Hydrostatik

Der Druck in einer ruhenden Flüssigkeit ist an einem Punkt in allen Richtungen gleich groß. Ohne volumenverteilte Kräfte wie die Schwerkraft ist der Druck überall gleich und der Druck­gradient der Nullvektor. Wirkt nur die Schwerkraft, so entspricht der Schweredruck (auch hydrostatischer Druck) der Summe aus dem (Atmosphären-)Druck an der freien Oberfläche und dem sich durch die Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule über dem betrachteten Punkt ergebenden Druck. Der Schweredruck ist nur von der Tiefe, nicht jedoch von der Gefäßform abhängig. Dies wird als hydrostatisches Paradoxon bezeichnet.

Flüssigkeiten werden meist als quasi inkompressibel angenommen[2]^:4,9, weil sie in Ruhe bei kleinen Drücken (≤ 500 bar) nur wenig kompressibel sind.

Denn ihr Kompressions- oder Volumen-Elastizitätsmodul K ist im Vergleich zu Gasen groß. Der Modul gibt das Verhältnis zwischen Druckänderung dp und Volumendehnung dv an:

${\displaystyle K:=-{\frac {\mathrm {d} p}{\frac {\mathrm {d} {\mathsf {v}}}{\mathsf {V}}}}=-{\frac {{\mathsf {V}}\mathrm {d} p}{\mathrm {d} {\mathsf {v}}}}={\frac {1}{\kappa }}}$

Das Minuszeichen ist Konvention: Der Kompressionsmodul K ist positiv, wenn das Volumen v unter steigendem Druck p abnimmt; V ist ein Referenzvolumen. Die Kompressibilität κ ist der Kehrwert des Kompressionsmoduls. Der Kompressionsmodul von Flüssigkeiten ist kleiner als der der meisten Festkörper. Wasser besitzt beispielsweise den Kompressionsmodul K ≈ 2000 MPa = 20.000 bar und der von Stahl ist mit 160.000 MPa achtzigmal so groß. Die Tabellen enthalten Anhaltswerte für Wasser und andere Flüssigkeiten.[2]^:7

Die hydrostatische Grundgleichung beschreibt den Druckverlauf über die Tiefe in der Flüssigkeit. Die Grundgleichung in differentieller Form lautet

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial {\mathsf {h}}}}=\rho g}$

Der Druck nimmt demnach proportional zur Dichte ρ und Schwerebeschleunigung g in deren Richtung mit der Tiefe h zu. Ist das Koordinatensystem nicht parallel zur (resultierenden) Beschleunigung ausgerichtet, dann kann die Grundgleichung in jeder Koordinatenrichtung x_j aufgeschrieben werden:[1]^:166

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x_{j}}}=\rho g_{j}}$

oder als koordinatenunabhängige Vektor­gleichung zusammengefasst[4]

${\displaystyle \nabla p=\rho ({\vec {k}}+{\vec {k}}_{f})}$

siehe Fluidstatik#Allgemeine fluidstatische Grundgleichung. Hier ist noch die Führungskraft ${\displaystyle \rho {\vec {k}}_{f}}$ aufgenommen, die als Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen auftritt.

Unter der Annahme der Inkompressibilität (ρ = konst.) ergibt sich aus der Grundgleichung in differentieller Form im homogenen Schwerefeld (g = konst.) die modifizierte Grundgleichung:

p(h) = p₀ + ρ g h

mit

ρ: Dichte der Flüssigkeit

g: Schwerebeschleunigung

h: Höhe der Flüssigkeitssäule über dem betrachteten Punkt

p₀: Druck an der Oberfläche der Flüssigkeitssäule (bei h=0).

Bezieht man die #Kompressibilität von Wasser von etwa κ ≈ 5·10⁻⁵·bar⁻¹ in die Berechnung des Drucks mit ein, ergibt sich das folgende Diagramm:

Mit und ohne #Kompressibilität berechnete Dichte- und Druckverteilung in Wasser als Funktion der Tiefe

In 12.000 m Tiefe ergäbe sich hiermit, ausgehend von einer Dichte von 1000 kg/m³ in 0 m Tiefe, eine Abweichung des mit Kompressibilität berechneten, realen Drucks vom idealen von ca. 3,5 %. Hierbei bleiben jedoch weiterhin Temperatureffekte ebenso wie andere Einflüsse unberücksichtigt.

Flüssigkeit (blau) in einem gleichmäßig beschleunigten Behälter

Betrachtet wird ein gleichmäßig beschleunigter Behälter, in dem sich eine Flüssigkeit befindet, siehe Bild. Im Gleichgewicht sind die Fluidteilchen relativ zueinander in Ruhe, sodass die Gesetze der Fluidstatik anwendbar sind. Die Beschleunigung eines Fluidelements dm ist gleich der Beschleunigung ${\displaystyle a}$ des Behälters, weil es sich relativ zu ihm in Ruhe befindet, und von außen wirkt die lotrechte Gewichtskraft g·dm. Im beschleunigten Bezugssystem erscheint die horizontal ausgerichtete Führungskraft ${\displaystyle -a\cdot \mathrm {d} m}$ (Scheinkraft). Zur Resultierenden aus Gewichts- und Führungskraft senkrecht sind die Isobaren, deren Steigungswinkel α sich aus dem Tangens tan des Winkels ergibt:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a\cdot \mathrm {d} m}{g\cdot \mathrm {d} m}}={\frac {a}{g}}}$

Beim ruhenden Behälter ist ${\displaystyle a=0}$ und die Oberfläche horizontal. Im Fluidkörper bildet sich ein Hydrostatischer Druck gemäß der resultierenden Beschleunigung ${\displaystyle \textstyle f={\sqrt {a^{2}+g^{2}}}}$ aus.

Die Höhe, auf die die Flüssigkeit an der rückwärtigen Behälterwand hochsteigt, ergibt sich aus der Volumenkonstanz. Ist die Behälterwand niedriger, dann läuft die überschüssige Flüssigkeit aus.[2]^:32 Wenn die horizontale Beschleunigung im Vergleich zur Schwerebeschleunigung groß ist, wie beispielsweise in der Schwerelosigkeit, strebt die Flüssigkeit eine senkrechte Oberfläche an, die sich nur dann einstellen kann, wenn der Behälter oben geschlossen ist.

Behälter (Rechteck) auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel θ

Betrachtet wird ein mit Flüssigkeit befüllter Behälter, der eine schiefe Ebene hinab gleitet, siehe Bild. Auch dieser Fall kann mit Mitteln der Fluidstatik behandelt werden,[1]^:171 d. h. davon ausgegangen werden, dass die Flüssigkeit im Behälter ruht. Wenn der Behälter mit Flüssigkeit die Masse m hat, wirkt auf ihn die Kraft mg·sinθ−f hangabwärts parallel zur Ebene, wobei f auf Reibung zurückgeht und zunächst unbestimmt bleibt. In horizontaler x-Richtung (nach links im Bild) wirkt das cosθ-fache dieser Kraft und in vertikaler z-Richtung (nach oben im Bild) das −sinθ-fache. Aus dem zweiten newtonschen Gesetz „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ ergeben sich die Beschleunigungen (zweifache Zeitableitungen angezeigt durch die aufgesetzten Punkte):

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {x}}=&(mg\sin \theta -f)\cos \theta \\m{\ddot {z}}=&(f-mg\sin \theta )\sin \theta \\\rightarrow {\ddot {\vec {x}}}:=&{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {z}}\end{pmatrix}}=(g\sin \theta -f/m){\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Der Beschleunigungs­vektor ${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}}$ ist hangabwärts gerichtet. Die Reibkraft f ist proportional zur Normalkraft N=mg·cosθ, sodass f=μmg·cosθ mit Reibkoeffizient μ und

${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}=g(\sin \theta -\mu \cos \theta ){\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}=g{\begin{pmatrix}(\tan \theta -\mu )\cos ^{2}\theta \\-(\tan \theta -\mu )\sin \theta \cos \theta \end{pmatrix}}}$

wird. Diese Beschleunigung ist konstant, sodass die Flüssigkeit im Behälter ruhen kann. Allerdings muss tanθ größer als der Reibkoeffizient sein, denn sonst tritt Haftreibung ein und der Behälter bleibt stehen.

Auf die im Behälter ruhende Flüssigkeit kann die allgemeine fluidstatische Grundgleichung ${\displaystyle \nabla p=\rho ({\vec {k}}+{\vec {k}}_{f})}$ im mitbewegten Bezugssystem angewendet werden. Dort ist der Druckgradient 𝜵p gleich der Summe aus der volumenverteilten Schwerkraft und der volumenverteilten Scheinkraft. Neben der Schwerkraft ${\displaystyle \rho {\vec {k}}=-\rho g{\hat {e}}_{z}}$ ist im beschleunigten Bezugssystem die Führungskraft ${\displaystyle \rho {\vec {k}}_{f}=-\rho {\ddot {\vec {x}}}}$ (Scheinkraft) zu berücksichtigen:

${\displaystyle \nabla p=\rho ({\vec {k}}+{\vec {k}}_{f})=\rho (-g{\hat {e}}_{z}-{\ddot {\vec {x}}})=\rho g{\begin{pmatrix}-(\tan \theta -\mu )\cos ^{2}\theta \\(\tan \theta -\mu )\sin \theta \cos \theta -1\end{pmatrix}}}$

Falls μ=tanθ, wo der Behälter stehen bleibt, ist der Druckgradient vertikal und die freie Oberfläche horizontal. In Abwesenheit von Reibung (μ=0) ist der Druckgradient

${\displaystyle \nabla p=\rho g{\begin{pmatrix}-\tan \theta \cos ^{2}\theta \\\tan \theta \sin \theta \cos \theta -1\end{pmatrix}}=\rho g{\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \theta \\\sin ^{2}\theta -1\end{pmatrix}}=-\rho g\cos \theta {\begin{pmatrix}\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}}$

senkrecht zur schiefen Ebene und die freie Oberfläche der Flüssigkeit parallel zu ihr. Ansonsten addiert sich noch der Anteil, der proportional zu μ ist:

${\displaystyle \nabla p=-\rho g\cos \theta {\begin{pmatrix}\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}+\mu \rho g\cos \theta {\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}=\rho g\cos \theta \left[{\begin{pmatrix}-\sin \theta \\-\cos \theta \end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}\right]}$

Die freie Oberfläche ist hier weniger geneigt als die Ebene.[1]^:172f Weil der Druckgradient nicht ortsabhängig ist, nimmt der Druck linear mit der Tiefe in Richtung des Gradienten zu.

Flüssigkeit in einem gleichmäßig rotierenden Behälter

Ein zylinder­förmiger Behälter wird bis zur Höhe z₀ mit einer Flüssigkeit gefüllt und auf die konstante Winkelgeschwindigkeit ω gebracht, siehe Bild. Durch die Viskosität und Haftbedingung teilt sich die Drehbewegung des Behälters der Flüssigkeit mit und nach hinreichend langer Zeit rotiert sie ebenfalls mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Im mitrotierenden Bezugssystem K’ befindet sich die Flüssigkeit in Ruhe, sodass die Bedingungen der Hydrostatik erfüllt sind.

Im Bezugssystem K’ werden Zylinderkoordinaten mit radialer Koordinate r und vertikaler z benutzt, siehe Bild. Auf jedes Fluidelement mit Masse dm wirkt die Gewichtskraft dG=dm·g in -z-Richtung. Im beschleunigten Bezugssystem K’ ist noch die Führungskraft dZ zu berücksichtigen, die bei gleichmäßiger Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die ruhende Drehachse gleich der radial auftretenden Zentrifugalkraft ist: dZ=dm·ω²·r. An jeder Stelle auf der Oberfläche ist diese senkrecht zur Resultierenden dF der beiden Kräfte dZ und dG, und so ergibt sich

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} G}}={\frac {\mathrm {d} m\cdot \omega ^{2}r}{\mathrm {d} m\cdot g}}={\frac {\omega ^{2}r}{g}}}$

Gleichzeitig ist tanα auch die Steigung der Rotationskurve z(r), d. h. der Wert der Ableitungsfunktion an der betrachteten Stelle:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} r}}={\frac {\omega ^{2}r}{g}}}$

Im homogenen Schwerefeld (g=konst.) ergibt sich die Kurve zu

${\displaystyle z(r)={\frac {\omega ^{2}r^{2}}{2g}}+z_{b}}$

wo die Integrationskonstante z_b die Höhe im Tiefpunkt bei r=0 ist. Bemerkenswert ist, dass die Form des Paraboloids von der Art der Flüssigkeit unabhängig ist, weil in der letzten Gleichung keine Stoffgrößen vorkommen.

Die Steighöhe z_a ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Zylinder durch ein eingeschriebenes Rotationsparaboloid zweiter Ordnung in zwei Teile mit identischem Volumen zerlegt wird. Die Füllhöhe z₀ im nicht rotierenden Zylinder befindet sich daher mittig zwischen z_a und dem Tiefpunkt z_b. Andererseits ergibt sich die Differenz z_a − z_b aus der Rotationskurve:[2]^:33

${\displaystyle z_{0}={\frac {z_{a}+z_{b}}{2}}\;,\quad z_{a}-z_{b}=z(R)-z(0)={\frac {\omega ^{2}}{2g}}R^{2}\quad \rightarrow \quad z_{a,b}=z_{0}\pm {\frac {\omega ^{2}R^{2}}{4g}}}$

Wird ein Körper in eine Flüssigkeit gebracht, so ist der Druck an der Unterseite höher als an der Oberseite. Die resultierende Kraft weist nach oben und heißt Auftrieb. Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Ist die durchschnittliche Dichte eines Körpers kleiner als die der Flüssigkeit, so überwiegt die Auftriebskraft gegenüber der Gewichtskraft. Wirken dann nicht noch andere Kräfte auf ihn ein, steigt der Körper nach oben und schwimmt. Ist seine Dichte hingegen größer als die Flüssigkeit, sinkt der Körper nach unten, bei gleicher Dichte schwebt er.

Funktionsprinzip einer hydraulischen Presse

Hydraulische Systeme nutzen die Unabhängigkeit des Drucks von der Gefäßform aus. Wird beispielsweise Wasser durch ein Rohr mit relativ kleinem Querschnitt ${\displaystyle S_{1}}$ wie im Bild in ein Gefäß mit großen Querschnitt ${\displaystyle S_{2}}$ gedrückt, so entsteht der Druck ${\displaystyle p={\tfrac {F_{1}}{S_{1}}}}$ im Wasser. Dieser Druck pflanzt sich nach dem Pascalschen Druckfortpflanzungsgesetz in das Gefäß fort und wirkt dort auf der gesamten Querschnittsfläche ${\displaystyle S_{2}}$. Darauf wird vom Wasser die resultierende Kraft ${\displaystyle F_{2}=p\cdot S_{2}={\tfrac {S_{2}}{S_{1}}}F_{1}}$ ausgeübt, die ein Vielfaches der Kraft ${\displaystyle F_{1}}$ ist.[2]^:37 Das hydraulische System ist eine

Anwendung findet dieses Prinzip z. B. in der hydraulischen Presse. Deren Wirkungsgrad wird nur durch die Reibung in den Kolbendichtungen geschmälert. Viskosität der Flüssigkeit hat auf das Kraftverhältnis keinen Einfluss, da im Endzustand statische Bedingungen herrschen.[2]^:38