Konjugation (Gruppentheorie)

Die Konjugationsoperation ist eine Operation einer Gruppe auf sich selbst, die entweder als Linksoperation

${\displaystyle (g,h)\mapsto ghg^{-1}}$

oder als Rechtsoperation

${\displaystyle (g,h)\mapsto h^{-1}gh}$

definiert ist.

Für die Rechtsoperation ${\displaystyle (g,h)\mapsto h^{-1}gh}$ ist die exponentielle Schreibweise ${\displaystyle h^{-1}gh=g^{h}}$ üblich. In dieser Notation erfüllt die Konjugationsoperation die Beziehung ${\displaystyle (x^{g})^{h}=x^{gh}}$. Im Folgenden wird die Konjugationsoperation als Linksoperation definiert.

Zwei Elemente ${\displaystyle h_{1}}$ und ${\displaystyle h_{2}}$ einer Gruppe G heißen zueinander konjugiert, wenn es ein Element ${\displaystyle g\in G}$ gibt, sodass ${\displaystyle h_{1}=gh_{2}g^{-1}}$ ist. Die Konjugiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Sie besitzt also folgende Eigenschaften:

• Jedes Element ${\displaystyle h}$ ist konjugiert zu sich selbst (Reflexivität).
• Ist ${\displaystyle h_{1}}$ konjugiert zu ${\displaystyle h_{2}}$, so ist auch ${\displaystyle h_{2}}$ konjugiert zu ${\displaystyle h_{1}}$ (Symmetrie).
• Ist ${\displaystyle h_{1}}$ konjugiert zu ${\displaystyle h_{2}}$ und ${\displaystyle h_{2}}$ konjugiert zu ${\displaystyle h_{3}}$, dann ist auch ${\displaystyle h_{1}}$ konjugiert zu ${\displaystyle h_{3}}$ (Transitivität).

Alle Elemente, die zueinander konjugiert sind, bilden jeweils eine Äquivalenzklasse, die sogenannte Konjugationsklasse von ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle G\cdot h=\left\{ghg^{-1}\mid g\in G\right\}}$

Dabei kann als ${\displaystyle h}$ ein beliebiges Element der Konjugationsklasse gewählt werden. Die Konjugationsklassen sind die Bahnen der Konjugationsoperation.

Der Stabilisator

${\displaystyle Z_{G}(x)=\left\{g\in G\mid x=gxg^{-1}\right\}}$

eines Elementes ${\displaystyle x}$ ist der Zentralisator von ${\displaystyle x}$.

Zwei Untergruppen ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ einer Gruppe ${\displaystyle G}$ heißen konjugiert zueinander, wenn es ein ${\displaystyle g\in G}$ gibt mit ${\displaystyle V=gUg^{-1}}$.

Eine Untergruppe ${\displaystyle N}$ einer Gruppe ${\displaystyle G}$ ist invariant unter Konjugation, wenn für alle Elemente ${\displaystyle h}$ aus ${\displaystyle N}$ und alle Elemente ${\displaystyle g}$ aus ${\displaystyle G}$ das Produkt ${\displaystyle ghg^{-1}}$ wieder in ${\displaystyle N}$ liegt:

${\displaystyle gNg^{-1}=N}$

Eine unter Konjugation invariante Untergruppe einer Gruppe wird als Normalteiler der Gruppe bezeichnet. Normalteiler erlauben die Bildung von Faktorgruppen der Gruppe.

Zwei Gruppenwirkungen ${\displaystyle G_{1}\times X\to X}$ und ${\displaystyle G_{2}\times X\to X}$ heißen konjugiert zueinander, wenn ${\displaystyle G_{1}}$ und ${\displaystyle G_{2}}$ als Untergruppen der Automorphismengruppe ${\displaystyle Aut(X)}$ konjugiert zueinander sind.

Die Konjugation mit ${\displaystyle g}$ ist die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {int} _{g}\colon G\rightarrow G,\quad h\mapsto ghg^{-1}}$.

Sie entsteht aus der Konjugationsoperation, indem ${\displaystyle g}$ festgehalten wird. Die Konjugation ist ein Automorphismus von ${\displaystyle G}$. Automorphismen von ${\displaystyle G}$, die als Konjugation mit einem Element von ${\displaystyle G}$ geschrieben werden können, werden als innere Automorphismen bezeichnet. Daher kommt auch die Bezeichnung ${\displaystyle \operatorname {int} _{g}}$, bei der das „int“ für „interior“ steht.[1] Die inneren Automorphismen ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$ bilden einen Normalteiler der Automorphismengruppe von ${\displaystyle G}$. Als Kern des Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle T\colon \ G\rightarrow \operatorname {Inn} (G),\quad g\mapsto \operatorname {int} _{g}}$

erhält man das Zentrum ${\displaystyle Z(G)}$ von ${\displaystyle G}$. Nach dem Homomorphiesatz vermittelt die Abbildung ${\displaystyle T}$ also einen Isomorphismus von ${\displaystyle G/Z(G)}$ nach ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$.

1. Siegfried Bosch: Algebra. Springer, 2004, ISBN 3-540-40388-4, S. 239