Ideales Simplex

Es bezeichne ${\displaystyle H^{n}}$ den ${\displaystyle n}$-dimensionalen hyperbolischen Raum und ${\displaystyle \partial _{\infty }H^{n}}$ seinen Geodätischen Rand.

Ein ideales Simplex ist ein geodätisches Simplex in ${\displaystyle {\overline {H^{n}}}:=H^{n}\cup \partial _{\infty }H^{n}}$, dessen Ecken in ${\displaystyle \partial _{\infty }H^{n}}$ liegen.

Man kann zeigen, dass es zu jedem Tupel ${\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{k})\in (\partial _{\infty }H^{n})^{k+1}}$ ein ideales ${\displaystyle k}$-Simplex mit Ecken ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{k}}$ gibt.

Alle idealen Dreiecke in der hyperbolischen Ebene (oder in einem höher-dimensionalen hyperbolischen Raum) sind isometrisch. Das ist eine unmittelbare Folgerung aus der Tatsache, dass die Gruppe ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$ der orientierungserhaltenden Isometrien der hyperbolischen Ebene ${\displaystyle 3}$-fach transitiv auf ${\displaystyle \partial _{\infty }H^{2}=\mathbb {R} P^{1}}$ wirkt.

Nicht-entartete ideale Tetraeder im 3-dimensionalen hyperbolischen Raum werden bis auf Isometrie durch das Doppelverhältnis ihrer ${\displaystyle 4}$ Ecken klassifiziert. Auch das ist eine unmittelbare Folgerung aus der Tatsache, dass die Gruppe ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {C} )}$ der orientierungserhaltenden Isometrien des hyperbolischen Raumes ${\displaystyle 3}$-fach transitiv auf ${\displaystyle \partial _{\infty }H^{3}=\mathbb {C} P^{1}}$ wirkt.

Ein ideales Simplex mit Ecken ${\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{k})\in (\partial _{\infty }H^{n})^{k+1}}$ heißt regulär, wenn es zu jeder Permutation ${\displaystyle \pi }$ der Ecken eine Isometrie ${\displaystyle g\colon H^{n}\to H^{n}}$ mit ${\displaystyle g(v_{i})=\pi (v_{i})}$ gibt.

Die idealen ${\displaystyle n}$-Simplizes maximalen Volumens sind genau die regulären idealen Simplizes.[1][2] Insbesondere gibt es eine obere Schranke für das Volumen idealer Simplizes im hyperbolischen Raum.