Hyper-Operator

Ausgehend von den Beobachtungen

• ${\displaystyle a+(b+1)=1+\left(a+b\right)}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+1)=a+\left(a\cdot b\right)}$
• ${\displaystyle a^{(b+1)}=a\cdot \left(a^{b}\right)}$

definiert man rekursiv einen dreistelligen Operator (mit ${\displaystyle a,b,n\geq 0}$)

${\displaystyle a^{(n)}b:={\begin{cases}b+1,&{\text{wenn }}n=0\\a,&{\text{wenn }}n=1,b=0\\0,&{\text{wenn }}n=2,b=0\\1,&{\text{wenn }}n>2,b=0\\a^{(n-1)}\left(a^{(n)}(b-1)\right)&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

und führt folgende Bezeichnungen ein:

${\displaystyle \operatorname {hyper} {\mathit {n}}(a,b)=\operatorname {hyper} (a,n,b)=a^{(n)}b.}$

(Zu beachten ist bei dieser Schreibweise, dass die Zusammenschreibung von ${\displaystyle a^{(n)}}$ und ${\displaystyle b}$ keine Multiplikation darstellt, also jede tatsächlich vorkommende Multiplikation mit dem expliziten Operator ${\displaystyle \cdot }$ zu notieren ist. Ebenso ist ${\displaystyle a^{(n)}}$ keine Potenzierung. Die Verwendung der Notation ${\displaystyle \operatorname {hyper} (a,n,b)}$ schließt demgegenüber solche Verwechslungsmöglichkeiten aus.)

Somit ist hyper1 die Addition, hyper2 die Multiplikation und hyper3 die Potenzierung. hyper4 wird auch bezeichnet als Tetration oder Superpotenz und kann folgendermaßen notiert werden:

${\displaystyle \operatorname {hyper4} (a,b)={}^{b}a}$.

Allgemeinverständlicher könnte man auch sagen: Schreibe die Zahl ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$-mal hintereinander und füge jeweils dazwischen den Operator eine Stufe tiefer ein.

Die Familie wurde für ${\displaystyle n>3}$ nicht für reelle Zahlen erweitert, weil es mehrere „offensichtliche“ Wege dazu gibt, die jedoch nicht assoziativ sind.

Eine andere Schreibweise für den Hyperoperator wurde von Donald Knuth entwickelt, welche als Pfeilnotation bekannt ist. Die Definition ist

${\displaystyle a\uparrow ^{k}b\;:=\;a\mathbin {\underbrace {\uparrow \dotsb \uparrow } _{k{\mbox{ mal}}}} b\;:=\left\{{\begin{matrix}a^{b}&{\mbox{falls }}k=1\\[1em]\underbrace {a\underbrace {\uparrow \dotsb \uparrow } _{k-1{\mbox{ mal}}}a\underbrace {\uparrow \dotsb \uparrow } _{k-1{\mbox{ mal}}}\dotsb \underbrace {\uparrow \dotsb \uparrow } _{k-1{\mbox{ mal}}}a} _{b{\mbox{ Kopien von }}a}&{\mbox{sonst}}\end{matrix}}\right.}$

Eine andere Notation verwendet statt des Pfeils ${\displaystyle \uparrow }$ das Zeichen ${\displaystyle {\hat {\hbox{ }}}}$. Mit der Definition gilt gerade

${\displaystyle a\uparrow ^{k}b=\operatorname {hyper} (a,k+2,b)=a^{(k+2)}b}$.

Diese Notation wird für die Darstellung von sehr großen Zahlen wie etwa Grahams Zahl benutzt.

Es gibt eine andere Möglichkeit, aus den Vorgaben eine allgemeinere Definition der Verknüpfung zu erhalten, denn es gilt auch

• ${\displaystyle \,a+b=(a+(b-1))+1}$
• ${\displaystyle a\cdot b=(a\cdot (b-1))+a}$
• ${\displaystyle a^{b}=\left(a^{(b-1)}\right)\cdot a}$,

weil die Verknüpfungen + und ${\displaystyle \cdot }$ kommutativ sind. Daraus ergibt sich die Definition

${\displaystyle a_{(n)}b:={\begin{cases}a+b,&{\text{wenn }}n=1\\0,&{\text{wenn }}n=2,b=0\\1,&{\text{wenn }}n>2,b=0\\\left(a_{(n)}(b-1)\right)_{(n-1)}a,&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$

Diese Notation „kollabiert“ jedoch für ${\displaystyle n=4}$; sie ergibt im Gegensatz zu hyper4 keinen Potenzturm mehr:

${\displaystyle a_{(4)}b=a^{\left(a^{(b-1)}\right)}}$

Wie können sich ${\displaystyle a^{(n)}b}$ und ${\displaystyle a_{(n)}b}$ plötzlich für ${\displaystyle n>3}$ unterscheiden? Das liegt an der Assoziativität, einer Eigenschaft, die die Operatoren ${\displaystyle +}$ und ${\displaystyle \cdot }$ besitzen (siehe auch Körper), die aber dem Potenz-Operator fehlt. (Im Allgemeinen ist ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}}$.)

Die anderen Ebenen kollabieren nicht auf diese Weise, weshalb auch diese Operatorenfamilie, genannt „niedere Hyper-Operatoren“ von Interesse ist.

• What Lies Beyond Exponentiation?
• The Tetration Forum