Homologietheorie

Man geht im Allgemeinen wie folgt vor: Einem mathematischen Objekt ${\displaystyle X}$ wird zunächst ein Kettenkomplex zugeordnet, der Information über ${\displaystyle X}$ enthält. Ein Kettenkomplex ist eine Folge von Moduln ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots }$ über einem festen Ring, verbunden durch Homomorphismen ${\displaystyle d_{n}\colon A_{n}\to A_{n-1}}$, so dass die Hintereinanderausführung je zweier dieser Abbildungen die Nullabbildung ist: ${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$ für jedes ${\displaystyle n}$. Dies bedeutet, dass das Bild der ${\displaystyle (n+1)}$-ten Abbildung stets im Kern der ${\displaystyle n}$-ten Abbildung enthalten ist. Man definiert nun die ${\displaystyle n}$-te Homologiegruppe von ${\displaystyle X}$ als den Quotientenmodul

${\displaystyle \,H_{n}(X)=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1}).}$

Ein Kettenkomplex heißt exakt, wenn das Bild der ${\displaystyle (n+1)}$-ten Abbildung stets der Kern der ${\displaystyle n}$-ten Abbildung ist; die Homologiegruppen von ${\displaystyle X}$ messen also, „wie unexakt“ der ${\displaystyle X}$ zugeordnete Kettenkomplex ist.

Das erste Beispiel stammt aus der algebraischen Topologie: die simpliziale Homologie eines simplizialen Komplexes ${\displaystyle X}$. Hier ist ${\displaystyle A_{n}}$ der freie Modul über den ${\displaystyle n}$-dimensionalen orientierten Simplizes von ${\displaystyle X}$. Die Abbildungen ${\displaystyle d_{n}}$ heißen Randabbildungen und bilden das Simplex mit den Ecken

${\displaystyle (a[0],a[1],\dots ,a[n])}$

auf die alternierende Summe der „Randflächen“

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}(a[0],\dots ,a[i-1],a[i+1],\dots ,a[n])}$

ab.

Für Moduln über einem Körper (d. h. Vektorräume) beschreibt die Dimension der ${\displaystyle n}$-ten Homologiegruppe von ${\displaystyle X}$ die Anzahl der ${\displaystyle n}$-dimensionalen Löcher von ${\displaystyle X}$.

Mit diesem Beispiel kann man eine simpliziale Homologie für jeden topologischen Raum definieren. Der Kettenkomplex für ${\displaystyle X}$ wird so definiert, dass ${\displaystyle A_{n}}$ der freie Modul über allen stetigen Abbildungen vom ${\displaystyle n}$-dimensionalen Einheitssimplex nach ${\displaystyle X}$ ist. Die Homomorphismen ${\displaystyle d_{n}}$ ergeben sich aus den simplizialen Randabbildungen.

In der homologischen Algebra benutzt man Homologie, um abgeleitete Funktoren zu definieren. Man betrachtet dort einen additiven Funktor ${\displaystyle F}$ und einen Modul ${\displaystyle X}$. Der Kettenkomplex für ${\displaystyle X}$ wird wie folgt konstruiert: ${\displaystyle F_{1}}$ sei ein freier Modul und ${\displaystyle p_{1}\colon F_{1}\to X}$ ein Epimorphismus, ${\displaystyle F_{2}}$ sei ein freier Modul, der die Eigenschaft besitzen soll, dass ein Epimorphismus ${\displaystyle p_{2}\colon F_{2}\to \mathrm {ker} \,p_{1}}$ existiert, ${\displaystyle \ldots }$ Man erhält also eine Sequenz freier Moduln ${\displaystyle F_{n}}$ und Homomorphismen ${\displaystyle p_{n}\colon F_{n}\to F_{n-1}}$ und durch Anwendung von ${\displaystyle F}$ einen Kettenkomplex. Die ${\displaystyle n}$-te Homologie ${\displaystyle H_{n}}$ dieses Komplexes hängt, wie man zeigen kann, nur von ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle X}$ ab. Man schreibt ${\displaystyle H_{n}=:D^{n}F(X)}$ und nennt ${\displaystyle D^{n}F}$ den ${\displaystyle n}$-ten abgeleiteten Funktor von ${\displaystyle F}$.

Die Kettenkomplexe bilden eine Kategorie: Ein Morphismus – man sagt: eine Kettenabbildung – vom Kettenkomplex ${\displaystyle (A_{n},d_{n}^{A})}$ in den Kettenkomplex ${\displaystyle (B_{n},d_{n}^{B})}$ ist eine Folge von Modulhomomorphismen ${\displaystyle f_{n}\colon A_{n}\to B_{n}}$, so dass ${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}^{A}=d_{n}^{B}\circ f_{n}}$ für jedes ${\displaystyle n}$. Die ${\displaystyle n}$-te Homologiegruppe ${\displaystyle H_{n}}$ kann man als Funktor von der Kategorie der Kettenkomplexe in die Kategorie der Moduln über dem zugrunde liegenden Ring ${\displaystyle R}$ auffassen.

Wenn der Kettenkomplex von ${\displaystyle X}$ funktoriell abhängt (d. h. jeder Morphismus ${\displaystyle X\to Y}$ induziert eine Kettenabbildung vom Kettenkomplex von ${\displaystyle X}$ in den von ${\displaystyle Y}$), dann sind die ${\displaystyle H_{n}}$ Funktoren von der Kategorie, zu der ${\displaystyle X}$ gehört, in die Kategorie der Moduln.

Ein Unterschied zwischen Homologie und Kohomologie liegt darin, dass die Kettenkomplexe in der Kohomologie kontravariant von ${\displaystyle X}$ abhängen und daher die Homologiegruppen (die dann Kohomologiegruppen genannt werden und in diesem Kontext mit ${\displaystyle H^{n}}$ bezeichnet werden) kontravariante Funktoren sind. Des Weiteren hat man meist auf der graduierten Kohomologiegruppe eine kanonische Ringstruktur, etwas Vergleichbares gibt es auf dem Niveau der Homologie nicht.

Ist ${\displaystyle (A_{n},d_{n})}$ ein Kettenkomplex, so dass alle ${\displaystyle A_{n}}$ endlich erzeugte freie Moduln sind, von denen höchstens endlich viele nicht null sind, dann kann man die Euler-Charakteristik

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} \,(A_{n})}$

definieren. Man kann zeigen, dass die Euler-Charakteristik auch bezüglich der Homologie ausgedrückt werden kann:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

In der algebraischen Topologie liefert das zwei Wege, die Invariante ${\displaystyle \chi }$ für das Objekt ${\displaystyle X}$, aus dem der Kettenkomplex erzeugt wurde, auszurechnen.

Jede kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

von Kettenkomplexen liefert eine lange exakte Sequenz der Homologiegruppen

${\displaystyle \cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots \,}$

Alle Abbildungen dieser exakten Sequenz sind durch die Abbildungen zwischen den Kettenkomplexen induziert, außer den Abbildungen ${\displaystyle H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)}$, die verbindende Homomorphismen genannt werden und deren Existenz mit dem Schlangenlemma bewiesen wird.

• Axiomatische Homologie
• Singuläre Homologie

• Eric W. Weisstein: Homology. In: MathWorld (englisch).

1. Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache. Braunschweig 31914, Band 2, S. 58–61. Stichwort λόγος, Bedeutung C.5 (Online-Version)