Homoskedastizität und Heteroskedastizität

In der Statistik spielt die Verteilung von Merkmalen eine entscheidende Rolle. Beispielsweise hat man in der Regressionsanalyse eine Menge von Datenpunkten gegeben, in die eine Gerade möglichst passgenau eingelegt wird. Die Abweichungen der Datenpunkte von der Geraden werden Störterme oder Residuen genannt und sind wahrscheinlichkeitstheoretisch jeweils Zufallsvariablen. Homoskedastie bzw. Heteroskedastie bezieht sich auf die Verteilung dieser Störterme, die mittels der Varianz erfasst wird. Haben diese Störterme ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ alle die gleiche Varianz, liegt Varianzhomogenität (d. h. Homoskedastie) vor

${\displaystyle \operatorname {Var} (\varepsilon _{1})=\operatorname {Var} (\varepsilon _{2})=\ldots =\operatorname {Var} (\varepsilon _{n})=\sigma ^{2}=\mathrm {konst.} }$ beziehungsweise ${\displaystyle \operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\sigma ^{2}=\mathrm {konst.} \quad i=1,\ldots ,n}$.

Heteroskedastizität: Die Streuung der Punkte um die Gerade wächst nach rechts hin stärker als linear an.

Heteroskedastizität dagegen bedeutet, dass Varianz der Störterme bedingt auf die erklärenden Variablen nicht konstant ist:[1]

${\displaystyle \operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}\quad i=1,\ldots ,n}$.

In diesem Fall weisen die Störterme nicht die gleiche Varianz auf und folglich führt die gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate nicht zu effizienten Schätzwerten für die Regressionskoeffizienten. Dies bedeutet, dass diese Schätzwerte nicht die kleinstmögliche Varianz aufweisen. Die Standardfehler der Regressionskoeffizienten werden verzerrt geschätzt[2] und außerdem ist dann eine naive Anwendung des t-Tests nicht möglich; die t-Werte sind nicht mehr brauchbar. Abhilfe schafft in vielen Fällen eine geeignete Datentransformation: Herrscht Heteroskedastizität, kann es durchaus sinnvoll sein, die Daten mittels Anwendung des Logarithmus oder der Quadratwurzel zu transformieren, um Homoskedastizität zu erreichen. Diese führt dann zur korrekten Verwendung des Satzes von Gauß-Markow.

Praktisch tritt Heteroskedastizität auf, wenn die Streuung der abhängigen Variablen von der Höhe der erklärenden Variablen abhängt. Zum Beispiel ist mit einer größeren Streuung der Ausgaben im Urlaub zu rechnen, wenn das verfügbare Monatseinkommen höher ist.[3]

• die erste KQ-Annahme bleibt erfüllt, also korreliert die exogene erklärende Variable trotzdem nicht mit dem Residuum
• die exogene und die endogene Variable sind nicht mehr identisch verteilt, was zur Folge hat, dass die KQ-Schätzer nicht mehr effizient sind und die Standardfehler der Regressionskoeffizienten verzerrt und nicht konsistent sind. Daraus folgt, dass – wie oben erwähnt – natürlich auch die t-Werte nicht mehr verlässlich sind. Dies, weil der t-Wert ja berechnet wird, indem die Koeffizientenschätzung einer exogenen Prädiktorvariablen durch deren Standardfehler dividiert wird. Bei Vorliegen von Heteroskedastizität kann jedoch auf andere Standardfehler zurückgegriffen werden, z. B. auf heteroskedastie-robuste Standardfehler (Eicker-Huber-White-Schätzer (benannt nach Friedhelm Eicker, Peter J. Huber, Halbert L. White); manchmal auch nur schlicht mit einem der Entwicklernamen benannt, etwa als White-Schätzer). Eine weitere Möglichkeit bei Vorliegen von Heteroskedastie ist der Rückgriff auf den gewichteten Kleinste-Quadrate-Schätzer (englisch weighted least squares estimator, kurz WLSE) als Spezialfall des verallgemeinerten Kleinste-Quadrate-Schätzers (VKQ-Schätzer).[4]

Bekannte Verfahren, um die Nullhypothese „Homoskedastizität liegt vor“ zu überprüfen, sind der Goldfeld-Quandt-Test, der White-Test, der Levene-Test, der Glejser-Test, der RESET-Test nach Ramsey und der Breusch-Pagan-Test.

• J. Wooldridge: Introductory Econometrics. A Modern Approach. 5. Auflage. Mason, Ohio 2013, ISBN 978-1-111-53439-4.
• M.-W. Stoetzer: Regressionsanalyse in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung. Band 1: Eine nichtmathematische Einführung mit SPSS und Stata. Berlin 2017, ISBN 978-3-662-53823-4, S. 135–147.

1. Jeffrey Wooldridge: Introductory Econometrics. A Modern Approach. 5. Auflage. South-Western, Cengage Learning, Mason, Ohio 2013, ISBN 978-1-111-53439-4, S. 849.
2. Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 814.
3. Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 813.
4. Jeffrey Wooldridge: Introductory Econometrics. A Modern Approach. 5. Auflage. South-Western, Cengage Learning, Mason, Ohio 2013, ISBN 978-1-111-53439-4, S. 49–54.