Hyperelastizität

Kraft-Weg-Diagramm im einachsigen Zug-Versuch bei nichtlinearer Elastizität

Makroskopisch lassen sich folgende Eigenschaften an einem hyperelastischen Körper beobachten:

• Bei gegebener Verformung haben die Reaktionskräfte unabhängig von der Vorgeschichte immer denselben Wert.
• Ist der Ausgangszustand unbelastet, so wird dieser nach jedweder Verformung wieder eingenommen, wenn die Belastungen entfernt werden.
• Das Materialverhalten ist geschwindigkeitsunabhängig. Die Geschwindigkeit, mit der eine Verformung stattfindet, hat keinen Einfluss auf den Widerstand, den der Körper der Verformung entgegensetzt.
• Im einachsigen Zugversuch erfolgen Be- und Entlastung stets entlang des gleichen Weges so wie im nebenstehenden Bild.
• Die aufgewendete Verformungsarbeit wird vollständig als Verzerrungsenergie im Körper gespeichert. Das Material ist somit konservativ.

Die ersten vier Eigenschaften charakterisieren die Cauchy-Elastizität. Wenn das Material zusätzlich noch die letzte Eigenschaft besitzt, dann ist das Material hyperelastisch.

In der Hyperelastizität sind die Reaktionskräfte bei der Verformung eines Körpers ausschließlich von der aktuellen Verformung bestimmt. Ist der Ausgangszustand kräftefrei, so wird dieser nach jedweder Verformung wieder eingenommen, wenn die Belastungen entfernt werden. Verschiedene Verformungspfade, die am Ende dieselben Verformungen zur Folge haben, resultieren am Ende in denselben Reaktionskräften. Auch die Deformationsgeschwindigkeiten haben auf Materialgleichungsebene keinen Einfluss auf die Reaktionen. Die Vorgeschichte des Materials hat in dieser Idealisierung keinen Einfluss auf das aktuelle Materialverhalten. Hyperelastizität ist eine zeitunabhängige Materialeigenschaft.

Zusätzlich zur Cauchy-Elastizität ist in der Hyperelastizität die Formänderungsarbeit wegunabhängig, was sich darin ausdrückt, dass die Formänderungsarbeit nur vom Start- und Endpunkt des Verformungsweges, nicht aber von dessen Verlauf abhängt. Im Spezialfall der Übereinstimmung von Start- und Endpunkt ergibt sich: Entlang eines geschlossenen Verformungsweges wird keine Arbeit verrichtet oder Energie verbraucht. Aufgewandte Arbeiten werden vom Körper bis zur Rückkehr zum Ausgangspunkt vollständig zurückgegeben. Die Konservativität folgt hier auch daraus, dass die Verformungsleistung exakt die Rate der Formänderungsenergie ist, aufgewandte Arbeiten also vollständig (dissipationslos) in Formänderungsenergie umgesetzt werden. Verformungen sind hier reversibel.

Dissipative Vorgänge wie plastisches Fließen oder Kriechen sind damit ausgeschlossen, was bei realen Materialien innerhalb ihrer Elastizitätsgrenze der Fall ist. Reale Flüssigkeiten und Gase und manche Feststoffe (wie Eisen oder Glas) sind bei schnellen, geringfügigen Bewegungen (z. B. bei Schallwellen) in guter Näherung elastisch. Bei Feststoffen wird die Elastizitätsgrenze bei hinreichend kleinen und langsam vonstatten gehenden Verformungen eingehalten, die in vielen Anwendungen, insbesondere im technischen Bereich, vorliegen.

Bei hinreichend kleinen Verformungen ist die Kraft-Weg-Beziehung bei Feststoffen linear und kann die Elastizität mit Moduln beschrieben werden. Weil die aufzuwendende Kraft und der zurückgelegte Weg bei einer Deformation maßgeblich von den Dimensionen des Körpers abhängen, wird die Kraft auf ihre Wirkfläche und der Weg auf eine geeignete Abmessung des Körpers bezogen. Die bezogene Kraft ist die Spannung und der bezogene Weg die Dehnung. Die Moduln quantifizieren das Verhältnis zwischen den Spannungen und den Dehnungen und sind eine Materialeigenschaft. Der Elastizitätsmodul gilt bei einachsigem Zug, der Schubmodul bei Scherung und der Kompressionsmodul bei allseitigem Zug/Druck. Bei einachsigem Zug tritt nicht nur in Zugrichtung eine Verformung auf, sondern auch quer dazu, was die dimensionslose Querdehnzahl quantifiziert. Die vollständige Beschreibung der isotropen linearen Hyperelastizität benötigt nur zwei der genannten Größen, kubische Anisotropie drei (ein Elastizitätsmodul, ein Schubmodul und eine Querdehnzahl), transversale Isotropie bereits fünf (zwei Elastizitätsmoduln, zwei Querdehnzahlen und einen Schubmodul) und die Orthotropie neun (drei Elastizitätsmoduln, drei Querdehnzahlen und drei Schubmoduln). Maximal werden jedoch 21 Parameter benötigt, um einen realen linear hyperelastischen Stoff zu beschreiben.

Ein Stab(schwarz) wird von einer Kraft ${\displaystyle F}$ um den Betrag ${\displaystyle u}$ gedehnt(rot)

Wird ein homogener Stab aus hyperelastischem Material wie im Bild axial um einen Betrag ${\displaystyle u}$ gedehnt, dann wird dazu eine Kraft ${\displaystyle F}$ benötigt, die sich aus der Formänderungsenergie ${\displaystyle W}$ durch die Ableitung

${\displaystyle F={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} u}}}$

berechnet. Im linearen Fall ist mit der Federkonstante D beispielsweise

${\displaystyle W={\frac {D}{2}}u^{2}\rightarrow F=Du\,.}$

Die Übersetzung des Verhaltens des hyperelastischen Zugstabes in ein dreidimensionales Kontinuum erfolgt, indem

• die Kraft F durch einen Spannungstensor σ,
• die Verschiebung u durch einen Verzerrungstensor ε und
• die Formänderungsenergie W durch die spezifische Formänderungsenergie w

ausgetauscht wird. Dann berechnen sich die Spannungen σ aus der Ableitung[2] von w nach ε gemäß

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\rho {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}$

Hier ist ρ die Dichte des Materials. Damit dieses Materialmodell das Prinzip der materiellen Objektivität erfüllt, muss die in der Cauchy-Elastizität beschriebene Modellierungsrichtlinie eingehalten werden, die besagt, dass als Spannungstensor der zweite Piola-Kirchhoff-Spannungstensor ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {T} }}}$ zu benutzen ist, der nur vom rechten Strecktensor U abhängen darf. Statt des rechten Strecktensors wird häufiger der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor E = ½ (U · U – 1) mit dem Einheitstensor 1 oder der rechte-Cauchy-Green Tensor C = U · U benutzt:

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {T} }}=\rho _{0}{\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=2\rho _{0}{\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}}$

Die Dichte ρ₀ des Körpers ist in der hier eingesetzten lagrangeschen Darstellungsweise ein zeitlich konstanter Materialparameter.

Häufig[1] wird statt der spezifischen Formänderungsenergie die auf das Volumen bezogene Formänderungsenergie ${\displaystyle {\hat {w}}=\rho _{0}w}$ benutzt. Weil ρ₀ ein konstanter Faktor ist, können die Formeln, die sich aus der auf die Masse oder das Volumen bezogenen Formänderungsenergie ergeben, jederzeit ineinander umgerechnet werden. Die Darstellung hier folgt Haupt[3].

In der Eulerschen Darstellungsweise ergibt sich daraus für den Cauchy’schen Spannungstensor:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}:={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {F} )}}\mathbf {F} \cdot {\tilde {\mathbf {T} }}\cdot \mathbf {F} ^{\top }=\rho \mathbf {F} \cdot {\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}\cdot \mathbf {F} ^{\top }=2\rho \mathbf {F} \cdot {\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}\cdot \mathbf {F} ^{\top }\,.}$

Darin ist F der Deformationsgradient und

${\displaystyle \rho$ :={\frac {\rho _{0}}{\operatorname {det} (\mathbf {F} )}}}

die Dichte im deformierten Körper, die von der Determinante det des Deformationsgradienten bemessen wird.

Bei isotropem Material kann gemäß

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\rho {\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\cdot \mathbf {b} }$

auch der linke-Cauchy-Green Tensor b = F · F^T benutzt werden, der auch ein Strecktensor ist, siehe Hyperelastizität#Isotrope Hyperelastizität in räumlicher Darstellung unten.

Im oben angegebenen Zugstab leistet die Kraft ${\displaystyle F}$ entlang eines Weges von ${\displaystyle u_{0}}$ bis ${\displaystyle u_{1}}$ die Arbeit

${\displaystyle A=\int _{u_{0}}^{u_{1}}F\mathrm {d} u=\int _{u_{0}}^{u_{1}}{\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} u}}\mathrm {d} u={[W]}_{u_{0}}^{u_{1}}=W(u_{1})-W(u_{0})\,,}$

d. h., die verrichtete Arbeit ist nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Insbesondere verschwindet bei ${\displaystyle u_{1}=u_{0}}$ die verrichtete Arbeit:

${\displaystyle A=W(u_{0})-W(u_{0})=0\,.}$

Analog ist im Kontinuum die Spannungsarbeit das Kurvenintegral über einer mit der Zeit t parametrisierten Kurve

${\displaystyle {\begin{aligned}a=&\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\tilde {\mathbf {T} }}:{\dot {\mathbf {E} }}\,\mathrm {d} t=\rho _{0}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}:{\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t=\rho _{0}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t\\=&\rho _{0}[w_{0}(\mathbf {E} )]_{t_{0}}^{t_{1}}=\rho _{0}[w_{0}(\mathbf {E} (t_{1}))-w_{0}(\mathbf {E} (t_{0}))]\end{aligned}}}$

was die Wegunabhängigkeit und Konservativität (im Sonderfall ${\displaystyle \mathbf {E} (t_{1})=\mathbf {E} (t_{0})}$) nachweist. Das Rechenzeichen „:“ bedeutet das Frobenius-Skalarprodukt und liefert hier die Summe der Arbeitsinkremente der Spannungskomponenten an den Komponenten des Deformationsgradienten.

Die von der Kraft ${\displaystyle F}$ erbrachte Verformungsleistung im Stab lautet:

${\displaystyle L=F{\dot {u}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} u}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}={\dot {W}}}$

und ist die pro Zeitspanne erbrachte Formänderungsarbeit. Die Leistung der Kraft wird also vollständig und dissipationslos in Formänderungsenergie umgesetzt. Im Kontinuum gilt in gleicher Weise

${\displaystyle l_{i}:={\frac {1}{\rho _{0}}}{\tilde {\mathbf {T} }}:{\dot {\mathbf {E} }}={\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}:{\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} t}}={\dot {w}}_{0}\,,}$

d. h., die spezifische Spannungsleistung ${\displaystyle l_{i}}$ ist bei Hyperelastizität die materielle Zeitableitung der spezifischen Formänderungsenergie.

Die Umkehrung gilt auch: Gibt es eine skalare Funktion ${\displaystyle w_{0}}$, so dass die spezifische Spannungsleistung die materielle Zeitableitung dieser Funktion ist, dann ist das Material hyperelastisch.

In der eulerschen Formulierung entsteht

${\displaystyle l_{i}={\frac {1}{\rho _{0}}}{\tilde {\mathbf {T} }}:{\dot {\mathbf {E} }}={\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\sigma }}:\mathbf {d} }$

mit dem räumlichen Verzerrungsgeschwindigkeitstensor

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d}$ :=&{\frac {1}{2}}(\mathbf {l+l} ^{\top })={\frac {1}{2}}({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}+\mathbf {F} ^{\top -1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}^{\top })\\=&\mathbf {F} ^{\top -1}\cdot {\frac {1}{2}}(\mathbf {F} ^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {F} }}+{\dot {\mathbf {F} }}^{\top }\cdot \mathbf {F} )\cdot \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {F} ^{\top -1}\cdot {\dot {\mathbf {E} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,,\end{aligned}}}

der der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten ${\displaystyle \mathbf {l} ={\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}}$ ist.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. Das Material ist hyperelastisch.
2. Die spezifische Spannungsleistung ${\displaystyle l_{i}}$ ist die materielle Zeitableitung ${\displaystyle {\dot {w}}_{0}}$ der spezifischen Formänderungsenergie
   ${\displaystyle l_{i}={\dot {w}}_{0}\,.}$
3. Die Arbeit der Spannungen entlang eines beliebigen Weges im Dehnungsraum ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges nicht aber von seinem Verlauf abhängig
   ${\displaystyle \int _{\mathbf {E} _{0}}^{\mathbf {E} _{1}}{\tilde {\mathbf {T} }}:\mathrm {d} \mathbf {E} =\rho _{0}(w_{0}(\mathbf {E} _{1})-w_{0}(\mathbf {E} _{0}))\,.}$
4. Die Arbeit der Spannungen entlang eines beliebigen geschlossenen Weges im Dehnungsraum verschwindet
   ${\displaystyle \oint {\tilde {\mathbf {T} }}:\mathrm {d} \mathbf {E} =0\,.}$
5. Die spezifische Spannungsarbeit an beliebigen differentiellen Dehnungsinkrementen ${\displaystyle \delta \mathbf {E} }$ ist gleich dem totalen Differential der spezifischen Formänderungsenergie
   ${\displaystyle {\frac {1}{\rho _{0}}}{\tilde {\mathbf {T} }}:\delta \mathbf {E} =\delta w_{0}(\mathbf {E} )\,.}$

Bei der linearen Hyperelastizität sind die Spannungen als erste Ableitung der Formänderungsenergie linear in den Dehnungen und der Elastizitätstensor ist als zweite Ableitung konstant. Weil bei zwei Ableitungen hintereinander die Reihenfolge der Ableitungen vertauschbar ist, ist der Elastizitätstensor symmetrisch und kann ein linear-hyperelastischer Festkörper mit maximal 21 Parametern beschrieben werden.

Jedes barotrope elastische Fluid ist auch hyperelastisch.

Die Hyperelastizität ist im Einklang mit der Thermodynamik, wie eine Auswertung der Clausius-Duhem-Ungleichung zeigt, die den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in der Festkörpermechanik repräsentiert. Bei isothermer Zustandsänderung lautet die Clausius-Duhem-Ungleichung in der lagrangeschen Fassung

${\displaystyle {\frac {1}{\rho _{0}}}{\tilde {\mathbf {T} }}\cdot {\dot {\mathbf {E} }}-{\dot {\psi }}_{0}\geq 0\,,}$

worin ${\displaystyle \psi _{0}}$ die helmholtzsche freie Energie darstellt. In der Hyperelastizität ist die Spannung die Ableitung[2] der Formänderungsenergie nach den Dehnungen und, weil die Formänderungsenergie nur eine Funktion der Dehnungen ist, folgt:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho _{0}}}{\tilde {\mathbf {T} }}:{\dot {\mathbf {E} }}-{\dot {\psi }}_{0}={\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}:{\dot {\mathbf {E} }}-{\dot {\psi }}_{0}={\dot {w}}_{0}-{\dot {\psi }}_{0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(w_{0}-\psi _{0})\geq 0\,.}$

Identifikation der Formänderungsenergie mit der helmholtzschen freien Energie lässt die Hyperelastizität also im Einklang mit der Thermodynamik sein.

Viele gummielastische Körper zeigen eine ausgeprägte Inkompressibilität und daher lohnt es sich diesen Fall näher zu betrachten. Inkompressibilität lässt sich mathematisch durch

${\displaystyle J:=\operatorname {det} (\mathbf {F} )={\sqrt {\operatorname {det} (\mathbf {C} )}}\equiv 1}$

ausdrücken, weshalb die Dichte dann zeitlich konstant ist:

${\displaystyle \rho =\rho _{0}\,.}$

Um die Inkompressibilität eines hyperelastischen Materials sicherzustellen, wird die spezifische Formänderungsenergie w₀ erweitert:

${\displaystyle {\bar {w}}_{0}:=w_{0}-{\frac {p}{\rho _{0}}}(J-1)}$

Der Druck p ist eine zusätzliche, nicht-konstitutive Variable, die als Lagrange’scher Multiplikator zur Sicherstellung der Nebenbedingung J ≡ 1 eingeführt wird. Der Druck resultiert nun ausschließlich aus den Naturgesetzen und den Lagerungen des Körpers. Die Spannungen lauten hier

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\mathbf {T} }}=&2\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} {\bar {w}}_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}=-p\mathbf {C} ^{-1}+2\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}\\[2ex]\rightarrow {\boldsymbol {\sigma }}=&{\frac {1}{J}}\mathbf {F} \cdot {\tilde {\mathbf {T} }}\cdot \mathbf {F} ^{\top }=-p\mathbf {1} +2\rho _{0}\mathbf {F} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}\cdot \mathbf {F} ^{\top }\end{aligned}}\,.}$

In der isotropen Hyperelastizität ist die Formänderungsenergie in der lagrangeschen Darstellung eine Funktion der Hauptinvarianten I_1,2,3 des rechten Cauchy-Green Strecktensors:

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {T} }}=\rho _{0}{\frac {\mathrm {d} w_{0}(\mathrm {I} _{1},\mathrm {I} _{2},\mathrm {I} _{3})}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}}$

Diese Hauptinvarianten hängen über

${\displaystyle {\begin{array}{rclclcc}\mathrm {I} _{1}(\mathbf {C} )&=&\operatorname {Sp} (\mathbf {C} )&=&\operatorname {Sp} (\mathbf {F^{\top }\cdot F} )=\mathbf {F}$ :\mathbf {F} &=&\|\mathbf {F} \|^{2}\\\mathrm {I} _{2}(\mathbf {C} )&=&\operatorname {Sp(cof} (\mathbf {C} ))&=&\operatorname {Sp(cof} (\mathbf {F} )^{\top }\cdot \operatorname {cof} (\mathbf {F} ))&=&\|\operatorname {cof} (\mathbf {F} )\|^{2}\\\mathrm {I} _{3}(\mathbf {C} )&=&\operatorname {det} (\mathbf {C} )&=&\operatorname {det} (\mathbf {F^{\top }\cdot F} )&=&\operatorname {det} (\mathbf {F} )^{2}\end{array}}}

mit dem Deformationsgradient ${\displaystyle \mathbf {F} }$ zusammen. Der Operator ${\displaystyle \mathrm {Sp} }$ bezeichnet die Spur. Der Kofaktor eines Tensors ist seine transponierte Adjunkte, die bei invertierbaren Tensoren, wie sie hier vorliegen,

${\displaystyle \operatorname {cof} (\mathbf {A} ):=\operatorname {det} (\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{\top -1}}$

lautet. Die Frobeniusnorm ${\displaystyle \|(\cdot )\|}$ wird mit dem Frobenius-Skalarprodukt „:“ definiert:

${\displaystyle \mathbf {A}$ :\mathbf {B} :=\operatorname {Sp} (\mathbf {A^{\top }\cdot B} )\,,\quad \|\mathbf {A} \|:={\sqrt {\mathbf {A} :\mathbf {A} }}}

Die Hauptinvarianten des rechten Cauchy-Green Tensors sind also Maße für die Änderung der Linien-, Flächen- und Volumenelemente.

Isotrope objektive Hyperelastizität impliziert also eine Spannungs-Deformations-Beziehung der Form

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {T} }}=\rho _{0}{\frac {\mathrm {d} w_{0}(\|\mathbf {F} \|^{2},\|\operatorname {cof} (\mathbf {F} )\|^{2},\operatorname {det} (\mathbf {F} )^{2})}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}\,.}$

Die Umkehrung gilt auch: Wenn diese Spannungs-Deformations-Beziehung besteht, dann ist das Material objektiv, isotrop und hyperelastisch. Ein hyperelastisches Material ist also genau dann isotrop und objektiv, wenn sich die Formänderungsenergie als Funktion der Maße für die Änderung der Linien-, Flächen- und Volumenelemente schreiben lässt[4].

Die obige Formänderungsenergie ist polykonvex, wenn sie in jedem ihrer Argumente ║F║², ║cof(F)║² und det(F)² eine konvexe Funktion ist. Wenn diese Formänderungsenergie auch noch eine koerzitive Funktion jedes ihrer Argumente ist, dann existiert immer eine die Formänderungsenergie minimierende Deformation[5].

Zumeist wird bei isotroper Hyperelastizität die Formänderungsenergie ${\displaystyle w(\mathbf {b} )}$ als isotrope Funktion des linken Cauchy-Green-Tensors b = F · F^T angenommen. Dieser hat die Zeitableitung

${\displaystyle {\dot {\mathbf {b} }}={\dot {\mathbf {F} }}\cdot {\underline {\mathbf {F} ^{-1}\cdot \mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{\top }+\mathbf {F} \cdot {\underline {\mathbf {F^{\top }\cdot F} ^{\top -1}}}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}^{\top }=\mathbf {l\cdot b} +\mathbf {b\cdot l} ^{\top }\,.}$

Die unterstrichenen Terme sind für die Herleitung der letzten Identität eingefügte Einheitstensoren. Die Potenzialbeziehung zum Cauchy’schen Spannungstensor ergibt sich dann aus der Verformungsleistung

${\displaystyle {\begin{aligned}l_{i}=&{\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}:{\dot {\mathbf {b} }}={\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}:(\mathbf {l\cdot b} +\mathbf {b\cdot l} ^{\top })=\left({\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\cdot \mathbf {b} \right):\mathbf {l} +\left(\mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\right):\mathbf {l} ^{\top }\\=&2\left(\mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\right):{\frac {1}{2}}(\mathbf {l+l} ^{\top })=:{\dfrac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\sigma }}:\mathbf {d} \\\rightarrow {\boldsymbol {\sigma }}=&2\rho \mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=2\rho {\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\cdot \mathbf {b} \end{aligned}}}$

Hier wurde ausgenutzt, dass b und dw/db kommutieren, weil die Ableitung hier nach Voraussetzung eine isotrope Tensorfunktion des symmetrischen linken Cauchy-Green Tensors b ist.

Bei Inkompressibilität ist det(F) = √det(b) = 1 und daher

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\rho _{0}\mathbf {b} \cdot {\frac {\mathrm {d} {\bar {w}}}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=-p\mathbf {1} +2\rho _{0}\mathbf {b} \cdot {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\,.}$

Die Formänderungsenergie hängt bei Isotropie nur von den Invarianten des symmetrischen und positiv definiten Tensors b oder des Linken Strecktensors v = +√b[6] ab, die also positive Eigenwerte haben. Die Formänderungsenergie wird üblicherweise mit den Eigenwerten λ_1,2,3 von v oder den Hauptinvarianten

I₁(b) = Sp(b)

I₂(b) = ½(Sp(b)² - Sp(b)²)

I₃(b) = det(b)

ausgedrückt. Es liegen drei Formulierungen vor:

${\displaystyle {\begin{array}{llcl}1.&{\boldsymbol {\sigma }}&=&2\rho \mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w(\mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} ),\mathrm {I} _{2}(\mathbf {b} ),\mathrm {I} _{3}(\mathbf {b} ))}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\\[2ex]2.&{\boldsymbol {\sigma }}&=&2\rho \mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w({\bar {\mathrm {I} }}_{1}(\mathbf {b} ),{\bar {\mathrm {I} }}_{2}(\mathbf {b} ),J)}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\quad {\text{und}}\\[2ex]3.&{\boldsymbol {\sigma }}&=&2\rho \mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\end{array}}\,.}$

Der quergestrichene Strecktensor ${\displaystyle {\bar {\mathbf {b} }}:=J^{\frac {-2}{3}}\mathbf {b} }$ modelliert den volumenerhaltenden oder unimodularen Anteil der Verformung, denn seine Determinante ist konstant:

${\displaystyle \operatorname {det} ({\bar {\mathbf {b} }})=\operatorname {det} (J^{\frac {-2}{3}}\mathbf {b} )=J^{-2}\operatorname {det} (\mathbf {b} )=J^{-2}\operatorname {det} (\mathbf {F} )^{2}=J^{-2}J^{2}=1\,.}$

Seine Invarianten werden ebenfalls mit einem Quergestrich versehen:

${\displaystyle {\bar {\mathrm {I} }}_{1,2}(\mathbf {b} ):=\mathrm {I} _{1,2}({\bar {\mathbf {b} }})\,.}$

Die folgenden Kapitel führen diese Varianten detailliert aus. Bei Inkompressibilität sind die ersten beiden Formulierungen äquivalent. Weil dann eine Abhängigkeit von der dritten Hauptinvariante oder J entfällt, wird der inkompressiblen isotropen Hyperelastizität ein eigener Abschnitt gewidmet. Der Aufwand für die Aufteilung in unimodularen und volumetrischen Anteil, den die zweite Formulierung charakterisiert, lohnt sich nur bei Kompressibilität. Die dritte Formulierung mit den Eigenwerten kann bei Kompressibilität und Inkompressibilität gleichermaßen angewendet werden.

Bei Kompressibilität hängt die Formänderungsenergie von allen drei Hauptinvarianten ab. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie.

Als Resultat belaufen sich die Cauchy’schen Spannungen auf

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\boldsymbol {\sigma }}&=&2\rho \mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w(\mathrm {I} _{1},\mathrm {I} _{2},\mathrm {I} _{3})}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=2{\dfrac {\rho _{0}}{J}}\mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w(\mathrm {I} _{1},\mathrm {I} _{2},\mathrm {I} _{3})}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\\[2ex]&=&2\rho \mathrm {I} _{3}{\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\mathbf {1} +2\rho \left({\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}+\mathrm {I} _{1}{\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\right)\mathbf {b} -2\rho {\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b\cdot b} \\[2ex]&=&2\rho \left(\mathrm {I} _{2}{\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}+{\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\mathrm {I} _{3}\right)\mathbf {1} +2\rho {\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}\mathbf {b} -2\rho \mathrm {I} _{3}{\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b} ^{-1}\end{array}}\,.}$

Bei Kompressibilität können die Invarianten von

${\displaystyle {\bar {\mathbf {b} }}=J^{\frac {-2}{3}}\mathbf {b} \rightarrow \operatorname {det} ({\bar {\mathbf {b} }})=1}$

benutzt werden was den Vorteil hat, dass der volumetrische Kugelanteil und der unimodulare, gestaltändernde Anteil getrennt modelliert werden können. Es werden dann die Invarianten

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\bar {\mathrm {I} }}_{1}(\mathbf {b} )&:=&\mathrm {Sp} ({\bar {\mathbf {b} }})=J^{\frac {-2}{3}}\mathrm {Sp} (\mathbf {b} )\\[1ex]{\bar {\mathrm {I} }}_{2}(\mathbf {b} )&:=&{\frac {1}{2}}[\mathrm {Sp} {({\bar {\mathbf {b} }})}^{2}-\mathrm {Sp} ({\bar {\mathbf {b} }}\cdot {\bar {\mathbf {b} }})]=J^{\frac {-4}{3}}\mathrm {I} _{2}(\mathbf {b} )\\[1ex]J&=&{\sqrt {\mathrm {I} _{3}(\mathbf {b} )}}={\sqrt {\operatorname {det} (\mathbf {b} )}}\end{array}}}$

eingesetzt. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie.

Als Resultat ergeben sich die Cauchy’schen Spannungen

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\boldsymbol {\sigma }}&=&2\rho \mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w({\bar {\mathrm {I} }}_{1},{\bar {\mathrm {I} }}_{2},J)}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=2{\dfrac {\rho _{0}}{J}}\mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w({\bar {\mathrm {I} }}_{1},{\bar {\mathrm {I} }}_{2},J)}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\\[2ex]&=&\rho \left(J{\dfrac {\partial w}{\partial J}}-{\dfrac {2{\bar {\mathrm {I} }}_{1}}{3}}{\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}-{\dfrac {4{\bar {\mathrm {I} }}_{2}}{3}}{\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}\right)\mathbf {1} +2\rho \left({\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}+{\bar {\mathrm {I} }}_{1}{\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}\right){\bar {\mathbf {b} }}-2\rho {\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}{\bar {\mathbf {b} }}\cdot {\bar {\mathbf {b} }}\\[2ex]&=&\rho \left(J{\dfrac {\partial w}{\partial J}}-{\dfrac {2{\bar {\mathrm {I} }}_{1}}{3}}{\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}+{\dfrac {2{\bar {\mathrm {I} }}_{2}}{3}}{\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}\right)\mathbf {1} +2\rho {\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}{\bar {\mathbf {b} }}-2\rho {\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}{\bar {\mathbf {b} }}^{-1}\end{array}}\,.}$

Bei Inkompressibilität entfällt eine Abhängigkeit von J weil J konstant gleich eins ist. Daher werden nur die Hauptinvarianten

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} )=&\mathrm {Sp} (\mathbf {b} )\\\mathrm {I} _{2}(\mathbf {b} )=&{\frac {1}{2}}[\mathrm {Sp} {(\mathbf {b} )}^{2}-\mathrm {Sp} (\mathbf {b\cdot b} )]\end{aligned}}}$

eingesetzt. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie.

Daraus resultiert die Darstellung

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {1} +2\rho _{0}\mathbf {b} {\frac {\mathrm {d} w(\mathrm {I} _{1},\mathrm {I} _{2})}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=-p\mathbf {1} +2\rho _{0}\left({\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}+\mathrm {I} _{1}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\right)\mathbf {b} -2\rho _{0}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b\cdot b} }$

oder

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {1} +2\rho _{0}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}\mathbf {b} -2\rho _{0}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b} ^{-1}}$

wobei der Term ${\displaystyle 2\rho _{0}\mathrm {I} _{2}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {1} }$ dem unbestimmten Kugelanteil -p 1 zugeschlagen wurde.

Auch die Eigenwerte λ_1,2,3 des linken Strecktensors v können als Invarianten benutzt werden und zwar sowohl bei Kompressibilität als auch bei Inkompressibilität. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen der Eigenwerte und der Formänderungsenergie.

Ableitungen der Eigenwerte von v ­

Die Eigenwerte von ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {v\cdot v} }$ sind die Quadrate der Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{i}}$ von ${\displaystyle \mathbf {v} }$ aber beide Tensoren haben dieselben Eigenvektoren ${\displaystyle {\hat {v}}_{1,2,3}}$, die auf den Betrag eins normiert seien und deshalb mit Hut notiert werden. Die Eigenvektoren sind paarweise senkrecht aufeinander oder orthogonalisierbar weil ${\displaystyle \mathbf {b} }$ und ${\displaystyle \mathbf {v} }$ symmetrisch sind. Die Ableitung[2] der Eigenwerte ergibt sich zu ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \lambda _{i}}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}={\frac {1}{2\lambda _{i}}}{\hat {v}}_{i}\otimes {\hat {v}}_{i}}$ (keine Summe, siehe Strecktensor). Das Rechenzeichen „${\displaystyle \otimes }$“ berechnet das dyadische Produkt. Mit der spektralen Zerlegung ${\displaystyle \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}{\hat {v}}_{i}\otimes {\hat {v}}_{i}}$ resultiert: ${\displaystyle 2\mathbf {b} \cdot {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=2\mathbf {b} \cdot \left(\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial w}{\partial \lambda _{i}}}{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i}}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\right)=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}{\frac {\partial w}{\partial \lambda _{i}}}{\hat {v}}_{i}\otimes {\hat {v}}_{i}}$

Bei Verwendung der Eigenwerte ist also

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\rho \mathbf {b} \cdot {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=\rho \sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}{\frac {\partial w}{\partial \lambda _{i}}}{\hat {v}}_{i}\otimes {\hat {v}}_{i}=\rho _{0}\sum _{i=1}^{3}{\frac {\lambda _{i}}{J}}{\frac {\partial w}{\partial \lambda _{i}}}{\hat {v}}_{i}\otimes {\hat {v}}_{i}\,.}$

Das Rechenzeichen „${\displaystyle \otimes }$“ berechnet das dyadische Produkt und ${\displaystyle {\hat {v}}_{1,2,3}}$ sind die auf eins normierten Eigenvektoren von ${\displaystyle \mathbf {b} }$. Im Fall der Inkompressibilität kann zusätzlich

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=\operatorname {det} (\mathbf {F} )=1\quad \rightarrow \quad \lambda _{3}={\frac {1}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}}$

eingesetzt werden.

Im Folgenden werden einige gebräuchliche Formänderungsenergiefunktionen vorgestellt.

Die spezifische Formänderungsenergie, die auf das Hooke’sche Gesetz führt, lautet

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\rho _{0}w_{0}(\mathbf {E} )&=&G\left[\mathbf {E}$ :\mathbf {E} +{\frac {\nu }{1-2\nu }}\mathrm {Sp} {(\mathbf {E} )}^{2}\right]\\\rightarrow {\tilde {\mathbf {T} }}&=&\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=2G\left[\mathbf {E} +{\frac {\nu }{1-2\nu }}\mathrm {Sp} (\mathbf {E} )\mathbf {1} \right]\end{array}}\,.}

Der Materialparameter ${\displaystyle G}$ ist der Schubmodul und ${\displaystyle \nu }$ die Querkontraktionszahl. Aus der zweiten Ableitung[2] nach den Verzerrungen ${\displaystyle \mathbf {E} }$ berechnet sich der konstante und symmetrische Elastizitätstensor vierter Stufe

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathbb {C} &:=&{\dfrac {\mathrm {d} {\tilde {\mathbf {T} }}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=2G\mathbb {I} +\lambda \mathbf {1\otimes 1} =\mathbb {C} ^{\top }\\\rightarrow {\tilde {\mathbf {T} }}&=&\mathbb {C}$ :\mathbf {E} \quad \rightarrow \quad w_{0}={\frac {1}{2\rho _{0}}}\mathbf {E} :\mathbb {C} :\mathbf {E} \end{array}}}

mit dem Einheitstensor vierter Stufe ${\displaystyle \mathbb {I} }$ und der Lamé-Konstanten

${\displaystyle \lambda ={\frac {2G\nu }{1-2\nu }}\,.}$

Dieses Modell verallgemeinert das Hooke’sche Gesetz auf große Deformationen liefert aber nur bei moderaten Dehnungen physikalisch plausible Antworten. Die Dehnung, die dem Zusammendrücken eines Stabes auf null Länge entspricht, ergibt beispielsweise verschwindende Cauchy-Spannungen. Es approximiert aber jedwedes Modell der Hyperelastizität bei kleinen Dehnungen in erster Ordnung.

Spannungen beim Mooney-Rivlin-Modell unter einaxialem Zug in Abhängigkeit von der Streckung ${\displaystyle a}$ und dem Materialparameter ${\displaystyle \beta =b}$, siehe #Beispiel unten.

Eine Approximation zweiter Ordnung für inkompressible hyperelastische Körper stellt das Mooney-Rivlin-Modell

${\displaystyle \rho _{0}w={\frac {G}{2}}\left[\left({\frac {1}{2}}+\beta \right)(\mathrm {I} _{1}-3)+\left({\frac {1}{2}}-\beta \right)(\mathrm {I} _{2}-3)\right]}$

${\displaystyle \rightarrow {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {1} +G\left[\left(\beta +{\frac {1}{2}}\right)\mathbf {b} +\left(\beta -{\frac {1}{2}}\right)\mathbf {b} ^{-1}\right]}$

dar. Die Invarianten ${\displaystyle \mathrm {I} _{1,2}}$ gehören zum Strecktensor ${\displaystyle \mathbf {b} }$, der Parameter ${\displaystyle G>0}$ ist der Schubmodul und die dimensionslose Kennziffer ${\displaystyle \beta }$ mit

${\displaystyle {\frac {-1}{2}}\leq \beta \leq {\frac {1}{2}}}$

repräsentiert Effekte zweiter Ordnung. Oftmals werden stattdessen die Parameter

${\displaystyle C_{10}=G\left({\frac {1}{2}}+\beta \right),C_{01}=G\left({\frac {1}{2}}-\beta \right)\,,}$

benutzt, die beide nicht negativ sein dürfen.

Das Neo-Hooke-Modell ist der Sonderfall

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}\quad \Leftrightarrow \quad C_{01}=0}$

des Mooney-Rivlin Materials:

${\displaystyle \rho _{0}w={\frac {C_{10}}{2}}(\mathrm {I} _{1}-3)\rightarrow {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {1} +C_{10}\mathbf {b} \,.}$

In dem ein volumetrischer Term hinzugefügt wird und die Invariante ${\displaystyle {\bar {\mathrm {I} }}_{1}(\mathbf {b} )}$ statt ${\displaystyle \mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} )}$ benutzt wird, entsteht eine auch bei großen Dehnungen plausible Verallgemeinerung des Hooke’schen Stoffgesetzes für kompressible Elastomere:

${\displaystyle \rho _{0}w={\frac {C_{10}}{2}}({\bar {\mathrm {I} }}_{1}-3)+{\frac {K}{2}}\ln {(J)}^{2}\rightarrow {\boldsymbol {\sigma }}=K{\frac {\ln(J)}{J}}\mathbf {1} +{\frac {C_{10}}{J}}\left({\bar {\mathbf {b} }}-{\frac {{\bar {\mathrm {I} }}_{1}}{3}}\mathbf {1} \right)\,.}$

Der Parameter ${\displaystyle K}$ kontrolliert die Kompressibilität. Es wurden aber auch noch andere Formulierungen für den volumetrischen Anteil vorgeschlagen[7].

Das Ogden-Modell ist ein Modell für inkompressible Hyperelastizität. Dieses Modell ist in den Eigenwerten des linken Strecktensors formuliert:

${\displaystyle \rho _{0}w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mu _{i}}{\alpha _{i}}}[\operatorname {Sp} (\mathbf {v} ^{\alpha _{i}})-3]=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mu _{i}}{\alpha _{i}}}(\lambda _{1}^{\alpha _{i}}+\lambda _{2}^{\alpha _{i}}+\lambda _{3}^{\alpha _{i}}-3)\,.}$

Die Zahlen μ_i und α_i stellen die 2n Materialparameter dieses Modells dar und die Potenz eines Tensors wird wie ein Funktionswert berechnet[6].

Der Spezialfall n = 1 sowie α₁ = 2 ergibt das Neo-Hooke-Modell und n = 2, α₁ = 2 sowie α₂ = −2 bilden das Mooney-Rivlin-Modell.

Wenn w(I₁, I₂) an der Stelle I₁ = 3 und I₂ = 3, was in der undeformierten Lage bei F = 1 der Fall ist, durch ein Taylorpolynom angenähert wird, entsteht:

${\displaystyle \rho _{0}w=\sum _{i+j=1}^{n}C_{ij}(\mathrm {I} _{1}-3)^{i}(\mathrm {I} _{2}-3)^{j}\,.}$

Die Zahlen C_ij sind Materialparameter. Auch in diesem Modell sind das Neo-Hooke- und Mooney-Rivlin-Modell als Spezialfälle enthalten.