Hopf-Cole-Transformation

Die eindimensionale viskose Burgersgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

wird durch die Transformation

${\displaystyle u=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln(\phi )}$

in die Wärmeleitungsgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}}$

überführt. Daraus ergibt sich für die Lösung des Cauchy-Problems der ursprünglichen Gleichung folgende Formel:

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left((4\pi \nu t)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl [}-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}u(x'',0)\,dx''{\Bigr ]}\,dx'\right).}$

Etwas allgemeiner wird die semilineare parabolische Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a\Delta u+b|\mathrm {grad} \,u|^{2}=0}$

durch die Transformation

${\displaystyle u=-{\frac {a}{b}}\ln(\phi )}$

in die Wärmeleitungsgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}-a\Delta \phi =0}$

überführt.

• J. D. Cole: On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics. In: Quart. Appl. Math. 9, 1951, S. 225–236.
• L. Debnath: Nonlinear partial differential equations for scientists and engineers. Birkhäuser, 1997, ISBN 0-8176-3902-0, S. 289–293.
• L. C. Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1999, ISBN 0-8218-0772-2, S. 194–195.
• E. Hopf: The partial differential equation ${\displaystyle u_{t}+uu_{x}=\mu u_{xx}}$. In: Commun. Pure Appl. Math. 3, 1950, S. 201–230.