Hopfsches Maximal-Ergodenlemma

Gegeben sei ein maßerhaltendes dynamisches System ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ und eine messbare Funktion ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$. Außerdem sei

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n-1}f\circ T^{i}}$

die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ Iterationen und

${\displaystyle m_{n}:=\max\{0,s_{1},\dots ,s_{n}\}}$

das Maximum dieser Summen. Dann gilt

${\displaystyle \int _{\{m_{n}>0\}}f\mathrm {d} \mu \geq 0}$

für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Die stochastische Formulierung verwendet, dass ein stationärer stochastischer Prozess versehen mit dem Shiftoperator ${\displaystyle \tau }$ ein maßerhaltendes dynamisches System ist, vgl. dieses Beispiel. Das Hopf’sche Maximal-Ergodenlemma lautet dann wie folgt: Ist ${\displaystyle X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ein reeller stationärer stochastischer Prozess und ${\displaystyle X_{0}}$ integrierbar, so folgt mit

${\displaystyle S_{n}:=\sum _{i=0}^{n-1}X_{i}}$

und

${\displaystyle M_{n}:=\max\{0,S_{1},\dots ,S_{n}\}}$,

dass

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{0}\chi _{\{M_{n}>0\}})\geq 0}$

ist. Um dies zu erhalten, setzt man ${\displaystyle f=X_{0}}$ und aufgrund des Shiftoperators gilt dann ${\displaystyle X_{n}=X_{0}(\tau ^{n})}$. Somit entspricht ${\displaystyle \tau }$ dem ${\displaystyle T}$ in der oberen Formulierung.

• D.V. Anosov: Maximal ergodic theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.