Integralkriterium

Es sei ${\displaystyle f}$ eine monoton fallende Funktion, die auf dem Intervall ${\displaystyle [p,\infty )}$ mit einer ganzen Zahl ${\displaystyle p}$ definiert ist und nur nichtnegative Werte annimmt. Dann konvergiert die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=p}^{\infty }f(n)}$ genau dann, wenn das Integral ${\displaystyle \textstyle \int _{p}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}$ existiert, das heißt, wenn es einen endlichen Wert annimmt. Anstatt von der Existenz des Integrals spricht man manchmal auch – gleichbedeutend – von der Konvergenz des Integrals.

Genauer: Sei ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,f\colon [p,\infty )\to [0,\infty )}$ monoton fallend, dann gilt

${\displaystyle f}$ ist auf ${\displaystyle [p,\infty )}$ integrierbar ${\displaystyle \iff \sum _{n=p}^{\infty }f(n)}$ ist konvergent.

Falls eines von beiden, also Existenz des Integrals beziehungsweise Konvergenz der Reihe, und damit auch das andere, zutrifft, gelten die Abschätzungen

${\displaystyle \sum _{n=p+1}^{\infty }f(n)\leq \int _{p}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x\leq \sum _{n=p}^{\infty }f(n)}$.

Um zu prüfen, ob die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

konvergiert, stellt man fest, dass sie mit der Funktion

${\displaystyle f\colon [1,\infty )\to \mathbb {R} ,\quad f(x)={\frac {1}{x^{2}}}}$

als ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ geschrieben werden kann. Die Funktion ${\displaystyle f}$ ist im Intervall ${\displaystyle I=[1,\infty )}$ monoton fallend und es gilt:

${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\left[-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{b}=1.}$

Das Integral ist also endlich und nach dem Integralkriterium ist die Reihe somit konvergent.

Ähnlich kann die harmonische Reihe ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ mit ${\displaystyle f\colon [1,\infty )\to \mathbb {R} ,\quad f(x)={\frac {1}{x}}}$ als ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ umgeschrieben werden. Die Funktion ${\displaystyle f}$ ist im Intervall ${\displaystyle I=[1,\infty )}$ monoton fallend, das heißt, dass das Integralkriterium angewendet werden kann:

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }{\bigg [}\ln(x){\bigg ]}_{1}^{b}=+\infty }$

Das Integral ist divergent und somit die harmonische Reihe auch.

Das Integralkriterium ist schon durch die Anschauung zugänglich: Gerade die letzte Zeile ähnelt einer populären Begründung des Begriffs des Riemann-Integrals mithilfe von Ober- und Untersummen.

Weil nach Voraussetzung ja ${\displaystyle f}$ monoton fällt, ist auf jedem Intervall ${\displaystyle [q,q+1]}$ (mit einer ganzen Zahl ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle f(q)}$ der größte und ${\displaystyle f(q+1)}$ der kleinste Funktionswert auf diesem Intervall. Weil das Intervall die Breite 1 hat, ist der Flächeninhalt unter ${\displaystyle f}$ immer kleiner oder gleich ${\displaystyle f(q)\cdot 1}$ und größer oder gleich ${\displaystyle f(q+1)\cdot 1}$. Wenn nun das Integral oder die Reihe konvergiert, so muss auch der jeweils andere Ausdruck konvergieren.

Oder: Die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=p}^{\infty }f(n)}$ konvergiert, nähert sich also ab ${\displaystyle p}$ unendlich nahe an den Grenzwert an. Für das Integral bedeutet dies, dass die Fläche nicht mehr größer wird, sondern sich ebenfalls an einen (Flächen)-Wert annähert. Hätte die Fläche gegen unendlich keinen Grenzwert, könnte nie ein Wert für das Integral ${\displaystyle \textstyle \int _{p}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}$ fest gemacht werden und somit das Integral keinen endlichen Wert annehmen, was im Widerspruch zur obigen Definition steht.

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4