Projektive Dimension

Ist ${\displaystyle M}$ ein Modul über einem Ring ${\displaystyle A}$, so sind äquivalent:

• ${\displaystyle r\geq \mathrm {proj.dim} _{A}(M)}$.
• Für alle ${\displaystyle A}$-Moduln ${\displaystyle N}$ und alle ${\displaystyle n>r}$ ist Extⁿ(M,N)=0.

Ist ${\displaystyle M}$ ein endlich erzeugter Modul über einem noetherschem lokalen Ring ${\displaystyle A}$, so ist

${\displaystyle \mathrm {proj.dim} _{A}(M)+\mathrm {tf} (M)=\mathrm {tf} (A)}$

Dabei ist ${\displaystyle \mathrm {tf} (M)}$ die Tiefe des Moduls.

Ist

${\displaystyle 0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M_{2}\longrightarrow M_{3}\longrightarrow 0}$

eine exakte Sequenz von ${\displaystyle A}$-Moduln, hat ein Modul ${\displaystyle M_{i}}$ genau dann eine endliche projektive Dimension, wenn die anderen beiden Moduln eine endliche projektive Dimension haben.

In diesem Fall gilt:

${\displaystyle \mathrm {proj.dim} _{A}(M_{2})\leq \mathrm {max} (\mathrm {proj.dim} _{A}(M_{1}),\mathrm {proj.dim} _{A}(M_{3}))}$

• Die globale Dimension eines Körpers ist Null.
• Die globale Dimension eines Dedekindringes ist 1, falls er kein Körper ist.

Ein noetherscher lokaler Ring ist genau dann regulär, wenn seine globale Dimension endlich ist. In diesem Fall ist seine globale Dimension gleich seiner Krulldimension.

Daraus folgt insbesondere die Aussage, dass die Lokalisierung lokaler regulärer Ringe wieder regulär ist.