Gegeninduktion

Unter den oben genannten Voraussetzungen kann eine sehr interessante Eigenschaft der Flussverkettung gezeigt werden: Die Gegeninduktivität vom System 1 auf System 2 ist gleich groß wie für den umgekehrten Fall:

${\displaystyle M_{21}=M_{12}}$

Diese Beziehung erleichtert in vielen Fällen die praktische Berechnung von Flussverkettungen. So kann beispielsweise leicht ein Ausdruck für die Flussverkettung einer langen Spule mit einer kleineren, konzentrisch angebrachten Empfängerspule berechnet werden. Der umgekehrte Fall, nämlich die Verkettung des Flusses der kleinen mit der großen Spule würde ohne Kenntnis der obigen Relation vermutlich auf erhebliche analytische Schwierigkeiten stoßen. Die beschriebene Symmetrie, welche auch als magnetisches Reziprozitätstheorem bezeichnet wird, kann mit den mathematischen Mitteln der Vektoranalysis unter Zuhilfenahme der Maxwell-Gleichungen bewiesen werden.

Das Magnetfeld ${\displaystyle {\vec {B}}}$ kann als Rotation eines Vektorpotentials ausgedrückt werden:

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}$

Der magnetische Fluss durch die zweite Leiterschleife wird dann (${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {a}}}$ bezeichnet ein infinitesimales Flächenelement)

${\displaystyle \Phi _{2}=\int _{L_{2}}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}=\int _{L_{2}}{\big (}{\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}{\big )}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}=\int _{L_{2}}{\vec {A}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}_{2}}$

Nun kann aber das Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$ auf das Linienintegral des Stroms ${\displaystyle I}$ in der ersten Leiterschleife zurückgeführt werden (dies ist eine andere Schreibweise für das Biot-Savart-Gesetz):

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{L_{1}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}_{1}}{\vert {\vec {r}}-{\vec {x}}_{1}\vert }}}$

Dies eingesetzt in die vorletzte Gleichung, ergibt:

${\displaystyle \Phi _{2}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}_{1}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}_{2}}{\vert {\vec {x}}_{2}-{\vec {x}}_{1}\vert }}}$

${\displaystyle M}$ wird daher

${\displaystyle M_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}_{1}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}_{2}}{\vert {\vec {x}}_{2}-{\vec {x}}_{1}\vert }}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{2}}\int _{L_{1}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}_{2}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}_{1}}{\vert {\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}\vert }}=M_{21}}$

Zu beachten ist, dass in dieser Herleitung über Linienpfade ${\displaystyle L_{1}}$, ${\displaystyle L_{2}}$ integriert wird, die jeweils einer unendlich dünnen Leiterschleife entsprechen.

Prinzip der induktiven Kopplung, mit Feldbeschreibung (A) und als Netzwerkmodell (B)

Im Anwendungsbereich der Elektromagnetischen Verträglichkeit (EMV) wird die Gegeninduktivität auch als magnetische Kopplung oder als induktive Kopplung bezeichnet und beschreibt eine im Regelfall unerwünschte magnetische Kopplung benachbarter elektrischer Stromkreise. Der vom Strom in einem Stromkreis verursachte magnetische Fluss, wie in nebenstehender Schaltskizze beispielsweise der Stromkreis bestehend aus der Wechselspannungsquelle U₁, verursacht durch magnetische Kopplung in den zweiten Stromkreis, dargestellt mit der Wechselspannungsquelle U₂, eine zusätzliche induzierte Quellenspannung, welche in diesem Stromkreis als unerwünschte Störung auftreten kann.

Die Modellierung kann dabei je nach Zweckmäßigkeit als Feldmodell (A) mit dem veränderlichen magnetischen Feld, oder dazu gleichwertig im Bereich der Netzwerktheorie mit Hilfe der Gegeninduktivität ${\displaystyle M_{\mathrm {S} }}$ erfolgen, wie es in der rechten Abbildung im Fall (B) dargestellt ist. Die gegeninduzierte Spannung ${\displaystyle Ug_{2}}$ in die zweite Leiterschleife, welche durch den Strom ${\displaystyle i_{1}}$ aus der ersten Leiterschleife bedingt ist, beträgt:

${\displaystyle Ug_{2}=M_{s}\cdot {\frac {\mathrm {d} i_{1}}{\mathrm {d} t}}}$

Aufgrund der Symmetrie der Gegeninduktivität ${\displaystyle M_{\mathrm {S} }}$ können zwei lineare magnetisch gekoppelte Stromkreise als reziprokes Zweitor beschrieben werden.

Durch die höhere Energiedichte des magnetischen Feldes im Vergleich zum elektrischen Feld kann mittels induktiver Kopplung auch eine relativ hohe Leistungsübertragung bei mittleren Frequenzen erreicht werden. Dieser Umstand ist Gegenstand der Entwicklung kontaktloser Transportsysteme oder auch dem kontaktlosen Laden des Akkumulators von Fahrzeugen und Geräten.

Im Bereich der Nachrichtenübertragung wird die induktive Kopplung im Rahmen der induktiven Übertragung ausgenutzt, beispielsweise bei der kontaktlosen Signalübertragung eines Sensorsignals zwischen Sensor und Anzeigegerät oder kontaktlosen Chipkarten, der sogenannten RFID (radio-frequency identification) bzw. der NFC (near field communication).