Homologie mit Koeffizienten

Sei

${\displaystyle 0\leftarrow K_{0}\leftarrow K_{1}\leftarrow K_{2}\leftarrow K_{3}\leftarrow \ldots }$

ein Kettenkomplex und ${\displaystyle G}$ eine abelsche Gruppe. Als Homologie mit Koeffizienten in ${\displaystyle G}$ bezeichnet man die Homologie des Kettenkomplexes

${\displaystyle 0\leftarrow K_{0}\otimes _{\mathbb {Z} }G\leftarrow K_{1}\otimes _{\mathbb {Z} }G\leftarrow K_{2}\otimes _{\mathbb {Z} }G\leftarrow K_{3}\otimes _{\mathbb {Z} }G\ldots }$.

Für ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ erhält man die Homologie des Kettenkomplexes.

Für einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ bezeichnet man mit ${\displaystyle H_{*}(X,G)}$ die Homologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in ${\displaystyle G}$. Für ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ erhält man die singuläre Homologie.

Für einen Simplizialkomplex ${\displaystyle S}$ bezeichnet man mit ${\displaystyle H_{*}(S,G)}$ die Homologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in ${\displaystyle G}$. Für ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ erhält man die simpliziale Homologie.

Sei ${\displaystyle X=\mathbb {R} P^{n}}$ der projektive Raum und ${\displaystyle G=F}$ ein Körper.

Wenn die Charakteristik von ${\displaystyle F}$ gleich ${\displaystyle 2}$ ist, dann ist ${\displaystyle H_{k}(\mathbb {R} P^{n},F)=F}$ für alle ${\displaystyle k}$ mit ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$.

Wenn ${\displaystyle char(F)\not =2}$, dann ist ${\displaystyle H_{0}(\mathbb {R} P^{n},F)=F}$ und für ungerade ${\displaystyle n}$ auch ${\displaystyle H_{n}(\mathbb {R} P^{n},F)=F}$, aber ${\displaystyle H_{k}(\mathbb {R} P^{n},F)=0}$ für alle anderen Werte von ${\displaystyle k}$.

Die Homologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes

${\displaystyle 0\to H_{n}(X)\otimes G\to H_{n}(X;G)\to \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(H_{n-1}(X),G)\to 0}$

berechnet werden.