Implizite Kurve

Ein Kurvenpunkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ heißt regulär, falls

• ${\displaystyle (F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0}))\neq (0,0)}$

gilt, andernfalls heißt der Punkt singulär.

Die Gleichung der Tangente in einem regulären Kurvenpunkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ist

• ${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0}$ und

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0}))^{T}}$ ist ein Normalenvektor.

Um die Formel übersichtlich zu halten, wurden hier die Argumente ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ weggelassen:

• ${\displaystyle \kappa ={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}}$ ist die Krümmung der Kurve in einem regulären Punkt.

Der oben schon erwähnte wesentliche Nachteil impliziter Kurven ist die prinzipielle Schwierigkeit einzelne Kurvenpunkte zu berechnen, was z. B. für die Visualisierung einer Kurve unbedingt nötig ist. Siehe hierzu den nächsten Abschnitt.

1. Implizite Darstellungen von Kurven haben insbesondere bei der Berechnung von Schnittpunkten zweier Kurven große Vorteile: Liegt eine Kurve implizit und die andere parametrisiert vor, so muss zur Schnittpunktbestimmung nur das gewöhnliche eindimensionale Newton-Verfahren eingesetzt werden. In den Fällen implizit-implizit oder parametrisiert-parametrisiert ist der Einsatz des zweidimensionalen Newton-Verfahrens nötig. Siehe hierzu: Schnittpunkt.
2. Eine implizite Darstellung ${\displaystyle F(x,y)=0}$ bietet die Möglichkeit anhand des Vorzeichens von ${\displaystyle F(x,y)}$ die Punkte der Ebene in zwei Teilmengen einzuteilen. So kann man z. B. anhand des Vorzeichens von ${\displaystyle F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1}$ erkennen, ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb des Einheitskreises liegt. Dies kann wichtig sein, falls man Startpunkte für die Schnittpunktbestimmung von Kurven sucht oder falls man statt des Newton-Verfahrens die Regula falsi verwenden möchte.
3. Zu einer implizit gegebenen Kurve ${\displaystyle F(x,y)=0}$ lassen sich leicht ähnliche Kurven angeben, indem man Kurven mit ${\displaystyle F(x,y)-c=0}$ für betragsmäßig kleine Zahlen ${\displaystyle c}$ betrachtet. (Siehe Abschnitt Glatte Approximationen konvexer Polygone.)

Zur glatten Approximation von konvexen Polygonen sind implizite Kurven besonders gut geeignet: Liegen die ${\displaystyle n}$ Seiten eines konvexen Polygons auf den Geraden mit den Gleichungen ${\displaystyle g_{i}(x,y)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}=0,\ i=1,\dotsc ,n}$ so, dass das Innere des Polygons in den Positivbereichen der Funktionen ${\displaystyle g_{i}}$ liegt, so beschreibt die implizite Kurve

${\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)\dotsb g_{n}(x,y)-c=0}$

für geeignete positive Zahlen ${\displaystyle c}$ glatte (differenzierbare) Approximationen des Polygons. Zum Beispiel ergeben

${\displaystyle F(x,y)=(x+1)(-x+1)y(-x-y+2)(x-y+2)-c=0}$ für ${\displaystyle c=0{,}03,\dotsc ,0{,}6}$

die im Bild gezeigten glatten Approximationen eines Fünfecks.

Bemerkung 1:

Schließt man den Grenzfall „zwei Geraden“ mit ein, so erhält man nach der beschriebenen Konstruktion mit

${\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)g_{2}(x,y)-c=0}$

entweder eine Schar paralleler Geraden, falls die gegebenen Geraden parallel sind
oder die Schar der Hyperbeln mit den gegebenen Geraden als Asymptoten, falls sich die Geraden schneiden. Z. B. liefert das Produkt der x-Achse mit der y-Achse: ${\displaystyle xy-c=0,\ c\neq 0}$, die Schar aller Hyperbeln mit den Koordinatenachsen als Asymptoten.

Bemerkung 2:

Verwendet man statt der Geraden andere einfache implizite Kurven (Kreise, Parabeln, …) so lassen sich auch gezielt interessante Kurven gestalten. Z. B.

${\displaystyle F(x,y)=y(-x^{2}-y^{2}+1)-c=0}$

(Produkt eines Kreises mit der x-Achse) liefert glatte Approximationen eines Halbkreises (siehe Bild). Und

${\displaystyle F(x,y)=(-x^{2}-(y+1)^{2}+4)(-x^{2}-(y-1)^{2}+4)-c=0}$

(Produkt zweier Kreise) sind glatte Approximationen eines Kreis-Zweiecks (siehe Bild).

Übergangskurven (rot) für zwei Kreise

Im Computerdesign-Bereich verwendet man implizite Kurven, um Übergangskurven von besonders hoher Güte (geometrische Stetigkeit) herzustellen. Zum Beispiel liefert die folgende einfache Konstruktion

${\displaystyle F(x,y)=(1-\mu )f_{1}f_{2}-\mu (g_{1}g_{2})^{3}=0}$

krümmungsstetige Übergangskurven zwischen den beiden implizit gegebenen Kreisen

${\displaystyle f_{1}(x,y)=(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}=0}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)=(x-x_{2})^{2}+y^{2}-r_{2}^{2}=0}$

(siehe Bild). Die beiden Geraden

${\displaystyle g_{1}(x,y)=x-x_{1}=0,\ g_{2}(x,y)=x-x_{2}=0}$

bestimmen die Berührpunkte der Übergangskurven an den Kreisen. Der Parameter ${\displaystyle \mu }$ ist ein Designparameter. Im Bild ist ${\displaystyle \mu =0{,}05,\dotsc ,0{,}2}$. Als Übergangskurven dienen nur die mittleren Kurventeile. Ein Fahrzeug könnte also ohne Ruck entlang der Übergangskurve von dem einen Kreisbogen auf den anderen fahren.

Äquipotentiallinen zweier gleicher Punktladungen in den blauen Punkten

Die Äquipotentiallinien zweier gleicher Punktladungen in den Punkten ${\displaystyle P_{1}=(1,0);\;P_{2}=(-1,0)}$ lassen sich implizit durch

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}-c}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2})}}}-c=0}$

beschreiben. Für ${\displaystyle c=2}$ ergibt sich die Kurve durch den Ursprung und hat einen Doppelpunkt. Die Kurven sehen wie Cassinische Kurven aus, sind aber keine.

Bei einer impliziten Kurve benötigt man ein Computerprogramm ${\displaystyle {\mathsf {KPunkt}}}$, das zu einem Startpunkt ${\displaystyle Q_{0}=(x_{0},y_{0})}$ in der Nähe der Kurve einen Kurvenpunkt ${\displaystyle P}$ berechnet:

(P1) Für den Startpunkt ist ${\displaystyle j=0}$.

(P2) Wiederhole

${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1})=(x_{j},y_{j})-{\frac {F(x_{j},y_{j})}{F_{x}(x_{j},y_{j})^{2}+F_{y}(x_{j},y_{j})^{2}}}\,\left(F_{x}(x_{j},y_{j}),F_{y}(x_{j},y_{j})\right)}$

(Newtonschritt für die Funktion ${\displaystyle g(t)=F\left(x_{j}+tF_{x}(x_{j},y_{j}),y_{j}+tF_{y}(x_{j},y_{j})\right)}$),

(P3) bis der Abstand zwischen den Punkten ${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1}),\,(x_{j},y_{j})}$ klein genug ist.

(P4) ${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1})}$ ist ein Kurvenpunkt in der Nähe des Startpunktes ${\displaystyle Q_{0}}$.

Zum Verfolgungsalgorithmus: Startpunkte sind grün

Um ein Polygon auf der impliziten Kurve mit einer Schrittweite ${\displaystyle \approx s}$ zu erzeugen

(V1) wählt man einen geeigneten Startpunkt in der Nähe der Kurve.

(V2) berechnet mit ${\displaystyle {\mathsf {KPunkt}}}$ den ersten Kurvenpunkt ${\displaystyle P_{1}}$.

(V3) berechnet die Tangente (s. oben), wählt auf der Tangente mit der Schrittweite ${\displaystyle s}$ einen weiteren Startpunkt und berechnet mit ${\displaystyle {\mathsf {KPunkt}}}$ den zweiten Kurvenpunkt ${\displaystyle P_{2}}$.

${\displaystyle \cdots }$

Da der Algorithmus dem Verlauf der Kurve folgt, nennt man ihn Verfolgungsalgorithmus. Der Algorithmus liefert immer nur einzelne Komponenten der impliziten Kurve. Eventuell muss man ihn mehrmals mit geeigneten Startpunkten durchlaufen.

Rasteralgorithmus für implizite Kurven

Besteht die implizite Kurve aus vielen Teilkurven, so liefert der folgende Rasteralgorithmus eine gute Visualisierung der Kurve:

(R1) Erzeuge ein Netz (Raster) in dem fraglichen Bereich der x-y-Ebene.

(R2) Verwende jeden Punkt des Rasters als Startpunkt für den Punktalgorithmus ${\displaystyle {\mathsf {KPunkt}}}$ und markiere den so erhaltenen Kurvenpunkt.

Macht man das Netz sehr dicht, erhält man einen guten Eindruck von der impliziten Kurve und kann anschließend interessante Teile mit dem Verfolgungsalgorithmus bearbeiten.

Beispiel: Das Bild zeigt ein (zur Demonstration grobes) Raster mit den zugehörigen berechneten Kurvenpunkten für die implizite Kurve mit der Gleichung:

${\displaystyle F(x,y)=(3x^{2}-y^{2})^{2}y^{2}-(x^{2}+y^{2})^{4}=0}$

(Zur Herstellung des Bildes wurde ein optimierter Algorithmus benutzt, bei dem nicht mehr jeder Rasterpunkt als Startpunkt verwendet wird.)

Implizite Kurven lassen sich mit Hilfe geeigneter Visualisierungsprogramme grafisch darstellen, zum Beispiel mit der freien Software

• GeoGebra (nur für algebraische Kurven) oder
• Gnuplot.

Verweise auf weitere freie Software finden sich im Abschnitt Weblinks.