Isogenie

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man einen Homomorphismus $\phi \colon A\rightarrow B$ von Abelschen Varietäten $A$ und $B$ eine Isogenie, wenn $\phi$ surjektiv ist und einen endlichen Kern besitzt. Gibt es eine Isogenie $\phi \colon A\rightarrow B$ , so heißen die Abelschen Varietäten $A$ und $B$ isogen. Speziell sind Isogenien "rationale" Abbildungen zwischen elliptischen Kurven, welche das Gruppengesetz respektieren.[1]

Definition

Sind $A$ und $B$ Abelsche Varietäten, so sind die folgenden Aussagen über einen Homomorphismus $\phi \colon A\rightarrow B$ äquivalent[2]:

$\phi$ ist eine Isogenie, das heißt $\phi$ ist surjektiv und der Kern von $\phi$ ist endlich.
$A$ und $B$ besitzen die gleiche Dimension und $\phi$ ist surjektiv.
$A$ und $B$ besitzen die gleiche Dimension und der Kern von $\phi$ ist endlich.

Ist eine (und damit jede) dieser Bedingungen erfüllt, so nennt man $A$ und $B$ isogen.

Der in diesem Artikel behandelte Begriff einer Isogenie Abelscher Varietäten lässt sich verallgemeinern zum Begriff einer Isogenie von Gruppenschemata.

Einzelnachweise

F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.
James Milne: Abelian Varieties. Course Notes, version 2.0, 2008, Proposition 7.1. (englisch)

Literatur

Serge Lang: Abelian Varieties. Springer Verlag, New York 1983, ISBN 3-540-90875-7 (englisch).
David Mumford: Abelian Varieties. Oxford University Press, London 1974, ISBN 0-19-560528-4 (englisch).

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[1] F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.

[MilneAVPropIsogeny-2] James Milne: Abelian Varieties. Course Notes, version 2.0, 2008, Proposition 7.1. (englisch)