Inellipse
Eine Inellipse ist in der Geometrie eine Ellipse, die die Seiten eines gegebenen Dreiecks berührt. Das einfachste Beispiel ist der Inkreis. Weitere wichtige Beispiele sind die Steiner-Inellipse, die die Dreiecksseiten in deren Mitte berührt, die Mandart-Inellipse und die Brocard-Inellipse. Sie spielen in der Dreiecksgeometrie eine Rolle. Schränkt man die Ellipse nicht durch spezielle Anforderungen ein, so gibt es zu einem Dreieck unendlich viele Inellipsen.
Da ein nicht ausgearteter Kegelschnitt durch 5 Bestimmungsstücke (Punkte, Tangenten) eindeutig bestimmt ist, darf man für eine Inellipse eines Dreiecks nur auf zwei Seiten auch die Berührpunkte vorgeben. Der Berührpunkt auf der 3. Seite ist dann dadurch schon eindeutig bestimmt.
Parameterdarstellungen, Mittelpunkt, konjugierte Halbmesser
Die Inellipse des Dreiecks mit den Eckpunkten
und den zwei Berührpunkten
auf der Seite bzw. lässt sich durch die rationale Parameterdarstellung
beschreiben. Dabei sind durch die Vorgaben der Berührpunkte wie folgt bestimmt:
Der 3. Berührpunkt ist
Der Mittelpunkt der Inellipse ist
Die Vektoren
sind zwei konjugierte Halbmesser und die Inellipse besitzt damit die weitere (übliche) Parameterdarstellung
Der Brianchon-Punkt der Inellipse (gemeinsamer Punkt der Geraden ) ist
Mit Hilfe der Zahlen lassen sich die zwei Berührpunkte leicht variieren. Die Schranken für sichern, dass die Berührpunkte wirklich auf den beiden Dreieckseiten liegen. Sie liefern für die Schranken .
Man beachte, dass hier nicht die Halbachsen der Ellipse oder Seiten des Dreiecks sind, sondern Parameter, die die Beziehung zwischen den Berührpunkten und den Eckpunkten festlegen !
Beispiele
Steiner-Inellipse
Für sind die Berührpunkte die Seitenmitten und die Inellipse ist die Steiner-Inellipse (Mittelpunkt ist der Schwerpunkt).
Inkreis
Für ergibt sich der Inkreis des Dreiecks mit dem Mittelpunkt
Mandart-Inellipse
Für erhält man die Mandart-Inellipse des Dreiecks. Sie berührt die Seiten in den Berührpunkten der Ankreise. Ihr Mittelpunkt ist der Mittenpunkt des Dreiecks.
Brocard-Inellipse
Für erhält man die Brocard-Inellipse. Sie ist durch die Vorgabe ihres Brianchon-Punktes in trilinearen Koordinaten eindeutig bestimmt.
Herleitungen
- Neue Koordinaten
Zum Beweis betrachtet man die Aufgabe projektiv und führt geeignete neue inhomogene --Koordinaten so ein, dass der gesuchte Kegelschnitt zur Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten wird und zu den Fernpunkten der Koordinatenachsen werden. Die Dreieckspunkte werden in den neuen Koordinaten (mit eckigen Klammern) durch beschrieben und die Gerade dazu hat die Gleichung . (Dass die hier verwendeten tatsächlich mit denen in der Aussage des Satzes identisch sind, zeigt die Rückabbildung unten.) Gesucht ist nun eine Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten, die die Gerade berührt. Man rechnet leicht nach, dass dies für die Hyperbel mit der Gleichung der Fall ist. Sie berührt die Gerade im Punkt .
- Koordinatentransformation
Die Rückabbildung der gefundenen Lösung wird in homogener Darstellung durch die Matrix
- beschrieben.
Ein Punkt wird dabei auf
- abgebildet, falls ist. Ein Punkt der --Ebene wird dabei durch den Spaltenvektor repräsentiert (siehe homogene Koordinaten). Ein Fernpunkt hat die Darstellung .
- Koordinatentransformation wesentlicher Punkte
- (Man beachte, dass : ist.)
ist Gleichung der Ferngerade der x-y-Ebene, Ihr Fernpunkt ist .
Der Fernpunkt von in der --Ebene geht also in einen Fernpunkt der x-y-Ebene über, den Fernpunkt der Gerade . Dies bedeutet: Die zwei in --Koordinaten zu parallelen Tangenten der Hyperbel sind auch in den x-y-Koordinaten parallel. Die Berührpunkte dieser Tangenten sind:
Da in der x-y-Ebene die Ellipsentangenten in den Punkten parallel sind, ist ein Durchmesser der Ellipse, d. h. der Mittelpunkt der Strecke ist der Mittelpunkt der Ellipse:
Man prüft leicht nach, dass die --Darstellung
hat. Um den zu konjugierten Ellipsendurchmesser zu finden, muss man in der --Ebene die Schnittpunkte der zu den Tangenten parallele Gerade durch (sie hat die Gleichung ) mit der Hyperbel bestimmen. Es ergibt sich . Und in x-y-Koordinaten
Aus den beiden konjugierten Durchmessern lassen sich zwei vektorielle konjugierte Halbmesser ermitteln:
Damit ergibt sich eine trigonometrische Parameterdarstellung der Inellipse:
Hieraus lassen sich, wie bei der Steiner-Ellipse, die Halbachsen, Exzentrizität, der Flächeninhalt, die Scheitel und eine Gleichung in x-y-Koordinaten der Inellipse berechnen.
Für den Berührpunkt der Seite gilt:
Der Brianchon-Punkt der Inellipse ist der gemeinsame Punkt der drei Geraden . Man berechnet zunächst in der --Ebene als Schnitt der drei Geraden: und transformiert den Schnittpunkt in die x-y-Ebene. Es ergibt sich
Die punktweise Transformation der Hyperbel liefert eine rationale Parameterdarstellung der Inellipse:
- Inkreis
Für den Inkreis gilt und damit
- (1) Ferner gilt in diesem Fall
- (2). (s. Bild)
Löst man beide Gleichungen nach auf, erhält man
- (3)
Um den Mittelpunkt zu bestimmen, berechnet man zunächst mit Hilfe von (1) und (3)
Also ist
- Mandart-Inellipse
Die Parameter für die Mandart-Inellipse ergeben sich aus den Angaben für die Abstände der Berührpunkte der Ankreise (s. Ankreis) von den Ecken.
- Brocard-Inellipse
Die Brocard-Inellipse wird durch die Vorgabe ihres Brianchon-Punktes festgelegt. Er hat in trilinearen Koordinaten die einfache Darstellung [1]. Rechnet man die trilinearen Koordinaten in die hier geeignete Darstellung um, so erhält man . Sind andererseits die Parameter einer Inellipse vorgegeben, so ergibt sich aus der obigen Formel für , dass ist. Setzt man die Ausdrücke für jeweils gleich und löst nach auf, so ergibt sich
Inellipse mit maximalem Flächeninhalt
- Die Steiner-Inellipse hat den größten Flächeninhalt von allen Inellipsen eines Dreiecks.
- Nachweis
Aus einem Satz von Apollonios folgt, dass der Flächeninhalt einer Ellipse mit den konjugierten Halbmessern gleich
- ist (s. Artikel Steiner-Ellipse).
Für die Inellipse mit den Parametern ist (s. o.)
(Es ist . Man beachte die Regeln für Determinanten !)
Um die Wurzeln bei der Berechnung zu vermeiden, genügt es, die Extremstellen der Funktion zu bestimmen:
Wegen ergibt sich durch Vertauschen von s und t:
Auflösen der beiden Gleichungen nach s und t liefert
- d. h.:
Die Steiner-Inellipse ist die Inellipse mit maximalem Flächeninhalt.
Inellipse und baryzentrische Koordinaten
Führt man für eine baryzentrische Beschreibung mit
Parameter so ein, dass
- ist,
so gilt zwischen den obigen Parametern und
- und umgekehrt
Der 3. Berührpunkt ist dann : und der Brianchonpunkt hat die einfache Darstellung
Hieran erkennt man, dass die Inellipse auch durch die Lage ihres Brianchonpunktes (und des Dreiecks) eindeutig beschrieben wird.
Der Mittelpunkt der Ellipse ist
Dieses Ergebnis kann man aus der obigen Formel für den Mittelpunkt ableiten oder die Eigenschaft
- Der Mittelpunkt der Sehne liegt auf der Gerade
verwenden. (Die Richtungen der Geraden sind bezüglich der Ellipse konjugiert.) Diese Eigenschaft gilt entsprechend auch für und . kann also in baryzentrischen Koordinaten als Schnittpunkt der Geraden berechnet werden. Aber auch die zeichnerische Bestimmung von ist damit möglich.
Der Vorteil der baryzentrischen Beschreibung besteht in ihrer Übersichtlichkeit. Die x-y-Koordinaten von Punkten lassen sich leicht aus ihren baryzentrischen Koordinaten mit der Schwerpunkt-Formel berechnen.
Siehe auch
Weblinks
- Darij Grinberg: Über einige Sätze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie
- Circumconic at MathWorld
- Inconic at MathWorld
Einzelnachweise
- Imre Juhász: Control point based representation of inellipses of triangles, Annales Mathematicae et Informaticae 40 (2012) pp. 37–46, S. 44