten, d. h. beim Iterationsfaktor ${\displaystyle n}$, die spitzen Klammern weggelassen, so dass sich Verwechslungsmöglichkeiten mit Potenz und Ableitung ergeben. In diesem Artikel sollen jedoch die Schreibweisen

für die Potenz:	${\displaystyle f^{\;\!0}}$	${\displaystyle$ :=\mathrm {1} }	und	${\displaystyle f^{\;\!n+1}}$	${\displaystyle$ :=f\cdot f^{\;\!n}}	(ohne hochgestellte Klammer)
für die Ableitung:	${\displaystyle f^{(0)}}$	${\displaystyle$ :=f}	und	${\displaystyle f^{(n+1)}}$	${\displaystyle$ :=(f^{(n)})'}	(mit hochgestellter runder Klammer),
für die Iteration:	${\displaystyle f^{\langle {0}\rangle }}$	${\displaystyle$ :=\mathrm {id} _{X}}	und	${\displaystyle f^{\langle {n+1}\rangle }}$	${\displaystyle$ :=f\circ f^{\langle {n}\rangle }}	(mit hochgestellter spitzer ${\displaystyle \langle \rangle }$ Klammer).

eingehalten werden. Dann sind beispielsweise für die Sinusfunktion

${\displaystyle \sin ^{2}+\cos ^{2}=1}$	zwei zweite Potenzen (Quadrate),
${\displaystyle \sin ^{(2)}=-\sin }$	die zweite Ableitung und
${\displaystyle \sin ^{\langle {-}1\rangle }=\arcsin }$	die Umkehrfunktion.

• Iteration wird in Fällen angewandt, in denen das Ergebnis sich nicht in geschlossener Form berechnen lässt, zum Beispiel bei der Kepler-Gleichung, der Berechnung der Oberflächenform einer asphärischen Linse oder der Wärmeverteilung auf einer Leiterplatte.
• Lineare Gleichungssysteme lassen sich unter bestimmten Voraussetzungen iterativ lösen.
• Bei Anwendungsproblemen können die Eingabedaten fehlerbehaftet sein, dann ist die „exakte Lösung“ des gegebenen Problems nicht notwendigerweise besser als ihre Approximation. Das Iterationsverfahren wird bevorzugt, wenn es eine gute Näherung schneller liefert, als die Berechnung der exakten Lösung dauert.
• Manche Funktionen auf Taschenrechnern oder auch Fraktale werden iterativ berechnet.

Approximationen an Nullstellen einer stetigen Funktion sind, sofern überhaupt eine existiert, iterativ oft rascher gefunden als durch andere algebraische Methoden (etwa als geschlossener Ausdruck):

1. Man wählt zwei Näherungswerte ${\displaystyle x_{1},\,x_{2}}$ für die Nullstelle der Funktion ${\displaystyle f}$, und zwar so, dass ${\displaystyle f(x_{1})\cdot f(x_{2})<0}$ ist.
2. Man stellt die Gleichung der durch ${\displaystyle (x_{1};f(x_{1}))}$ und ${\displaystyle (x_{2};f(x_{2}))}$ gegebenen Sekante auf.
3. Die Schnittstelle ${\displaystyle x_{3}=x_{1}-{\frac {x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}}\cdot f(x_{1})}$ der Sekante mit der x-Achse ist dann ein „besserer“ Näherungswert für die gesuchte Nullstelle von ${\displaystyle f}$.
4. Man wiederholt die beiden vorgenannten Schritte so lange, bis die Nullstelle mit gewünschter Genauigkeit gefunden ist (Regula falsi).