Homologiesphäre

Explizit ausgedrückt heißt eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, für deren singulären Homologiegruppen

${\displaystyle H_{0}(M,\mathbb {Z} )\cong H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

für ein ${\displaystyle n>1}$ und

${\displaystyle H_{j}(M,\mathbb {Z} )=\{0\}}$

für alle anderen ${\displaystyle j}$ gelten.

Aus der Homologie kann man ablesen, dass ${\displaystyle M}$ eine kompakte, zusammenhängende Mannigfaltigkeit ohne Rand ist. Im Allgemeinen ist ${\displaystyle M}$ jedoch nicht einfach zusammenhängend: Teilt man die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ durch ihre Kommutatorgruppe dann erhält man eine Gruppe, die isomorph zur ersten Homologiegruppe ${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {Z} )}$ ist. Das bedeutet aus ${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {Z} )=\{0\}}$ kann man lediglich schließen, dass die Fundamentalgruppe eine perfekte Gruppe, also zu ihrer Kommutatorgruppe isomorph ist, nicht aber dass ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ trivial sein muss.

Historisch wurden Homologiesphären zuerst in der ${\displaystyle 3}$-dimensionalen Topologie betrachtet.

Poincaré glaubte anfangs, dass der Homologiering ausreichen müsste, um die ${\displaystyle 3}$-dimensionale Standardsphäre eindeutig zu charakterisieren. Er entdeckte aber ein Gegenbeispiel (die sogenannte Poincaré-Homologiesphäre) und formulierte dann die schärfere Poincaré-Vermutung (bei der zusätzlich ${\displaystyle \pi _{1}(M)=\{0\}}$ gefordert wird), die erst ca. 100 Jahre später von Perelman bewiesen wurde.

Eine Anwendung des Satzes von Hurewicz und des Satzes von Whitehead zeigt, dass jede einfach zusammenhängende ${\displaystyle n}$-dimensionale Homologiesphäre eine Homotopiesphäre, d. h. homotopieäquivalent zur Sphäre ${\displaystyle S^{n}}$ sein muss. Aus der Poincaré-Vermutung beziehungsweise ihrem höherdimensionalen Analogon für ${\displaystyle n>3}$ folgt dann, dass sie auch homöomorph zur ${\displaystyle S^{n}}$ ist. Auch in höheren Dimensionen gibt es also Homologiesphären ${\displaystyle M\not =S^{n}}$ nur für ${\displaystyle \pi _{1}M\not =0}$.

• Classification of homology 3-spheres? (mathoverflow)