Diskrete Fourier-Transformation

Die diskrete Fourier-Transformation verarbeitet eine Folge von Zahlen ${\displaystyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})}$, die zum Beispiel als zeitdiskrete Messwerte entstanden sind. Dabei wird angenommen, dass diese Messwerte einer Periode eines periodischen Signals entsprechen. Die DFT gilt auch für den Fall, dass ${\displaystyle a}$ eine Folge von komplexen Zahlen ist, also: ${\displaystyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}$

Das Ergebnis der Transformation ist eine Zerlegung der Folge in harmonische (sinusförmige) Anteile, sowie einen „Gleichanteil“ ${\displaystyle {\hat {a}}_{0}}$, der dem Mittelwert der Eingangsfolge entspricht. Das Ergebnis nennt man „diskrete Fourier-Transformierte“ ${\displaystyle {\hat {a}}=({\hat {a}}_{0},\dotsc ,{\hat {a}}_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}$ von ${\displaystyle a}$. Die Koeffizienten von ${\displaystyle {\hat {a}}}$ sind die Amplituden der Zerlegungs-Anteile. Man nennt ${\displaystyle {\hat {a}}_{k}}$ auch Fourierkoeffizienten oder Fourierkomponenten.

Üblicherweise wird bei der Bestimmung der Frequenzanteile/Phasenlage die kompakte mathematische Schreibweise der Polarform verwendet (Eulersche Formel):

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\phi }=\cos \left(\phi \right)+\mathrm {i} \,\sin \left(\phi \right)}$

Die Fourierkoeffizienten ${\displaystyle {\hat {a}}_{k}}$ werden damit aus der Eingangsfolge berechnet durch:

${\displaystyle {\hat {a}}_{k}=\sum _{j=0}^{N-1}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot a_{j}}$   für   ${\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}$

Die Gleichung kann auch als Matrix-Vektor-Produkt geschrieben werden:

${\displaystyle {\hat {a}}=W\cdot a}$   mit   ${\displaystyle W[k,j]=\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}}$

Die symmetrische Transformationsmatrix ${\displaystyle W}$ mit der Dimension ${\displaystyle N\times N}$ wird „Fourier-Matrix“ genannt.

Die Summe der sinusförmigen Zerlegungsanteile ergibt wiederum die ursprüngliche Eingangsfolge ${\displaystyle a}$.

Dafür wird das Transformationsergebnis ${\displaystyle {\hat {a}}}$ als Koeffizienten eines Polynoms verwendet, wobei ${\displaystyle {\hat {a}}_{k}}$ die Amplituden von den zugehörigen harmonischen Schwingungen ${\displaystyle z_{k}}$ darstellen.

${\displaystyle A(z_{k})={\tfrac {1}{N}}\left({\hat {a}}_{0}z_{k}^{0}+{\hat {a}}_{1}z_{k}^{1}+\dots +{\hat {a}}_{N-1}z_{k}^{N-1}\right)\;.}$

Die Argumente ${\displaystyle z_{0},z_{1},\dotsc ,z_{N-1}}$ sind ${\displaystyle N}$ gleich verteilte Punkte auf dem Einheitskreis der komplexen Zahlenebene, d. h. die ${\displaystyle N}$–ten Einheitswurzeln

${\displaystyle z_{k}=\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi \mathrm {i} }{N}}k}=\cos \left({\tfrac {2\pi }{N}}k\right)+\mathrm {i} \,\sin \left({\tfrac {2\pi }{N}}k\right)\;.}$

Aus dieser Erklärung wird nebenbei auch der Zusammenhang zwischen der diskreten Fourier-Transformation und der z-Transformation ersichtlich. Der Unterschied besteht im Wesentlichen darin, dass die z-Transformation nicht auf den Einheitskreis beschränkt ist und dadurch auch zeitlich dynamische Vorgänge abbilden kann.

Die Koeffizienten der ursprünglichen Folge ${\displaystyle a}$ lassen sich mit der iDFT aus den Fourierkoeffizienten ${\displaystyle {\hat {a}}_{j}}$ bestimmen:

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot {\hat {a}}_{j}}$   für   ${\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}$

In der Schreibweise als Matrix-Vektor-Produkt:

${\displaystyle a=W^{-1}\cdot {\hat {a}}}$   mit   ${\displaystyle W^{-1}[k,j]={\frac {1}{N}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}}$

wobei hier ${\displaystyle {\hat {a}}}$ mit der inversen Matrix von ${\displaystyle W}$ multipliziert wird.

Aus der inversen diskreten Fourier-Transformation lässt sich auch eine zeitkontinuierliche Funktion bestimmen, die durch die zeitdiskreten Messwerte (die Eingangsfolge) führt:

Dazu wird das Polynom ${\displaystyle A(z)}$ mit einer gleichmäßig den Einheitskreis umlaufenden Funktion ${\displaystyle z(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}}$ verknüpft. So ergibt sich eine zeitkontinuierliche periodische Funktion

${\displaystyle f(t)=A(z(t))={\tfrac {1}{N}}\left({\hat {a}}_{0}+{\hat {a}}_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+{\hat {a}}_{2}\mathrm {e} ^{2\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+\dotsb +{\hat {a}}_{N-1}\mathrm {e} ^{(N-1)\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}\right),}$

die zu den Zeiten ${\displaystyle t_{k}=t_{0}+{\tfrac {k}{N}}T}$ gerade die Funktionswerte ${\displaystyle a_{k}=A(z_{k})}$ annimmt.

Die Potenzen von ${\displaystyle z(t)}$ haben die Gestalt

${\displaystyle z(t)^{k}=\mathrm {e} ^{k\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}=\cos(2k\pi {\tfrac {t-t_{0}}{T}})+\mathrm {i} \,\sin(2k\pi {\tfrac {t-t_{0}}{T}})}$

und daher die Periode ${\displaystyle T/k}$ und die Frequenz ${\displaystyle k/T}$ bzw. die Kreisfrequenz ${\displaystyle 2k\pi /T}$. Somit ist die Folge der Messwerte durch die Superposition eines konstanten Pegels bei ${\displaystyle k=0}$, einer Grundschwingung bei ${\displaystyle k=1}$ und Oberschwingungen bei ${\displaystyle k>1}$ dargestellt und interpoliert worden.

Diese oben angegebene Interpolationsfunktion ist nicht die einzige, die sich auf diese Art konstruieren lässt. Jede der Funktionen

${\displaystyle {\begin{matrix}f(t)={\frac {1}{N}}&\left({\hat {a}}_{0}+{\hat {a}}_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+{\hat {a}}_{2}\mathrm {e} ^{2\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+\dots +{\hat {a}}_{M-1}\mathrm {e} ^{(M-1)\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}\right.\\&\left.+{\hat {a}}_{M}\mathrm {e} ^{(M-N)\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+\dots +{\hat {a}}_{N-1}\mathrm {e} ^{(N-1-N)\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}\right)\end{matrix}}}$

hat diese Interpolationseigenschaft.

Wie bei der Fourier-Transformation gelten auch für die DFT gewisse Symmetriegesetze. So wird ein reelles Signal im Zeitraum zu einem hermiteschen Signal (${\displaystyle g(-{\vec {x}})={\overline {g({\vec {x}})}}}$) im Frequenzraum:

${\displaystyle {\hat {a}}_{N-k}={\overline {{\hat {a}}_{k}}}}$

Dies bedeutet, dass im Frequenzraum nur ${\displaystyle N/2}$ unabhängige komplexe Koeffizienten ${\displaystyle {\hat {a}}_{k}}$ vorliegen. Diese Tatsache kann bei der Implementierung der DFT ausgenutzt werden, wenn bekannt ist, dass das Eingangssignal rein reell ist. Für die Darstellung des Ergebnisses sind dann keine ${\displaystyle N}$ (wie bei der vollen DFT), sondern nur ${\displaystyle N/2}$ komplexe Zahlen nötig. Die anderen ${\displaystyle N/2}$ komplexen Zahlen können durch elementare Rechnung rekonstruiert werden (siehe Formel oben). Die hermitesche Symmetrie bezieht sich auf das mittlere Element ${\displaystyle k=N/2}$ des Signals ${\displaystyle {\hat {a}}_{k}}$.

Beweis: Wegen der Eulerschen Identität ${\displaystyle \mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} }=1}$ und wegen ${\displaystyle {\overline {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }}}=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \phi }}$ gilt im reellen Fall ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{N}}$:

${\displaystyle {\hat {a}}_{N-k}=\sum _{j=0}^{N-1}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {Nj}{N}}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot a_{j}=\sum _{j=0}^{N-1}{\overline {\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot a_{j}}}={\overline {{\hat {a}}_{k}}}}$

Umgekehrt gilt entsprechend: Erfüllt ${\displaystyle {\hat {a}}\in \mathbb {C} ^{N}}$ die Bedingung ${\displaystyle {\hat {a}}_{N-k}={\overline {{\hat {a}}_{k}}}}$ für alle ${\displaystyle k=1,\dotsc ,N-1}$ sowie ${\displaystyle {\hat {a}}_{0}\in \mathbb {R} }$, so ist die inverse DFT ein reeller Vektor ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{N}}$.

In der Mathematik wird die diskrete Fouriertransformation in einem sehr allgemeinen Kontext betrachtet. Sie findet unter anderem in der Computeralgebra bei einer Vielzahl von effizienten Algorithmen zur exakten Arithmetik Anwendung, so zum Beispiel bei der schnellen Multiplikation ganzer Zahlen mit dem Schönhage-Strassen-Algorithmus.

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer unitärer Ring, in dem die Zahl ${\displaystyle N}$ (das ist die ${\displaystyle N}$-fache Summe der ${\displaystyle 1}$) eine Einheit ist. Des Weiteren gebe es in ${\displaystyle R}$ eine primitive ${\displaystyle N}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle w}$. Zu einem Tupel ${\displaystyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})\in R^{N}}$ ist dann die diskrete Fouriertransformierte ${\displaystyle {\hat {a}}}$ durch

${\displaystyle {\hat {a}}_{k}=\sum _{j=0}^{N-1}w^{-\,j\cdot k}\cdot a_{j}}$ für ${\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}$

erklärt. Unter den getroffenen Voraussetzungen existiert damit zu ${\displaystyle {\hat {a}}\in R^{N}}$ auch die diskrete inverse Fouriertransformierte ${\displaystyle a}$ mit den Koeffizienten

${\displaystyle a_{k}={1 \over N}\sum _{j=0}^{N-1}w^{j\cdot k}\cdot {\hat {a}}_{j}}$ für ${\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}$.

Im überaus wichtigen Spezialfall ${\displaystyle R=\mathbb {C} }$ wird für die DFT üblicherweise die ${\displaystyle N}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle w=\exp \left(2\pi \,\mathrm {i} /N\right)}$ benutzt. Dies ergibt die Formel im ersten Abschnitt.

Die DFT kann leicht auf mehrdimensionale Signale erweitert werden. Sie wird dann je einmal auf alle Koordinatenrichtungen angewendet. Im wichtigen Spezialfall von zwei Dimensionen (Bildverarbeitung) gilt etwa:

${\displaystyle {\hat {a}}_{k,l}=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}a_{m,n}\cdot \mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {mk}{M}}}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {nl}{N}}}}$ für ${\displaystyle k=0,\dotsc ,M-1}$ und ${\displaystyle l=0,\dotsc ,N-1}$

Die Rücktransformation lautet entsprechend:

${\displaystyle a_{m,n}={\frac {1}{MN}}\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}{\hat {a}}_{k,l}\cdot \mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {mk}{M}}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {nl}{N}}}}$ für ${\displaystyle m=0,\dotsc ,M-1}$ und ${\displaystyle n=0,\dotsc ,N-1}$

Berechnete 2D Fourier-Trans­formationen. Links Ausgangs­bild, rechts Intensitäts­verteilung der Fourier-Transformation.

Berechnete 2D Fourier-Trans­formationen. Links Ausgangs­bild, rechts Intensitäts­verteilung der Fourier-Transformation.

Die Bilder rechts veranschaulichen zweidimensionale Fourier-Transformationen (2D FFT) an geometrischen Mustern, gerechnet für Quadrate der diskreten Größe von ${\displaystyle a\times a}$ Pixeln. Das Bild oben links zeigt einen Spalt der Größe ${\displaystyle e\times f}$ Pixel, daneben die Intensitätsverteilung des Beugungsbildes. Die Ortsvariable ${\displaystyle r}$ wird überführt in reziproke komplexe Werte ${\displaystyle r^{*}}$. Bei den gewählten Größen wird ein Pixel auf den reziproken Wert von ${\displaystyle 1/a}$ reziproken Pixeln überführt. Die Breite des Spalts von ${\displaystyle e}$ Pixeln erscheint im Reziprokraum als Wert der Größe ${\displaystyle r^{*}=a/e}$, die Höhe ${\displaystyle r^{*}=a/f}$, mit harmonischen Frequenzen höherer Ordnung. Die berechneten Beugungsbilder geben die Intensitätsverteilungen der komplexen Größe ${\displaystyle r^{*}}$ wieder. Dass sie nur die Hälfte der Bildinformation tragen, erkennt man an ihrer Rotationssymmetrie.

Die periodischen Peaks entsprechen den Ortsfrequenzen höherer Ordnung eines Rechtecksignals. Ähnliche Beispiele finden sich unter den Stichworten Fourier-Analyse, Fourier-Transformation oder Beugungsscheibchen.

Im zweiten Teilbild wird ein regelmäßiges Sechseck gebeugt. Wieder erscheint die Größe der Figur als Periode im Beugungsbild rechts. Die 6-zählige Symmetrie ist deutlich zu erkennen. Eine Verschiebung des Ausgangsbildes – im Gegensatz zu einer Drehung – würde sich nur in der Phasenbeziehung auswirken, die in der gewählten Darstellung als Intensitätsverteilung nicht zu erkennen ist.

Das untere Teilbild zeigt rechts das berechnete Beugungsmuster eines Dreiecks. Die 6-zählige Symmetrie ist nur vorgetäuscht, was an der fehlenden Modulation der Beugungssterne zu erkennen ist.

Die zweite Bildserie vergleicht die Beugung zweier Kreisöffnungen. Ein großer Kreis erzeugt ein kleines Beugungsmuster, und umgekehrt. Bei einem Fernrohr begrenzt die Lichtbeugung an der Linsenöffnung die Auflösung. Je größer der Durchmesser ist, desto kleiner ist das Beugungsbild eines Sterns, desto besser können nahe beieinander liegende Sterne voneinander unterschieden werden.

Das untere Bild ist ein Beispiel für eine Beugung an einer Kreisstruktur ohne scharfe Begrenzung. Bei einer sinusförmigen Intensitätsabnahme am Rad treten keine Beugungen höherer Ordnung auf (siehe auch Zonenplatte).

SAR-Bild des indischen Ozeans

FFT des SAR-Bildes

Die Aufnahme links zeigt eine SAR-Aufnahme des indischen Ozeans mit Wasserwellen unterschiedlicher Wellenlänge. Die internen Wellen oben rechts haben eine Wellenlänge von ca. 500 m. Die durch Wind erzeugten Oberflächenwellen sind in der verkleinerten Darstellung nicht erkennbar. Im gerechneten Beugungsbild geben die beiden dunklen Reflexe (siehe kurzer Pfeil) sowohl die Richtung als auch die mittlere Wellenlänge der regelmäßigen langperiodischen Wasserwellen an. Die Wellenlängen der Oberflächenwellen variieren stärker, weshalb sie keine scharfen Reflexe liefern. Es liegen zwei ausgezeichnete Richtungen für die Wellenausbreitung vor, die im Direktbild nur undeutlich zu sehen sind. Die Wellenlängen betragen ca. 150 m (langer Pfeil) und 160 m (etwas kürzerer Pfeil).

Die in der diskreten Fouriertransformation auftretenden komplexen Zahlen

${\displaystyle {\mathcal {e}}_{N}(n):=\exp \left({\frac {2\pi \mathrm {i} \,n}{N}}\right)}$

sind ${\displaystyle N}$-te Einheitswurzeln, d. h., sie sind Lösungen der Gleichung ${\displaystyle q^{N}=1}$. Betrachte nun die „kleinste“ primitive Wurzel im ersten Quadranten ${\displaystyle q:={\mathcal {e}}_{N}(1)=\mathrm {e} ^{2\pi \,i/N}}$. Notiere das Kronecker-Delta mit ${\displaystyle \delta _{n,m}}$. Die Einheitswurzel ${\displaystyle q}$ genügt folgender Identität geometrischer Summen von Einheitswurzeln

${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}q^{nk}=N\delta _{0,n}}$ mit ${\displaystyle n=0,\dotsc ,N-1}$

wegen der Formel für geometrische Reihen

${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}x^{k}={\frac {x^{N}-1}{x-1}}}$ für ${\displaystyle x\neq 1}$.

Dieses ist der „tiefe Grund“, weshalb die inverse DFT funktioniert.

Für zwei Vektoren ${\displaystyle v,y\in \mathbb {C} ^{N}}$ mit ${\displaystyle v=(v_{0},\dots ,v_{N-1})}$ und ${\displaystyle y=(y_{0},\dots ,y_{N-1})}$ definieren wir folgendes komplexe Skalarprodukt

${\displaystyle \langle v,y\rangle$ :={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}v_{k}{\overline {y_{k}}}.}

Der Faktor ${\displaystyle N^{-1}}$ dient der Normierung der Skalarproduktnorm, so dass für passende Vektoren ${\displaystyle \|e_{i}\|^{2}=\langle e_{i},e_{i}\rangle =1}$ gilt.

In ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ definieren wir die Basis ${\displaystyle F:=\{f_{0},f_{1},\dots ,f_{N-1}\}}$ durch

${\displaystyle f_{n}:={\bigg (}{\mathcal {e}}_{N}(0),{\mathcal {e}}_{N}(n),{\mathcal {e}}_{N}(2n),\dots ,{\mathcal {e}}_{N}\left((N-1)n\right){\bigg )}=\left(\exp \left({\frac {2\pi \mathrm {i} nk}{N}}\right)\right)_{k=0,\dots ,N-1}}$

für ${\displaystyle n=0,\dotsc ,N-1.}$

Diese bilden eine Orthonormalbasis bezüglich des vorher definierten Skalarproduktes (aus der Eigenschaft der Einheitswurzeln), das heißt es gilt

${\displaystyle \langle f_{n},f_{m}\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\exp \left({\frac {2\pi \mathrm {i} (n-m)k}{N}}\right)=\delta _{n,m}={\begin{cases}1&n=m\\0&n\neq m\end{cases}}}$.

Da ${\displaystyle F}$ eine Orthonormalbasis ist, lässt sich jeder Vektor ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{N}}$ bezüglich dieser Basis darstellen ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{N-1})}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle \langle x,f_{n}\rangle =x_{n}}$ und daraus folgt die Darstellung

${\displaystyle \displaystyle x=\sum _{n=0}^{N-1}\langle x,f_{n}\rangle f_{n}.}$

Die Koeffizienten ${\displaystyle \{\langle x,f_{0}\rangle ,\langle x,f_{1}\rangle ,\dots \langle x,f_{N-1}\rangle \}}$ heißen (auch allgemein bei beliebigem Orthonormalsystem) Fourier-Koeffizienten, die DFT ordnet also einem Vektor ${\displaystyle x}$ bis auf eine additive Konstante den Vektor ${\displaystyle X=\operatorname {DFT} (x)}$ der Fourier-Koeffizienten zu.

Ist ${\displaystyle Y=\operatorname {DFT} (y)}$ mit einem weiteren Vektor ${\displaystyle y=(y_{0},\dotsc ,y_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}$, so gilt die Parsevalsche Gleichung für Fourier-Koeffizienten:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}\langle x,f_{n}\rangle \langle f_{n},y\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}X_{n}{\bar {Y}}_{n}}$.

Die Fourier-Transformation erlaubt es, sich Funktionen mit reellem Argument (und diversen Einschränkungen wie: Integrabilität, Periodizität oder Abfall im Unendlichen) aus Schwingungen zusammengesetzt zu denken:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} \omega }$

Eine wichtige Erkenntnis der Fouriertheorie ist, dass die Amplitude ${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}$ sich ähnlich bestimmen lässt zu

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t.}$

Wählen wir einen Radius ${\displaystyle R}$ so groß, dass außerhalb des Intervalls ${\displaystyle [-R,R]}$ nur noch ein unwesentlicher Teil von ${\displaystyle f}$ liegt, ist ${\displaystyle f}$ außerdem stetig und eine Zahl ${\displaystyle N}$ so groß gewählt, dass ${\displaystyle T:=R/N}$ klein genug ist, um ${\displaystyle f}$ sinnvoll singulär, d. h. durch Funktionswerte ${\displaystyle f(kT)}$, abzutasten, so kann das Fourierintegral in der Transformationsformel sinnvoll durch eine Summe ersetzt werden:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )\approx F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=-N}^{N}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega kT}f(kT)\,T}$

Das entspricht, bis auf einen konstanten Faktor ${\displaystyle T/{\sqrt {2\pi }}}$, der Berechnungsformel der DFT. Der Vektor ${\displaystyle x=(f(-NT),\dotsc ,f(NT))}$ hat ${\displaystyle 2N+1}$ Elemente. Wir wissen bereits, dass es ausreicht, die Frequenzkoeffizienten für die ${\displaystyle 2N+1}$ Frequenzen ${\displaystyle \omega _{n}:=2\pi \cdot {\frac {n}{(2N+1)T}}}$ mit ${\displaystyle n=-N,\dotsc ,-1,0,1,\dotsc ,N}$ zu bestimmen, um die Funktionswerte im Vektor ${\displaystyle x}$ zu rekonstruieren. Mit der notwendigen Anpassung der Konstanten in der iDFT erhalten wir

${\displaystyle f(nT)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=-N}^{N}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{k}nT}F(\omega _{k})\,{\frac {2\pi }{(2N+1)T}}.}$

Der Diskretisierungsabstand im Frequenzbereich ist proportional zu ${\displaystyle 1/R}$, also nach Voraussetzung ebenfalls klein, sodass diese Berechnung der Diskretisierung der inversen Fourier-Transformation entspricht.

Beim Übergang von der Fourier-Transformation zur DFT sind also folgende Veränderungen zu bemerken:

• Das Signal liegt zu diskreten, äquidistanten Zeitpunkten vor (${\displaystyle T=}$ Abstand zweier aufeinanderfolgender Zeitpunkte), ${\displaystyle 0}$ ist einer dieser Zeitpunkte.
• Das Signal hat eine endliche Länge (${\displaystyle 2N+1=}$ Anzahl der Werte), die als Werte innerhalb eines großen Intervalls ${\displaystyle [-NT,NT]}$ interpretiert werden.
• Die Integrale bei der Berechnung der Fourier-Koeffizienten werden bei der DFT zu Summen.
• Das Spektrum wird nur für eine endliche Anzahl von (Kreis-)Frequenzen berechnet ${\displaystyle \omega =2\pi n/((2N+1)T)}$ mit ${\displaystyle n=-N,\dotsc ,-1,0,1,2,\dotsc ,N}$ und ist periodisch in der Frequenz, wobei die Periode ${\displaystyle 2\pi /T}$ nach Voraussetzung (${\displaystyle T}$ klein) sehr groß ist.

Jede periodische Funktion mit reellem Argument (und wieder Einschränkungen wie: Integrabilität, keine Polstellen) und Periode ${\displaystyle L}$ kann als Funktionenreihe mit Sinusoiden, die Bruchteile von ${\displaystyle L}$ als Periode haben, dargestellt werden (sogenannte Fourier-Reihen):

${\displaystyle f(t)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(f)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \cdot \omega _{n}t}}$ mit ${\displaystyle \omega _{n}={\frac {2\pi n}{L}}}$

Brechen wir die Reihenentwicklung bei großen Grenzen ${\displaystyle 1-M}$ unten und ${\displaystyle N-M}$ oben ab, so erhalten wir mit ${\displaystyle T:=L/N}$

${\displaystyle f(t_{k})=f(kT)\approx \sum _{n=1-M}^{N-M}c_{n}(f)\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {nk}{N}}},}$

d. h., wir erhalten eine Form der inversen DFT. Damit können die Koeffizienten mittels DFT approximiert werden zu

${\displaystyle c_{n}(f)\approx {\frac {1}{L}}\sum _{k=0}^{N-1}f(kT)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \cdot {\frac {2\pi nk}{N}}}\cdot {\frac {L}{N}}={\frac {1}{L}}\sum _{k=0}^{N-1}f(t_{k})\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \cdot {\frac {2\pi n}{L}}t_{k}}\cdot T.}$

Im Grenzfall eines unendlich großen ${\displaystyle N}$ ergeben sich die bekannten Koeffizientenintegrale der Fourier-Reihen:

${\displaystyle c_{n}(f)={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \cdot {\frac {2\pi n}{L}}t}\,\mathrm {d} t}$

Das Ergebnis einer DFT-Berechnung kann auch als eine Modellierung des Originalsignals mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen interpretiert werden. Ein verständlicher Nachweis der Relation zwischen Ausgleichsrechnung (Methode der kleinsten Fehlerquadrate) und der diskreten Fourier-Transformation findet sich in [3].

Abb. 1: Betrag und Phase des Spektrums eines abgetasteten Signals

Die diskrete Fourier-Transformation besitzt ein periodisches Spektrum, es wiederholt sich mit der Abtastfrequenz und ist symmetrisch zur Abtastfrequenz. Es gilt:

${\displaystyle F\left(\omega +{\frac {2\pi }{T}}m\right)=C\sum _{k=0}^{N-1}f(kT)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega kT}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {2\pi }{T}}mkT}=F(\omega )}$ (wegen ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi mk}=1}$ für natürliche Zahlen ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle k}$)

${\displaystyle F\left({\frac {2\pi }{T}}-\omega \right)=C\sum _{k=0}^{N-1}f(kT)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {2\pi }{T}}kT}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \omega kT}=F^{*}(\omega )}$

Enthält das abgetastete Signal Frequenzanteile oberhalb der halben Abtastfrequenz, überlappen sich die Spektren des ursprünglichen Signals mit den an der Abtastfrequenz gespiegelten Signalanteilen, und es kommt zum Alias-Effekt.

In der Regel entsteht das zeitdiskrete Signal durch Diskretisierung eines kontinuierlichen Signals. Die durch die DFT entstehenden Spektren sind nur dann mit den Spektren des zugrundeliegenden kontinuierlichen Signals identisch, wenn bei der Abtastung das Abtasttheorem nicht verletzt wurde. Für Signale im Basisband muss gelten, dass die Abtastfrequenz mehr als doppelt so groß ist wie die maximal auftretende Frequenz (Nyquist-Frequenz). Bei Verletzung des Abtasttheorems tritt eine Verfälschung des Originalsignals auf (Aliasing im Zeitbereich). Eine Möglichkeit des Antialiasing ist die Bandbegrenzung des Signals am Eingang des Systems, um diesen Effekt zu vermeiden.

Für periodische Funktionen ergibt sich (analog zur kontinuierlichen Fourier-Transformation) ein Linienspektrum mit einem Frequenzlinienabstand von 1/Periodenlänge.

Abb. 2: Fourier-Transformierte eines Rechteck-Fensters

Eine zeitbegrenzte diskrete Funktion ${\displaystyle g(kT)}$ kann man aus einer periodischen diskreten Funktion ${\displaystyle f(kT)}$ ableiten, indem man über ein Zeitfenster ${\displaystyle w(t)}$ genau eine Periode herausschneidet:

${\displaystyle g(kT)=f(kT)\cdot w(t)}$

Da bei der Fourier-Transformation eine Multiplikation von Funktionen im Zeitbereich einer Faltung der Fourier-Transformierten im Frequenzbereich entspricht, ergibt sich die DFT der zeitbegrenzten Funktion ${\displaystyle G(\omega )}$ durch die Faltung der DFT der periodischen Funktion ${\displaystyle F(\omega )}$ mit der Fourier-Transformierten des Zeitfensters ${\displaystyle W(\omega )}$:

${\displaystyle G(\omega )=F(\omega )\star W(\omega )}$

Abb. 3: Zusammensetzung des Spektrums einer zeitbegrenzten Funktion

Als Ergebnis erhält man ein Linienspektrum, das durch die Fourier-Transformierte des Zeitfensters verschmiert ist. In Abb. 3 rechts gestrichelt dargestellt ist der Einfluss des Zeitfensters auf die DFT der periodischen Funktion (dicke Linien). Durch die Zeitbegrenzung kommen Frequenzanteile zwischen den analysierten Frequenzlinien hinzu.

Durch den Übergang von einer periodischen Funktion auf eine zeitbegrenzte Funktion muss nicht das Rechenverfahren zur Bestimmung des Spektrums verändert werden. Es werden weiterhin diskrete Frequenzlinien berechnet, als ob eine periodische Funktion dahinterstände. Als Effekt des Zeitfensters steht nun jede berechnete Frequenzlinie stellvertretend für einen ganzen Frequenzbereich, nämlich für den Frequenzbereich, der durch die Fourier-Transformierte des Zeitfensters hinzugekommen ist. Dieses Verhalten bezeichnet man auch als Leck-Effekt.

Aufgrund der zeitlichen Begrenzung des Signals kann es dazu kommen, dass das Eingangssignal abgeschnitten wird. Ein abgeschnittenes Eingangssignal kann nur dann korrekt mit der DFT transformiert werden, wenn es periodisch fortsetzbar ist. Falls das Signal nicht periodisch fortsetzbar ist, enthält es Frequenzen, die nicht zu den von der DFT berechneten diskreten Frequenzen gehören. Die DFT „nähert“ diese Frequenzen durch die benachbarten Frequenzen an, dabei wird die Energie auf diese Frequenzen verteilt. Dies wird als Leck-Effekt (englisch leakage effect) bezeichnet.

Die zeitliche Begrenzung kommt einer Multiplikation mit einer Rechteckfunktion gleich und entspricht einer Faltung mit der si-Funktion im Frequenzbereich. Dies ist eine andere Betrachtungsweise, um den Leck-Effekt zu erklären. Das gilt natürlich auch im Falle anderer Fensterfunktionen (z. B. Hamming, von Hann, Gauss). Somit ist das Spektrum der Fensterfunktion (bzw. die Breite des Spektrums) ausschlaggebend für das Leck. Die Amplitudengenauigkeit ist das andere Kriterium einer Fensterfunktion.

Eine DFT einer zeitbegrenzten Funktion kann man auch als Bandfilterbank ansehen.

• Die Mittenfrequenzen dieser Bandfilter entsprechen den Frequenzlinien der Funktion, die entsteht, wenn man den betrachteten Zeitabschnitt periodisch wiederholt (Vielfache von 1/Fensterbreite).
• Die Breite und Flankensteilheit der Bandfilter wird durch die Fourier-Transformierten des Zeitfensters bestimmt (siehe Abb. 3).

Durch die Wahl einer geeigneten Zeitfenster-Funktion kann man die Eigenschaften der Bandfilter verändern.

• Bei einem rechteckförmigen Zeitfenster mit Unstetigkeitsstellen an den Fenstergrenzen werden Frequenzen außerhalb des Übertragungsbereichs des Bandfilters mit 1/Frequenz abgeschwächt; man erzielt Flankensteilheiten von 6 dB/Oktave (siehe Abb. 2).
• Ist die Fensterfunktion stetig, werden Frequenzen außerhalb des Übertragungsbereichs des Bandfilters mit 1/Frequenz² abgeschwächt; man erzielt Flankensteilheiten von 12 dB/Oktave.
• Ist die 1. Ableitung der Fensterfunktion stetig, werden Frequenzen außerhalb des Übertragungsbereichs des Bandfilters mit 1/Frequenz³ abgeschwächt; die Flankensteilheit beträgt 18 dB/Oktave.
• usw.

Bestimmt man die Fourier-Transformierte von jeweils aufeinanderfolgenden Zeitabschnitten, erhält man die gleitende Fourier-Transformation. Mit der Analyse eines neuen Zeitabschnitts erhält man dann neue Abtastwerte für den Zeitverlauf der Spektrallinien (das heißt den Zeitverlauf der Signale an den Ausgängen der „Bandfilter“).

Zeit- und Frequenzauflösung der gleitenden DFT können nicht unabhängig voneinander gewählt werden.

• Will man Signale mit hoher Frequenzauflösung analysieren, muss man die Zeitfenster sehr groß machen, man erhält eine geringe Zeitauflösung.
• Benötigt man eine hohe Zeitauflösung, muss man die Breite der Zeitfenster sehr kurz machen, dann kann man aber nur wenige Frequenzlinien bestimmen.
• Es gilt: Frequenzauflösung ≈ 1/Zeitfensterbreite (wird eine Frequenzauflösung von 1 kHz gewünscht, muss das Zeitfenster mindestens 1 ms lang sein).