Hotelling-Regel

Eine nicht-erneuerbare Ressource stehe in begrenzter Menge zur Verfügung und es entstehen keine Lagerkosten. In jeder Periode entsteht ein bestimmter Nutzen durch den Konsum der Ressource. Zukünftige Nutzen können diskontiert werden. Somit gibt es eine Wohlfahrtsfunktion über T Perioden:

${\displaystyle W=\sum _{t=0}^{T}{\frac {1}{(1+r)^{t}}}u_{t}(x_{t})}$

mit

• ${\displaystyle W}$ die Wohlfahrt
• ${\displaystyle r}$ der Diskontsatz des Nutzens
• ${\displaystyle u_{t}(x_{t})}$ der Nutzen in Periode ${\displaystyle t}$, abhängig von der Fördermenge ${\displaystyle x_{t}}$ in Periode ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle T}$ Zeitpunkt, zu dem die Ressource erschöpft ist.

Die Wohlfahrtmaximierungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:

${\displaystyle W\rightarrow max!_{x_{0},x_{1},...,x_{T}}}$

Die Wohlfahrt wird maximiert unter den Bedingungen,

• dass der Verkauf in allen Perioden zusammen kleiner oder gleich dem gesamten verfügbaren Bestand der Ressource ${\displaystyle {\bar {x}}}$ sein muss

${\displaystyle \sum _{t=0}^{T}x_{t}\leq {\bar {x}}}$

• und dass es keinen negativen Abbau gibt (Nicht-Negativitätsbedingung)

${\displaystyle x_{t}\geq 0\quad \forall t}$

Zur Herleitung der Optimalitätsbedingung müssen alle Nutzenfunktionen in jeder Periode gleich sein.

${\displaystyle u_{t}(x_{t})=u_{s}(x_{s})\quad \forall t\neq s}$

Gleichzeitig muss der Nutzen in jeder Periode gleich der maximalen Zahlungsbereitschaft sein:

${\displaystyle u_{t}(x_{t})=ZB(x_{t})\quad .}$

Zur Vereinfachung wird im Folgenden angenommen, dass es nur zwei Perioden gibt, dass in jeder Periode etwas abgebaut wird und dass am Ende die Ressource vollständig abgebaut ist:

${\displaystyle x_{0}>0,x_{1}>0,x_{0}+x_{1}={\bar {x}}}$

Dann folgt aus dem Maximierungsproblem die Optimalitätsbedingung (Hotelling-Regel):

${\displaystyle u^{\prime }(x_{0}^{*})={\frac {u^{\prime }(x_{1}^{*})}{(1+r)}}\Leftrightarrow r={\frac {u^{\prime }(x_{1}^{*})-u^{\prime }(x_{0}^{*})}{u^{\prime }(x_{0}^{*})}}}$