Idelegruppe

Sei ${\displaystyle R}$ ein topologischer Ring. Dann bildet ${\displaystyle R^{\times }}$ mit der Teilraumtopologie im Allgemeinen keine topologische Gruppe. Wir installieren deshalb auf ${\displaystyle R^{\times }}$ die folgende, gröbere Topologie, was bedeutet, dass weniger Mengen offen sind: Betrachte die Inklusionsabbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota :R^{\times }&\rightarrow R\times R,\\x&\mapsto (x,x^{-1}).\end{aligned}}}$

Wir installieren auf ${\displaystyle R^{\times }}$ die Topologie, die von der entsprechenden Teilraumtopologie auf ${\displaystyle R\times R}$ erzeugt wird. Das heißt, wir installieren auf ${\displaystyle \iota (R^{\times })}$ die Teilraumtopologie der Produkttopologie. Eine Menge ${\displaystyle U\subset R^{\times }}$ ist per Definition genau dann offen in der neuen Topologie, wenn ${\displaystyle \iota (U)}$ in der Teilraumtopologie offen ist. Mit dieser Topologie wird ${\displaystyle (R^{\times },\cdot )}$ eine topologische Gruppe und die Inklusionsabbildung ${\displaystyle R^{\times }\hookrightarrow R}$ wird stetig. Es ist die gröbste Topologie, welche aus der Topologie von ${\displaystyle R}$ entsteht und die ${\displaystyle R^{\times }}$ zu einer topologischen Gruppe macht.

Beweis: Man nehme den topologischen Ring ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$ Dann ist die Inversionsabbildung nicht stetig. Dies kann an folgendem Beispiel eingesehen werden: Betrachte die Folge

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(2,1,\dotsc )\\x_{2}&=(1,3,1,\dotsc )\\x_{3}&=(1,1,5,1,\dotsc )\\&\vdots \end{aligned}}}$

Diese Folge konvergiert in der ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$-Topologie gegen das Einsadel, denn für eine gegebene Umgebung ${\displaystyle U}$ der ${\displaystyle 0}$ können wir annehmen, dass ${\displaystyle U}$ die folgende Form hat:

${\displaystyle U=\prod _{p{\text{ prim }} \atop p\leq N}U_{p}\times \prod _{p{\text{ prim }} \atop p>N}\mathbb {Z} _{p}.}$

Weiterhin gilt, dass ${\displaystyle (x_{n})_{p}\in \mathbb {Z} _{p}}$ für alle ${\displaystyle n,p}$ und daher ${\displaystyle (x_{n})_{p}-1\in \mathbb {Z} _{p}}$ für alle ${\displaystyle p.}$ Es folgt, dass ${\displaystyle x_{n}-1\in U}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ groß genug. Das Bild dieser Folge unter der Inversionsabbildung konvergiert nicht mehr in der Teilraumtopologie von ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ (vgl. das Lemma über den Unterschied zwischen der restringierten und unrestringierten Produkttopologie). In dieser neuen Topologie konvergiert weder die Folge noch ihre Inverse. Dieses Beispiel zeigt insbesondere, dass die beiden Topologien verschieden sind. Wir installieren also auf den Einheiten die oben beschriebene Topologie. Mit dieser Topologie wird ${\displaystyle R^{\times }}$ eine topologische Gruppe. Es bleibt die Stetigkeit der Inversionsabbildung zu zeigen. Sei ${\displaystyle U\subset R^{\times }}$ eine beliebige, offen Menge in der oben definierten Topologie, d. h. ${\displaystyle U\times U^{-1}\subset R\times R}$ ist offen. Zu zeigen ist, dass ${\displaystyle U^{-1}\subset R^{\times }}$ offen ist, d. h. zu zeigen ist, dass ${\displaystyle U^{-1}\times (U^{-1})^{-1}=U^{-1}\times U\subset R\times R}$ offen ist. Dies ist nach Voraussetzung der Fall.

Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper. Die Einheitengruppe des Adelerings ist die sogenannte Idelegruppe von ${\displaystyle K}$, welche im Folgenden mit

${\displaystyle I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times }}$

bezeichnet wird. Definiere weiterhin

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K,S}&:=\mathbb {A} _{K,S}^{\times },\\I_{K}^{S}&:=(\mathbb {A} _{K}^{S})^{\times }.\end{aligned}}}$

Wir installieren auf der Idelegruppe die Topologie, die wir im Abschnitt zuvor definiert haben. Dadurch wird die Idelegruppe eine topologische Gruppe.

Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper. Es gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K,S}&={\widehat {\prod \limits _{v\in S}}}^{{\mathcal {O}}_{v}^{\times }}K_{v}^{\times },\\I_{K}^{S}&={\widehat {\prod \limits _{v\notin S}}}^{{\mathcal {O}}_{v}^{\times }}K_{v}^{\times },\\{\text{und}}\qquad I_{K}&={\widehat {\prod \limits _{v}}}^{{\mathcal {O}}_{v}^{\times }}K_{v}^{\times },\end{aligned}}}$

wobei die Gleichheit im Sinne topologischer Ringe zu verstehen ist. Das restringierte Produkt trägt die restringierte Produkttopologie, welche erzeugt wird von den restringierten offenen Rechtecken. Diese haben die folgende Gestalt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}{\mathcal {O}}_{v}^{\times },\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle E}$ eine endliche Teilmenge aller Stellen ist und ${\displaystyle U_{v}\subset K_{v}^{\times }}$ beliebige, offene Mengen sind.

Beweis: Wir führen den Beweis für ${\displaystyle I_{K}.}$ Die anderen beiden Aussagen folgen analog. Zuerst überlegen wir uns die Mengengleichheit. Betrachte dazu folgende Gleichungskette:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times }:&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:xy=1\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:x_{v}\cdot y_{v}=1\quad \forall v\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}:x_{v}\in K_{v}^{\times }\,\,\forall v{\text{ und }}x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}^{\times }\,\,\forall v\,\,{\text{ bis }}{\text{ auf }}{\text{ endlich }}{\text{ viele }}\}\\&={\widehat {\prod \limits _{v}}}^{{\mathcal {O}}_{v}^{\times }}K_{v}^{\times }.\end{aligned}}}$

Beim Übergang von Zeile 2 zu 3 ist zu beachten, dass sowohl ${\displaystyle x}$ als auch ${\displaystyle x^{-1}=y}$ in ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ sein sollen, also ${\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}}$ für fast alle ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle x_{v}^{-1}\in {\mathcal {O}}_{v}}$ für fast alle ${\displaystyle v,}$ also insgesamt ${\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$ für fast alle ${\displaystyle v.}$ Als nächstes überlegen wir uns, dass die beiden Topologien übereinstimmen. Offensichtlich ist jedes restringierte offene Rechteck auch offen in der Topologie der Idelegruppe. Andererseits sei ${\displaystyle U\subset I_{K}}$ offen in der Topologie der Idelegruppe, d. h. ${\displaystyle U\times U^{-1}\subset \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}}$ ist offen. Es folgt, dass für jedes ${\displaystyle u\in U}$ ein restringiertes offenes Rechteck existiert, welches ${\displaystyle u}$ enthält und in ${\displaystyle U}$ liegt. Also ist ${\displaystyle U}$ als Vereinigung restringierter offener Rechtecke darstellbar, also offen in der restringierten Produkttopologie.

Unter Verwendung der bisherigen Notation, definiere

${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}:=\prod _{v\nmid \infty }{\mathcal {O}}_{v}=\prod _{v<\infty }{\mathcal {O}}_{v}}$

und ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}^{\times }}$ als die entsprechende Einheitengruppe. Es gilt dann

${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}^{\times }=\prod _{v<\infty }{\mathcal {O}}_{v}^{\times }.}$

Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper und sei ${\displaystyle L/K}$ eine endliche Körpererweiterung. Dann ist ${\displaystyle L}$ wieder ein globaler Körper und die Idelegruppe ${\displaystyle I_{L}}$ ist definiert. Definiere

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{v}^{\times }&:=\prod _{w\mid v}L_{w}^{\times },\\{\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}^{\times }&:=\prod _{w\mid v}{\mathcal {O}}_{w}^{\times }.\end{aligned}}}$

Beachte, dass beide Produkte endlich sind. Es gilt dann:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{L}={\widehat {\prod \limits _{v}}}^{{\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}^{\times }}L_{v}^{\times }.\end{aligned}}}$

Es gibt eine kanonische Einbettung der Idelegruppe von ${\displaystyle K}$ in die Idelegruppe von ${\displaystyle L.}$ Dem Idel ${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in I_{K}}$ wird das Idel ${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in I_{L}}$ mit ${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}^{\times }\subset L_{w}^{\times }}$ für ${\displaystyle w\mid v}$ zugeordnet. Deshalb kann ${\displaystyle I_{K}}$ als Untergruppe von ${\displaystyle I_{L}}$ aufgefasst werden. Ein Element ${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in I_{L}}$ liegt also genau dann in der Untergruppe ${\displaystyle I_{K},}$ wenn seine Komponenten ${\displaystyle a_{w}\in K_{v}^{\times }}$ erfüllen für ${\displaystyle w\mid v}$ und wenn weiterhin gilt, dass ${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$ für ${\displaystyle w\mid v}$ und ${\displaystyle w'\mid v}$ für die gleiche Stelle ${\displaystyle v}$ von ${\displaystyle K.}$

Die Einheiten des globalen Körpers ${\displaystyle K}$ können diagonal in die Idelegruppe eingebettet werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}&K^{\times }\hookrightarrow I_{K,S},\\&a\mapsto (a,a,a,\dotsc ).\end{aligned}}}$

Da ${\displaystyle K^{\times }\subset K_{v}^{\times }}$ für alle ${\displaystyle v}$ gilt, folgt die Wohldefiniertheit und Injektivität dieser Abbildung wie beim entsprechenden Satz über den Adelering.

Weiterhin gilt, dass die Untergruppe ${\displaystyle K^{\times }}$ diskret (und damit insbesondere abgeschlossen) in ${\displaystyle I_{K}}$ ist. Diese Tatsache folgt analog wie bei dem entsprechenden Satz über den Adelering.

Insbesondere ist ${\displaystyle A^{\times }}$ eine diskrete Untergruppe von ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }.}$

In der algebraischen Zahlentheorie wird für einen gegebenen Zahlkörper ${\displaystyle K}$ die Idealklassengruppe betrachtet. Analog dazu definiert man den Begriff der Idelklassengruppe wie folgt.

In Analogie zum Begriff des Hauptideals werden die Elemente von ${\displaystyle K^{\times }}$ in ${\displaystyle I_{K}}$ als Hauptidele von ${\displaystyle I_{K}}$ bezeichnet. Der Quotient, also die Faktorgruppe ${\displaystyle C_{K}:=I_{K}/K^{\times },}$ wird die Idelklassengruppe von ${\displaystyle K}$ genannt. Diese steht in Zusammenhang mit der Idealklassengruppe (vgl. den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe) und ist Hauptgegenstand bei den Betrachtungen in der Klassenkörpertheorie.

Da ${\displaystyle K^{\times }}$ abgeschlossen in ${\displaystyle I_{K}}$ ist, folgt, dass ${\displaystyle C_{K}}$ eine lokalkompakte, hausdorffsche, topologische Gruppe ist.

Für eine endliche Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$ globaler Körper induziert die Einbettung ${\displaystyle I_{K}\hookrightarrow I_{L}}$ eine injektive Abbildung auf den Idelklassengruppen:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{K}&\hookrightarrow C_{L},\\\alpha K^{\times }&\mapsto \alpha L^{\times }.\end{aligned}}}$

Die Wohldefiniertheit der Abbildung folgt, da die Injektion ${\displaystyle I_{K}\hookrightarrow I_{L}}$ offensichtlich ${\displaystyle K^{\times }}$ auf eine Untergruppe von ${\displaystyle L^{\times }}$ abbildet. Die Injektivität wird in Neukirch (2007), S. 388 gezeigt.

Für jede Teilmenge ${\displaystyle S}$ der Stellenmenge von ${\displaystyle K}$ ist ${\displaystyle I_{K,S}}$ mit der Topologie der Idelegruppe eine lokalkompakte topologische Gruppe. Mit der Teilraumtopologie wird ${\displaystyle I_{K,S}}$ im Allgemeinen keine topologische Gruppe, da die Inversionsabbildung nicht stetig ist.

Dieser Satz folgt aus der Lokalkompaktheit des Adelerings, der Konstruktion der Ideletopologie und der Darstellung der Idelegruppe als restringiertes Produkt.

Da die Idelegruppe mit der Multiplikation eine lokalkompakte Gruppe bilden, existiert ein Haarmaß ${\displaystyle d^{\times }x}$ auf dieser Gruppe. Dieses kann so normalisiert werden, dass ${\displaystyle \textstyle \int _{I_{K,fin}}\mathbf {1} _{\widehat {\mathcal {O}}}\,d^{\times }x=1.}$ Dies ist die Normalisierung an den endlichen Stellen. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle I_{K,fin}}$ die Menge der endlichen Idele, also die Einheitengruppe der Menge der endlichen Adele. An den unendlichen wird das multiplikative Lebesgue-Maß ${\displaystyle \textstyle {\frac {dx}{|x|}}}$ genommen.

Eine Einsumgebungsbasis der Idelegruppe ist durch eine Einsumgebungsbasis von ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }(P_{\infty })}$ gegeben. Alternativ bilden auch alle Mengen der folgenden Form eine Einsumgebungsbasis:

${\displaystyle \prod _{v}U_{v},}$

wobei ${\displaystyle U_{v}}$ eine Umgebung der ${\displaystyle 1}$ in ${\displaystyle K_{v}^{\times }}$ ist und ${\displaystyle U_{v}={\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$ für fast alle ${\displaystyle v.}$

Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper. Auf der Idelegruppe installieren wir einen Betrag wie folgt: Für ein gegebenes Idel ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}}$ definiere:

${\displaystyle |\alpha |:=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}.}$

Da ${\displaystyle \alpha \in I_{K},}$ ist dieses Produkt endlich und damit wohldefiniert. Die Definition des Betrages lässt sich auf den Adelering ausdehnen, wenn wir unendliche Produkte zulassen, wobei die Konvergenz in ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |_{\infty })}$ betrachtet wird. Diese Produkte werden alle ${\displaystyle 0,}$ so dass der ausgedehnte Betrag auf ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\setminus I_{K}}$ verschwindet. Im Folgenden bezeichne ${\displaystyle |\cdot |}$ die Betragsabbildung auf ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ bzw. ${\displaystyle I_{K}.}$

Es gilt nun, dass die Betragsabbildung ein stetiger Gruppenhomomorphismus ist, d. h. die Abbildung ${\displaystyle |\cdot |:I_{K}\rightarrow \mathbb {R} _{>0}}$ ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Dies kann durch folgende Rechnung eingesehen werden: Seien ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta \in I_{K}.}$ Dann gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha \cdot \beta |&=\prod _{v}|(\alpha \cdot \beta )_{v}|_{v}\\&=\prod _{v}|\alpha _{v}\cdot \beta _{v}|_{v}\\&=\prod _{v}(|\alpha _{v}|_{v}\cdot |\beta _{v}|_{v})\\&=(\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v})\cdot (\prod _{v}|\beta _{v}|_{v})\\&=|\alpha |\cdot |\beta |,\end{aligned}}}$

wobei beim Übergang von Zeile 3 in Zeile 4 benutzt wurde, dass alle auftretenden Produkte endlich sind. Die Stetigkeit der Abbildung folgt, indem man Folgenstetigkeit zeigt und ausnutzt, dass die Betragsabbildung auf ${\displaystyle K_{v}}$ stetig ist. Dies kann man mit der umgekehrten Dreiecksungleichung einsehen. Aufgrund der restringierten Produkttopologie werden effektiv nur endlich viele Stellen betrachtet und die Behauptung folgt.

Wir definieren nun die Menge der ${\displaystyle 1}$-Idele ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ wie folgt:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}:=\{x\in I_{K}:|x|=1\}=\ker(|\cdot |).}$

Die Gruppe der ${\displaystyle 1}$-Idele sind eine Untergruppe von ${\displaystyle I_{K}.}$ In der Literatur wird auch ${\displaystyle I_{K}^{1}}$ für die Gruppe der ${\displaystyle 1}$-Idele verwendet. Im Folgenden wird die Notation ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ verwendet.

Es gilt nun, dass ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ eine abgeschlossene Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ist, denn ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}=|\cdot |^{-1}(\{1\}).}$

Die ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$-Topologie auf ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ stimmt mit der Teilraumtopologie von ${\displaystyle I_{K}}$ auf ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ überein. Diese Aussage findet sich in Cassels (1967), S. 69f.

Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper. Für den Homomorphismus ${\displaystyle |\cdot |:z\mapsto |z|}$ von ${\displaystyle I_{K}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ gilt: ${\displaystyle K^{\times }\subset \ker(|\cdot |).}$ Mit anderen Worten bedeutet das, dass ${\displaystyle |k|=1}$ für alle ${\displaystyle k\in K^{\times }.}$ Die Produktformel impliziert, dass ${\displaystyle K^{\times }\subset \mathbb {A} _{K}^{1}}$ ist. Dieser Satz ist in der Literatur als „Artin's product formula“ (Artins Produktformel) bekannt.

Es gibt viele Beweise dieser Aussage. Dieser hier orientiert sich an Neukirch (2007), S. 195. Er findet sich auch in Cassels (1967), S. 61. Die wesentliche Idee des Beweises ist es, die allgemeine Produktformel im algebraischen Zahlkörperfall auf den Spezialfall ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ zurückzuführen. Der Funktionenkörperfall geht ähnlich.

Sei ${\displaystyle a\in K^{\times }}$ beliebig. Zu zeigen ist:

${\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1.}$

Es ist ${\displaystyle v(a)=0}$ und damit ${\displaystyle |a|_{v}=1}$ für jedes ${\displaystyle v\nmid \infty ,}$ für welches das zugehörige Primideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$ nicht in der Primidealzerlegung des Hauptideals ${\displaystyle (a)}$ auftritt. Dies ist für fast alle ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$ so. Es gilt nun:

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{v}|a|_{v}&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v\mid p}|a|_{v}\\&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v\mid p}|N_{K_{v}/\mathbb {Q} _{p}}(a)|_{p}\\&=\prod _{p\leq \infty }|N_{K/\mathbb {Q} }(a)|_{p},\end{aligned}}}$

wobei beim Übergang von Zeile 1 in Zeile 2, die allgemein gültige Gleichung ${\displaystyle |a|_{w}=|N_{L_{w}/K_{v}}(a)|_{v}}$ benutzt wurde, wobei ${\displaystyle v}$ eine Stelle von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle w}$ Stelle von ${\displaystyle L}$ ist, welche über ${\displaystyle v}$ liegt. Beim Übergang von Zeile 2 in Zeile 3 wurde eine Eigenschaft der Norm ausgenutzt. Man beachte, dass die Norm in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ist. Wir können daher ohne Einschränkung annehmen, dass ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ ist. Dann hat ${\displaystyle a}$ eine eindeutige Primzerlegung:

${\displaystyle a=\pm \prod _{p<\infty }p^{v_{p}},}$

wobei ${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {Z} }$ fast immer ${\displaystyle 0.}$ Der Satz von Ostrowski besagt, dass die Beträge auf ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ bis auf Äquivalenz genau die ${\displaystyle p}$-Beträge und ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ sind. Es folgt, dass

${\displaystyle {\begin{aligned}|a|&=(\prod _{p<\infty }|a|_{p})\cdot |a|_{\infty }\\&=(\prod _{p<\infty }p^{-v_{p}})\cdot (\prod _{p<\infty }p^{v_{p}})\\&=1.\end{aligned}}}$

Es gibt noch weitere Beweise der Produktformel, welche in der Literatur zu finden sind.

Sei ${\displaystyle E}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler ${\displaystyle K}$-Vektorraum. Setze ${\displaystyle A:=\operatorname {End} (E).}$ Sei weiterhin ${\displaystyle a\in \mathbb {A} _{A}.}$ Dann sind folgende Aussagen äquivalent

• ${\displaystyle a\in \mathbb {A} _{A}^{\times },}$
• ${\displaystyle \operatorname {det} (a)\in \mathbb {A} _{K}^{\times },}$
• ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ist ein Automorphismus von ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$

Wenn einer der drei Punkte erfüllt ist, dann gilt, dass ${\displaystyle |a|=|\operatorname {det} (a)|.}$ Weiterhin gilt, dass die Zuordnungen ${\displaystyle a\mapsto \operatorname {det} (a)}$ und ${\displaystyle a\mapsto |\operatorname {det} (a)|}$ Homomorphismen sind von ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ nach ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}.}$ Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 73f.

Insbesondere erhält man für eine endlichdimensionale ${\displaystyle K}$-Algebra ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle a\in \mathbb {A} _{A}}$ die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

• ${\displaystyle a\in \mathbb {A} _{A}^{\times },}$
• ${\displaystyle N_{A/K}(a)\in \mathbb {A} _{K}^{\times },}$
• ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ist ein Automorphismus der additiven Gruppe ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}.}$

Wenn einer der drei Punkte erfüllt ist, dann gilt, dass ${\displaystyle |a|=|N_{A/K}(a)|.}$ Weiterhin gilt, dass die Zuordnungen ${\displaystyle a\mapsto N_{A/K}(a)}$ und ${\displaystyle a\mapsto |N_{A/K}(a)|}$ Homomorphismen sind von ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ nach ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}.}$ Mit diesem Satz ist ein alternativer Beweis der Produktformel möglich, vgl. Weil (1967), S. 75.

Bevor wir den Satz formulieren können, brauchen wir folgende Hilfsaussage:

Lemma: Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper. Es gibt eine Konstante ${\displaystyle C,}$ welche nur vom globalen Körper ${\displaystyle K}$ abhängt, so dass für alle ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C}$ ein ${\displaystyle \beta \in K^{\times }}$ existiert, sodass ${\displaystyle |\beta _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}}$ für alle ${\displaystyle v.}$

Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Cassels (1967), S. 66 Lemma.

Korollar: Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper, sei ${\displaystyle v_{0}}$ eine Stelle von ${\displaystyle K}$ und sei ${\displaystyle \delta _{v}>0}$ gegeben für alle Stellen ${\displaystyle v\neq v_{0},}$ so dass ${\displaystyle \delta _{v}=1}$ für fast alle ${\displaystyle v}$ gilt. Dann gibt es ein ${\displaystyle \beta \in K^{\times },}$ sodass ${\displaystyle |\beta |\leq \delta _{v}}$ für alle ${\displaystyle v\neq v_{0}.}$

Beweis: Nach dem Lemma zuvor existiert eine Konstante ${\displaystyle C,}$ die nur von unserem (fixierten) globalen Körper abhängt. Wir bezeichnen mit ${\displaystyle \pi _{v}}$ uniformisierende Elemente der entsprechenden Ganzzahlringe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}.}$ Definiere nun das Adel ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}}$ via ${\displaystyle \alpha _{v}:=\pi _{v}^{k_{v}}}$ mit ${\displaystyle k_{v}\in \mathbb {Z} }$ minimal so, dass ${\displaystyle |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}}$ für alle ${\displaystyle v\neq v_{0}.}$ Dann ist ${\displaystyle k_{v}=0}$ fast immer. Definiere ${\displaystyle \alpha _{v_{0}}:=\pi _{v_{0}}^{k_{v_{0}}}}$ mit ${\displaystyle k_{v_{0}}\in \mathbb {Z} ,}$ so dass ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}$ Dies geht, weil ${\displaystyle k_{v}=0}$ für fast alle ${\displaystyle v}$ ist. Nach dem obigen Lemma existiert ein ${\displaystyle \beta \in K^{\times },}$ sodass ${\displaystyle |\beta |_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}}$ für alle ${\displaystyle v\neq v_{0}}$ gilt.

Nun zum eigentlichen Satz:

Satz: Sei ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper. ${\displaystyle K^{\times }}$ ist diskret in ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ und der Quotient ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}/K^{\times }}$ ist kompakt.

Beweis: Die Diskretheit von ${\displaystyle K^{\times }}$ in ${\displaystyle I_{K}}$ impliziert die Diskretheit von ${\displaystyle K^{\times }}$ in ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}.}$

Es bleibt zu zeigen, dass ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}/K^{\times }}$ kompakt ist. Dieser Beweis findet sich unter anderem in Weil (1967), S. 76 oder in Cassels (1967), S. 70. Im Folgenden wird Cassels (1967) Beweisidee wiedergegeben: Es reicht die Existenz einer kompakten Menge ${\displaystyle W\subset \mathbb {A} _{K}}$ zu zeigen, sodass die natürliche Projektion ${\displaystyle \pi :W\cap \mathbb {A} _{K}^{1}\rightarrow \mathbb {A} _{K}^{1}/K^{\times }}$ surjektiv ist, da die natürliche Projektion eine stetige Abbildung ist. Sei nun ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K}}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C}$ gegeben, wobei ${\displaystyle C}$ die Konstante des eingangs formulierten Lemmas ist. Definiere

${\displaystyle W:=\{\xi =(\xi _{v})_{v}:|\xi _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}\quad \forall v\}.}$

Offensichtlich ist ${\displaystyle W}$ kompakt. Sei nun ${\displaystyle \beta =(\beta _{v})_{v}}$ in ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ gegeben. Wir zeigen, dass ein ${\displaystyle \eta \in K^{\times }}$ existiert, sodass ${\displaystyle \eta \beta \in W.}$ Per Definition der Menge der ${\displaystyle 1}$-Idele gilt, dass

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,}$

und deshalb

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}|_{v}=1.}$

Es folgt, dass

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}$

Wegen des vorigen Lemmas existiert ein ${\displaystyle \eta \in K^{\times },}$ so dass ${\displaystyle |\eta |_{v}\leq |\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}}$ für alle ${\displaystyle v.}$ Es folgt, dass ${\displaystyle \eta \beta \in W.}$ Damit folgt die Behauptung.

Im Fall ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ gibt es einen kanonischen Isomorphismus ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }.}$ Weiterhin gilt, dass ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \{1\}}$ ein Vertretersystem von ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }}$ ist. Das bedeutet, dass ${\displaystyle ({\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \{1\})\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{1}.}$ Ferner werden durch den Betrag folgende Isomorphismen topologischer Gruppen induziert:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty ){\text{ und }}\\\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{1}&\cong I_{\mathbb {Q} ,fin}\times \{\pm 1\}.\end{aligned}}}$

Es folgt, dass ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times (0,\infty )}$ ein Vertretersystem von ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ^{\times }}$ ist. Dieser Satz ist Teil des Satzes 5.3.3 auf Seite 128 in Deitmar (2010).

Beweis: Definiere die Abbildung ${\displaystyle \varphi$ :{\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\rightarrow \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times },} via ${\displaystyle (a_{p})_{p}\mapsto ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }.}$ Diese Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da ${\displaystyle |a_{p}|_{p}=1}$ für alle ${\displaystyle p}$ und somit ${\displaystyle (\prod _{p<\infty }|a_{p}|_{p})\cdot 1=1}$ gilt. Die Abbildung ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Für die Injektivität sei ${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }=((b_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }.}$ Daher existiert ein ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} ^{\times },}$ so dass ${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)q=((b_{p})_{p},1).}$ Durch einen Vergleich an der unendlichen Stelle, folgt ${\displaystyle q=1}$ und daher ${\displaystyle (a_{p})_{p}=(b_{p})_{p}.}$ Für die Surjektivität sei ${\displaystyle ((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }}$ gegeben. Da der Betrag dieses Elements ${\displaystyle 1}$ ist, ist ${\displaystyle \textstyle |\beta _{\infty }|_{\infty }={\frac {1}{\prod _{p}|\beta _{p}|_{p}}}\in \mathbb {Q} .}$ Es folgt, dass ${\displaystyle \beta _{\infty }\in \mathbb {Q} .}$ Also ist ${\displaystyle \textstyle ((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }=(({\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }}$ und damit ist die Abbildung surjektiv, denn ${\displaystyle \textstyle {\frac {|\beta _{p}|_{p}}{|\beta _{\infty }|_{p}}}=1}$ für alle ${\displaystyle p,}$ vgl. die Darstellung von ${\displaystyle |\beta _{\infty }|_{\infty }.}$ Die weiteren Isomorphismen sind gegeben durch: ${\displaystyle \psi :I_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty ),}$ via ${\displaystyle a=(a_{p})_{p\leq \infty }\mapsto ((a_{p})_{p<\infty },a_{\infty }/|a|,|a|)}$ und ${\displaystyle {\widetilde {\psi }}:I_{\mathbb {Q} ,fin}\times \{\pm 1\}\rightarrow \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{1},}$ via ${\displaystyle (a_{fin},\epsilon )\mapsto (a_{fin},\epsilon |a_{fin}|^{-1}).}$ Der Nachweis, dass es sich hierbei um Isomorphismen handelt, sei dem Leser zur Übung überlassen.