Inverse Betaverteilung

Die inverse Betaverteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, mit zwei Parametern ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$. Es handelt sich um einen Sonderfall der Gamma-Gamma-Verteilung und somit um eine Mischverteilung.

Die Dichtefunktion ist:

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$.

Dabei ist ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$ die Betafunktion.

Ein Zufallsvariable ${\displaystyle X}$, die einer inversen Betaverteilung folgt hat den Erwartungswert

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{, falls }}\beta >1}$

den Modus

${\displaystyle \operatorname {Mod} (X)={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{, falls }}\alpha \geq 1{\text{, sonst }}\operatorname {Mod} (X)=0}$

und die Varianz

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{, falls }}\beta >2}$.