Hong-Ou-Mandel-Effekt

In der Quantenmechanik wird Licht nicht mehr durch die klassischen elektrischen Feldamplituden, sondern durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren beschrieben. Die Kopplung der Moden an den beiden Eingängen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ zu den Ausgangsmoden ${\displaystyle a'}$ und ${\displaystyle b'}$ durch den Strahlteiler wird durch den unitären Operator

${\displaystyle U=\operatorname {e} ^{{\frac {1}{2}}\theta (a^{\dagger }b-ab^{\dagger })}}$

der für dieses Problem die Rolle des Zeitentwicklungsoperators übernimmt. Der „Drehwinkel“ ${\displaystyle \theta }$ beschreibt hierbei das Teilungsverhältnis des Strahlteilers. Für den im Folgenden angenommenen 50:50-Strahlteiler ist ${\displaystyle \theta =\pi /2}$.

Im Heisenberg-Bild verändern sich die Operatoren gemäß

${\displaystyle a\mapsto a'=U^{\dagger }a\,U={\frac {a+b}{\sqrt {2}}}\,,\qquad b\mapsto b'=U^{\dagger }b\,U={\frac {a-b}{\sqrt {2}}}}$

was der Beschreibung durch die klassische Elektrodynamik entspricht. Die eigentlich komplexen Amplituden für Reflexion und Transmission sind in diesem Beispiel alle reell mit Betrag ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ – im Quadrat ergibt sich eine 50 % Reflektivität. (Mit der Kombination ${\displaystyle {\rm {e}}^{i\varphi }a^{\dagger }b-{\rm {e}}^{-i\varphi }ab^{\dagger }}$ im Exponenten des Operators ${\displaystyle U}$ entstehen zusätzliche Phasenfaktoren, die die Hong-Ou-Mandel-Interferenz aber nicht beeinflussen.)

Im Schrödinger-Bild ergibt sich dann der Ausgangszustand durch Multiplikation des Entwicklungsoperators mit dem Eingangszustand. Der Eingangszustand wird durch den Ket ${\displaystyle |1,1\rangle }$ dargestellt, der beschreibt, dass je ein Photon an einem Eingang des Strahlteilers vorhanden ist.

${\displaystyle U|1,1\rangle ={\frac {1}{2}}\left(a^{\dagger }a^{\dagger }+a^{\dagger }b^{\dagger }-b^{\dagger }a^{\dagger }-b^{\dagger }b^{\dagger }\right)|0,0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|2,0\rangle -|0,2\rangle \right)}$

Die vier Terme in der Gleichung entsprechen hierbei genau den vier in der Abbildung dargestellten Möglichkeiten für die Photonen durch den Strahlteiler zu fliegen. Für Photonen (Bosonen) vertauschen die Operatoren ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$, sodass sich die Terme proportional zu ${\displaystyle a^{\dagger }b^{\dagger }}$ und ${\displaystyle b^{\dagger }a^{\dagger }}$ wegheben und im Endzustand nicht mehr auftauchen.

Für Fermionen anti-kommutieren ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$, sodass sich genau umgekehrt der Endzustand ${\displaystyle |1,1\rangle }$ ergibt.