Indifferenzkurve

Legt man eine Nutzenfunktion ${\displaystyle u(\mathbf {x} )=u(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ zugrunde, wobei die Variable ${\displaystyle u}$ als Nutzenindex oder einfach nur als Nutzen bezeichnet wird, dann ist die Indifferenzmenge (Indifferenzkurve) ${\displaystyle I_{a}}$ zum Nutzenniveau ${\displaystyle {\overline {u}}=a}$ definiert als die Menge aller Tupel ${\displaystyle \mathbf {x} }$, mit denen ${\displaystyle u(\mathbf {x} )=a}$ wird, soll sagen: ist definiert als die Menge aller Tupel ${\displaystyle \mathbf {x} }$, für die der Nutzen einen konstanten Wert annimmt, oder banaler ausgedrückt: ist definiert als die Menge aller Tupel ${\displaystyle \mathbf {x} }$, auf denen die Nutzenfunktion ein bestimmtes festes Nutzenniveau annimmt. Es ist also kurz ${\displaystyle I_{a}\equiv \{\mathbf {x} |u(\mathbf {x} )=a\}}$, woran man sofort ablesen kann, dass ${\displaystyle I_{a}\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Die Indifferenzkurve ist also eine Raumkurve im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, entlang derer ein und dasselbe Nutzenniveau vorherrscht. Aus dieser Mengendefinition der Indifferenzkurve erklärt sich auch, weshalb im Folgenden oftmals äquivalent von der Indifferenzmenge (zu einem Nutzenniveau) gesprochen wird, womit die (unendliche) Menge der Punkte auf einer Indifferenzkurve bezeichnet sei.

Im Folgenden wird die Größe der Güterbündel allerdings oftmals aus Gründen der einfacheren Handhabbarkeit und der grafischen Darstellbarkeit auf zwei Güter beschränkt.

Drei Indifferenzkurven im Zwei-Güter-Fall.

Zur Konstruktion der Indifferenzkurven wird im Zwei-Güter-Fall auf der horizontalen Achse eines Koordinatensystems beispielsweise die Menge des Konsums an Gut 1 und auf der vertikalen Achse die Menge des Konsums an Gut 2 dargestellt. Unter der Annahme, dass beide Güter unendlich teilbar sind, kann man unendlich viele Punkte in das Koordinatensystem einzeichnen, zwischen denen das Individuum indifferent ist. Die sich somit ergebende Kurve ist die gesuchte Indifferenzkurve.

Im nebenstehenden Beispiel sind drei Indifferenzkurven eingezeichnet. Weil man gegeben die entsprechende Nutzenfunktion ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ Indifferenzkurven zu beliebigen Nutzenniveaus ${\displaystyle {\overline {u}}}$ konstruieren kann, gibt es auch unendlich viele denkbare Indifferenzkurven. Setzt man voraus, dass ein Haushalt Güterbündel, die mehr von beiden Gütern enthalten, solchen mit geringeren Mengen der Güter strikt vorzieht (es handelt sich hierbei um die später formaler definierte Monotonitätseigenschaft), dann ist das Nutzenniveau umso größer, je weiter die Indifferenzkurve vom Ursprung entfernt liegt. Entsprechend sind Punkte (Güterbündel) auf der Indifferenzkurve ${\displaystyle I_{3}}$ strikt besser als auf ${\displaystyle I_{2}}$ und Punkte (Güterbündel) auf ${\displaystyle I_{2}}$ sind strikt besser als solche auf ${\displaystyle I_{1}}$. Güterbündel A wird entsprechend am geringsten geschätzt, D am meisten. B und C liegen auf derselben Indifferenzkurve, das heißt dem Haushalt ist es egal, ob es das Güterbündel B oder C konsumiert.

Für jedes Güterbündel nimmt man an, dass der Haushalt die Sättigungsgrenze keines einzigen Gutes erreicht hat (diese Annahme ergibt insbesondere dann Sinn, wenn das Einkommen der Haushalte als so gering angenommen wird, dass für alle Konsumgüter die Nichtsättigungsannahme erfüllt ist).[3] Man geht jeweils davon aus, dass ein Haushalt lieber mehr Güter verbraucht als weniger. Die Monotonitätsannahme wird oft als Nichtsättigung des Konsumenten interpretiert: Ein Güterbündel wie D in obiger Abbildung, das von beiden Gütern mehr enthält als das Güterbündel A, wird vom Haushalt gegenüber Güterbündel A stets vorgezogen, beide können nicht auf derselben Indifferenzkurve liegen. Daraus ergibt sich unmittelbar, dass bei Gültigkeit dieser Annahme von Monotonität Indifferenzkurven (wie in obiger Abbildung) eine negative Steigung (${\displaystyle -\infty }$ und 0 eingeschlossen) haben müssen.

Die Nichtsättigungsannahme wird oft als unrealistisch kritisiert. Allerdings kann man den Bedenken Rechnung tragen, indem man die schwächere Annahme macht, dass keine Sättigung bei allen Gütern eintreten kann. Im Falle dieser schwächeren Annahme verändern sich die Ergebnisse nicht wesentlich.[4]

Es wird angenommen, dass die Präferenzordnung vollständig ist, d. h., der Haushalt kann für jedes beliebige Güterbündelpaar angeben, ob die Alternative besser (${\displaystyle \succ }$), schlechter (${\displaystyle \prec }$) oder gleich gut ist (${\displaystyle \sim }$) wie die Ausgangssituation.[5]

Zwei sich schneidende „Indifferenzkurven“ – Transitivitätsannahme verletzt

Aus obiger Grafik ist bereits eine wichtige Eigenschaft der Indifferenzkurven sichtbar: Indifferenzkurven können einander nicht schneiden (wie auch Höhenlinien an einem „echten“ Berg einander nicht schneiden können). Dies entspricht dem Grundsatz, dass die Rangfolge der Güterbündel widerspruchsfrei sein muss (Transitivität). Wenn ein komplettes Nutzengebirge dargestellt werden soll, dann besteht dies aus einer unendlich großen Schar von Indifferenzkurven.

In der Abbildung ist Punkt A indifferent zu Punkt B und Punkt B indifferent zu Punkt C. Aus dem Grundsatz der Transitivität folgt zwingend, dass Punkt A somit auch indifferent zu Punkt C sein muss. Da diese im vorliegenden Beispiel nicht auf derselben Indifferenzkurve liegen, trifft die Annahme nicht zu.

Der Haushalt entscheidet sich für einen im Kontext seiner persönlichen Nutzenmaximierung optimalen Konsumplan unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen (Budgetbeschränkung, Güterpreise):[6] Wird ein beliebiger Konsumplan aus der Budgetmenge gewählt, so gilt, dass dieser Plan allen anderen Konsumplänen vorgezogen wird (sonst wäre er nicht gewählt worden).

Dies ist eine sehr formale Annahme, die aber benötigt wird, um die Existenz von Indifferenzkurven sicherzustellen. Diese Annahme stellt sicher, dass die Präferenzordnung keine Sprungstellen hat und die Nutzenindexfunktion stetig differenzierbar ist. Die Stetigkeitsannahme setzt beliebige Teilbarkeit der Güter voraus.

Geht man – wie in der Abbildung – von drei Alternativen A, B und D aus, bei der B dem A und D dem B vorgezogen wird, so soll es in der konvexen Kombination von A und D (also dem Geradenstück zwischen A und D) stets einen Punkt geben, der indifferent zu B ist.

Diese Annahme ist bei der lexikographischen Präferenzordnung nicht erfüllt. Bei dieser Präferenzordnung existieren somit keine Indifferenzkurven.

Es wird angenommen, dass die Indifferenzkurven die Achsen der Konsumebenen nicht berühren. Durch diese Annahme kann ausgeschlossen werden, dass die Konsumgüter vollständig substituiert werden (plausibel ist dies allerdings nur im Fall von absolut unverzichtbaren Konsumgütern, wie z. B. Wasser und Brot). Durch diese Annahme wird die Berechnung von optimalen Konsumplänen erleichtert (ist für die Berechnung aber nicht erforderlich).[7]

In allgemeinen Fällen werden üblicherweise konvexe Indifferenzkurven angenommen, diese garantieren einen negativen Substitutionseffekt. Besonders häufig wird dabei von Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen ausgegangen.

In der Abbildung sind die Indifferenzkurven konvex. Die Form der Indifferenzkurven weist darauf hin, in welcher Form der Haushalt bereit ist, Gut 1 für Gut 2 zu substituieren. Der Betrag der Neigung der Kurve an den einzelnen Punkten gibt an, wie viele Einheiten von Gut 1 im Austausch für eine Einheit des Gutes 2 benötigt werden, um auf dem gleichen Niveau zu bleiben. Dies wird Grenzrate der Substitution genannt. Wenn man eine der Indifferenzkurven wie im Beispiel von oben nach unten durchläuft, so wird stets von Gut 1 mehr und von Gut 2 weniger konsumiert, ohne dass sich der erreichte Nutzen ändert: Gut 2 wird bei konstantem Nutzen durch Gut 1 substituiert. Dies ist das Gesetz von der abnehmenden Grenzrate der Substitution.

Wenn von einem Gut viel substituiert wurde, ist es verhältnismäßig knapp. Darum werden viele Einheiten des anderen Gutes zur Substitution benötigt. Der daraus resultierende konvexe Kurvenverlauf zeigt, dass der Haushalt Güterbündel mit gemischtem Inhalt solchen vorzieht, die einseitig viel von Gut 1 oder Gut 2 beinhalten. In der Grafik lässt sich dies zeigen, wenn man eine Verbindungslinie zwischen den Punkten B und C ziehen würde. Jeder Punkt auf dieser Linie würde der Haushalt den Punkten B oder C vorziehen, da diese auf höheren Indifferenzkurven liegen. (Regel: „Durch Mischen stellt sich der Haushalt besser.“)

Unterschieden werden kann weiterhin zwischen starker bzw. strikter Konvexität (wie im obigen Beispiel), in diesem Fall werden ausgewogene Konsumbündel strikt bevorzugt, erreichen also immer ein höheres Nutzenniveau als weniger ausgewogene Güterbündel. Liegt lediglich Konvexität (wird auch als schwache Konvexität bezeichnet) vor, haben die entsprechenden Indifferenzkurven einen Abschnitt mit konstanter Steigung. Hier werden ausgewogene nicht mehr zwangsläufig bevorzugt. Im obigen Beispiel würde das bedeuten, dass die Punkte B und C sowie die Punkte auf der sie verbindenden Linie auf derselben Indifferenzkurve liegen, der Konsument ist dann indifferent.

Beweis für die Konvexität von Indifferenzkurven:[8]

Lineare Indifferenzkurven – perfektes Substitut

Mit den oben getroffenen Standardannahmen lassen sich Nutzenfunktionen und damit auch Indifferenzkurven ableiten, die ein gewisses Spektrum an Formen annehmen können: Dabei dienen perfekte Substitute bzw. perfekte Komplemente als die Extrema dieses Spektrums; diese sind in der realen Welt selten so rein auszumachen wie unten skizziert, helfen aber bei der Einordnung ungemein.

Perfekte Komplemente

Bei „perfekten Substituten“ ist der Haushalt bereit Gut 1 und Gut 2 entlang der gesamten Kurve zu einem festen Verhältnis zu tauschen (zumindest für positiven Konsum beider Güter). Die Indifferenzkurven des Haushalts sind dann (stückweise) linear. Es handelt sich um Güter, die problemlos gegeneinander ausgetauscht werden können – bei denen es dem Haushalt also egal ist, ob er mehr von Gut 1 oder mehr von Gut 2 konsumiert.

Zum Beispiel sind die von verschiedenen Herstellern angebotenen Sorten von Superbenzin so ähnlich, dass die Angebote zweier einander naher Tankstellen als perfekte Substitute gesehen werden sollten (Treuepunkteprogramme o. ä. verändern dieses vereinfachte bild natürlich). Ähnliches gilt für andere standardisierte Güterklassen wie Mehl, Zucker, Salz etc.

Perfekte Komplemente sind eine weitere Sonderform: Der Konsument möchte die beiden Gütern am liebsten in einem festen Verhältnis zueinander konsumieren. Ausgehend von diesem Verhältnis (bei beliebigen absoluten Werten des Konsums beider Güter) erhöht sich sein Nutzen nicht, wenn er mehr von einem einzigen der beiden Güter erhält – der Nutzen sinkt aber, wenn die Menge eines der Güter von dem Punkt aus verringert wird. Hier haben die Indifferenzkurven einen Knick genau dort, wo das optimale Verhältnis beider Güter besteht (L-förmig).

Ein Beispiel hierfür sind einerseits Fahrradräder und andererseits der Rest des Fahrrads (Rahmen etc.): Ohne Räder ist der Fahrradrahmen weitgehend nutzlos und ohne Rahmen und ein zweites Rad kann man auch mit einem einzelnen Rad wenig anfangen. Das optimale Verhältnis zwischen Rahmen und Rädern liegt also bei 1:2. Setzt man in der rechts stehenden Grafik den Rahmen als Gut 1; das Rad als Gut 2, so haben die verschiedenen Indifferenzkurve also einen Knick bei den Punkten A=(1,2), B=(2,4), C=(3,6) etc.

(Hierbei wird natürlich vernachlässigt, dass es ggf. andere Nutzen für Räder bzw. Rahmen geben kann, zum Beispiel alleine als Ersatzteil).

Ein ähnliches Beispiel hierfür sind linke und rechte Schuhe, Mobiltelefon und zugehöriges Ladegerät, Desktopcomputer und Bildschirm o. ä.

Wie bereits angeführt befinden sich unter den Standardannahmen die meisten Indifferenzkurven zwischen diesen extremen. Die Indifferenzkurven sind aber dann stets konvex zum Nullpunkt und verlaufen (im Zwei-Güter-Diagramm). Die Achsenabschnitte nehmen dabei mit höherem Nutzenniveau zu, sofern sie denn existieren; andererseits nähern sich die Indifferenzkurven asymptotisch den Achsen an (außer bei perfekten Komplementen).

Die folgenden Formen entsprechen nicht den Standardannahmen:

Konkave Indifferenzkurven besagen, dass der Haushalt Güterbündel bevorzugt, die einseitig viel von einem der beiden Güter enthalten. (Regel: „Extreme werden bevorzugt.“) Beispiele sind lokal gebundene Güter: Ein Haushalt, der ein Grundstück von 300 m² in Berlin und ein weiteres von 300 m² in München besitzt, wird in der Regel demgegenüber ein einziges von 600 m² in einer der beiden Städte präferieren.

Auch kreis- oder ellipsenförmige Indifferenzkurven sind denkbar. Hier existiert ein zentraler Punkt, der in der Mitte der runden Indifferenzkurven liegt. An diesem „Bliss-Punkt“ hat der Haushalt sein maximales Nutzenniveau erreicht und ist „gesättigt“. Ein Haushalt mit einer solchen Präferenzordnung wird dann nicht knappe Güter (die es im „Bliss-Punkt“ nicht gibt), gegen andere knappe Güter einhandeln. Damit ist der Haushalt für eine Preistheorie irrelevant.

Haushaltsoptimum im Zwei-Güter-Fall

Die Grenzrate der Substitution oder Steigung der Indifferenzkurve ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} \,x_{2}}{\mathrm {d} \,x_{1}}}}$ bezeichnet das Austauschverhältnis zwischen den Gütern, bei dem sich das Versorgungsniveau aus Sicht des Haushaltes, also subjektiv, nicht ändert. Bei der optimalen Konsumentscheidung eines Haushaltes (dem Haushaltsoptimum) hat die Grenzrate der Substitution denselben Wert wie die Steigung der Budgetgeraden ${\displaystyle {\tfrac {-p_{1}}{p_{2}}}}$ (anschaulich im nachfolgenden Beispiel). Das bedeutet, dass sich die Indifferenzkurve und die Budgetgerade in diesem Punkt berühren (nicht schneiden).

Grenzrate der Substitution (1. Ableitung der Indifferenzfunktion) = Preisverhältnis (1. Ableitung der Budgetgeraden)

Daraus ergibt sich die Gültigkeit des 2. Gossenschen Gesetzes.

Beispiel im Zwei-Güter-Fall

Hier ist die Indifferenzkurve ${\displaystyle I_{2}}$ die höchstmöglich erreichbare Indifferenzkurve des Konsumenten. Der Verbraucher würde zwar Punkte auf der Indifferenzkurve ${\displaystyle I_{3}}$ vorziehen, kann sich jedoch die dadurch vorgezeigte Kombination aus Dönern und Limonade nicht leisten. Im Gegensatz dazu kann er sich den Punkt auf der Indifferenzkurve ${\displaystyle 1}$ zwar leisten, aber er wird ihn nicht wählen, da die Kurve einen niedrigeren Nutzen für den Konsumenten misst.