Interne Mengenlehre

Für jede interne Formel ${\displaystyle \Phi }$ (mit ${\displaystyle n+1}$ freien Variablen), in der das Prädikat ${\displaystyle \mathrm {st} }$ nicht vorkommt, gilt:

${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }t_{1},...,t_{n}(\forall ^{\mathrm {st} }x:\Phi (x,t_{1},...,t_{n})\Leftrightarrow \forall x:\Phi (x,t_{1},...,t_{n}))}$

Die Umformulierung

${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }t_{1},...,t_{n}(\exists ^{\mathrm {st} }x:\Phi (x,t_{1},...,t_{n})\Leftrightarrow \exists x:\Phi (x,t_{1},...,t_{n}))}$

zeigt, dass jede Menge, deren Existenz und Eindeutigkeit in der klassischen Theorie bewiesen werden kann, eine Standardmenge ist.

Für jede interne Formel ${\displaystyle \Phi }$, in der die Variable ${\displaystyle z}$ nicht frei ist und das Prädikat ${\displaystyle \mathrm {st} }$ nicht vorkommt, gilt:

${\displaystyle (\forall ^{\mathrm {st\,fin} }z\exists x\forall y\in z:\Phi )\iff (\exists x\forall ^{\mathrm {st} }y:\Phi )}$

Das Idealisierungsaxiom liefert zwei wichtige Folgerungen:

1. Eine Menge ist standard und endlich, genau dann, wenn alle ihre Elemente endlich sind.
2. Es existiert eine endliche Menge, die alle Standardmengen enthält.

Gerade die zweite Aussage ist gewöhnungsbedürftig: Es existiert eine endliche Menge, die (nach der Folgerung aus dem Transferaxiom) alle in der klassischen Mengenlehre konstruierbaren Mengen enthält. Diese endliche Menge ist allerdings nicht standard, da sie sonst nach dem Transfer-Axiom alle Elemente überhaupt enthält. Allerdings ist auch der Begriff „endlich“ selbst nicht standard, oder wie Nelson selbst sagt: „‚endlich‘ bedeutet nicht das, was wir immer dachten.“[2]

Obwohl diese Definition gewöhnungsbedürftig ist, ist sie der Schlüssel zur Nichtstandard-Analysis: Wir können folgern, dass es reellen Zahlen gibt, die größer als 0, aber kleiner als jede positive Standardzahl sind.

Für jede (interne oder externe) Formel ${\displaystyle \Phi }$ (in der die Variable ${\displaystyle y}$ nicht vorkommt), gilt:

${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }x\exists ^{\mathrm {st} }y\forall ^{\mathrm {st} }z(z\in y\iff (z\in x\land \Phi (x)))}$

Das Standardisierungsaxiom erlaubt (als einziges Axiom) die Konstruktion von Mengen mit Hilfe von Formeln, die das Prädikat ${\displaystyle \mathrm {st} }$ verwenden. Allerdings kann eine so konstruierte Menge nicht-standard Elemente enthalten, die ${\displaystyle \Phi }$ nicht erfüllen.

Mit Hilfe dieser Infinitesimale kann beispielsweise die Stetigkeit charakterisiert werden: Eine Standardfunktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ist in einem Punkt ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ genau dann stetig, wenn für alle ${\displaystyle y\approx x}$ gilt: ${\displaystyle f(y)\approx f(x)}$. Die Funktion ist genau dann stetig, wenn sie in allen Standardpunkten stetig ist und genau dann gleichmäßig stetig, wenn sie in allen Punkten stetig ist.

Im Gegensatz zur „${\displaystyle \epsilon }$-${\displaystyle \delta }$-Definition“ (mit Hilfe von Grenzwerten) ist diese Definition etwas anschaulicher: Wenn das Argument nur ein kleines bisschen geändert wird, dann ändert sich auch das Bild nur ein kleines bisschen.

Beispielsweise ist die Funktion ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ stetig, denn sei ${\displaystyle x_{0}}$ standard und ${\displaystyle \epsilon \approx 0,\epsilon \neq 0}$, so ist

${\displaystyle f(x_{0}+\epsilon )=x_{0}^{2}+2x_{0}\epsilon +\epsilon ^{2}\approx x_{0}^{2}=f(x)}$

Allerdings ist ${\displaystyle f}$ nicht gleichmäßig stetig, da sie etwa im Punkt ${\displaystyle \epsilon ^{-1}\approx \infty }$ nicht stetig ist:

${\displaystyle f(\epsilon ^{-1}+\epsilon )=\epsilon ^{-2}+2\epsilon ^{-1}\epsilon +\epsilon ^{2}\approx \epsilon ^{-2}+2\not \approx f(\epsilon ^{-1})}$

Die Ableitung einer Funktion ist im Allgemeinen wie üblich definiert. Für Standardfunktionen gibt es allerdings eine äquivalente Formulierung: Die Ableitung einer (reellen) Standardfunktion ${\displaystyle f}$ ist eine Standardfunktion ${\displaystyle f'}$, die jedem Standardpunkt ${\displaystyle x}$ (in dem ${\displaystyle f}$ differenzierbar ist) eine Standardzahl zuordnet, so dass für alle ${\displaystyle \epsilon \approx 0,\epsilon \neq 0}$ gilt:

${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {f(x+\epsilon )-f(x)}{\epsilon }}}$

Diese Formulierung kann mit Hilfe des Transfer-Axioms beim Finden der Ableitung helfen. Was ist beispielsweise die Ableitung von ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$?

Die Funktion ist standard. Angenommen, ${\displaystyle x_{0}}$ ist irgendeine Standardzahl. Dann gilt für alle ${\displaystyle \epsilon \approx 0,\epsilon \neq 0}$

${\displaystyle f'(x_{0})\approx {\frac {(x_{0}+\epsilon )^{2}-x_{0}^{2}}{\epsilon }}={\frac {x_{0}^{2}+2x_{0}\epsilon +\epsilon ^{2}-x_{0}^{2}}{\epsilon }}=2x_{0}+\epsilon \approx 2x_{0}}$

Also ist für alle Standardwerte ${\displaystyle f'(x)=2x}$, und mit dem Transferaxiom muss das für alle ${\displaystyle x}$ gelten.

Ist ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ eine Standardmenge, ${\displaystyle f\colon D\rightarrow \mathbb {R} }$ eine integrierbare Standardfunktion und ${\displaystyle F}$ eine endliche Menge, die alle Standardzahlen in ${\displaystyle D}$ enthält, dann ist ${\displaystyle \int _{D}f(x)dx\approx \sum _{F}f(x)\Delta x}$, wobei ${\displaystyle \Delta x}$ der Abstand von ${\displaystyle x}$ zum nächstgrößeren Punkt aus ${\displaystyle F}$ ist.

Damit lässt sich recht einfach und anschaulich die Substitutionsregel für das Integral herleiten: Soll in dieser Summe ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle g(y)}$ ersetzt werden (wobei ${\displaystyle g}$ eine geeignete Standardfunktion ist), so muss auch ${\displaystyle \Delta x}$ durch ein geeignetes ${\displaystyle \Delta y}$ ersetzt werden.

Falls aber ${\displaystyle g}$ differenzierbar, so ist (vgl. Beispiel Differentiation)

${\displaystyle g'(y)\approx {\frac {g(y+\Delta y)-g(y)}{\Delta y}}={\frac {\Delta g(y)}{\Delta y}}={\frac {\Delta x}{\Delta y}}}$

und dieser Term kann – anders als das formale Objekt ${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}}$ – einfach umgeformt und eingesetzt werden:

${\displaystyle \int _{D}f(x)dx\approx \sum _{F}f(x)\Delta x\approx \sum _{F'}f(g(y))g'(y)\Delta y\approx \int _{D'}f(g(y))g'(y)dy}$

Und da sowohl ${\displaystyle f}$, als auch ${\displaystyle g}$ Standardfunktionen sind, müssen die Integrale gleich sein.