Holomorpher Funktionalkalkül

Es sei ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement ${\displaystyle e}$. Ist ${\displaystyle a\in A}$, so ist das Spektrum ${\displaystyle \sigma (a)}$ nicht-leer (siehe Satz von Gelfand-Mazur). Sei weiter ${\displaystyle f:U\rightarrow {\mathbb {C} }}$ eine in einer offenen Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle \sigma (a)}$ definierte holomorphe Funktion. Zwar lässt sich ${\displaystyle a}$ nicht direkt in ${\displaystyle f}$ einsetzen, aber die cauchysche Integralformel liefert eine Darstellung der Funktionswerte von ${\displaystyle f}$, bei der eine solche Einsetzung dennoch durchgeführt werden kann.

Der rot dargestellte Zyklus schließt das blau dargestellte Spektrum ein.

Es gibt einen Zyklus ${\displaystyle \Gamma =\gamma _{1}+\ldots +\gamma _{n}}$ einfach geschlossener Wege, die ganz in ${\displaystyle U}$ verlaufen und das Spektrum einschließen. Die cauchysche Integralformel lautet ${\displaystyle \textstyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}d\zeta }$ für Punkte ${\displaystyle z}$ innerhalb von ${\displaystyle \Gamma }$, und darin kann man tatsächlich das Banachalgebren-Element einsetzen. Man kann zeigen, dass das Integral

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(\zeta )(\zeta e-a)^{-1}d\zeta }$

im Sinne der Normtopologie konvergiert. Da ${\displaystyle \Gamma \cap \sigma (a)=\emptyset }$, ist der Ausdruck ${\displaystyle (\zeta e-a)^{-1}}$ im Integranden definiert und ${\displaystyle \zeta \mapsto f(\zeta )(\zeta e-a)^{-1}}$ ist eine stetige Funktion ${\displaystyle \Gamma \to A}$. Weiter kann man zeigen, dass dieser Wert nicht von der speziellen Wahl von ${\displaystyle \Gamma }$ abhängt. Daher bezeichnet man den Wert dieses Integrals in suggestiver Schreibweise mit ${\displaystyle f(a)}$.

Für ein Kompaktum ${\displaystyle K}$ sei ${\displaystyle {\mathcal {H}}(K)}$ die Menge der in einer Umgebung von ${\displaystyle K}$ definierten holomorphen Funktionen. Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ zwei solche Funktionen, so kann man ${\displaystyle f\,+\,g}$ und ${\displaystyle f\cdot g}$ auf dem Durchschnitt der Definitionsbereiche von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ erklären. Damit wird ${\displaystyle {\mathcal {H}}(K)}$ zu einer ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$-Algebra. Mit obigen Definitionen erhalten wir damit eine Abbildung ${\displaystyle \Phi _{a}:{\mathcal {H}}(\sigma (a))\rightarrow A,\,\,f\mapsto f(a)}$. Diese Abbildung heißt der holomorphe Funktionalkalkül von a.

Die Forderung, dass ${\displaystyle A}$ ein Einselement hat, ist keine wesentliche Einschränkung, denn man kann nötigenfalls ein Einselement adjungieren und den Funktionalkalkül in der vergrößerten Banachalgebra anwenden.

Der holomorphe Funktionalkalkül ${\displaystyle \Phi _{a}}$ zu einem Element ${\displaystyle a\in A}$ hat folgende Eigenschaften.

• ${\displaystyle \Phi _{a}:{\mathcal {H}}(\sigma (a))\rightarrow A}$ ist ein Homomorphismus, d. h. es gelten die Formeln ${\displaystyle (f+g)(a)\,=\,f(a)+g(a)}$, ${\displaystyle (f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)}$.
• Hat ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}(\sigma (a))}$ in einer Umgebung des Spektrums eine Potenzreihendarstellung ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}z^{n}}$, so gilt ${\displaystyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}a^{n}}$ als absolut konvergente Reihe in ${\displaystyle A}$.
• Ist ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}(\sigma (a))}$ und ${\displaystyle g\in {\mathcal {H}}(\sigma (f(a)))}$, so gilt ${\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}$.
• Es gilt der spektrale Abbildungssatz: ${\displaystyle \sigma (f(a))\,=\,f(\sigma (a))}$ für alle ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}(\sigma (a))}$.

Man kann sich also vorstellen, die Banachalgebren-Elemente tatsächlich in holomorphe Funktionen einzusetzen; die naheliegenden algebraischen Operationen verhalten sich wie erwartet.

Als eine typische Anwendung des holomorphen Funktionalkalküls beweisen wir folgenden Satz:

Für eine ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra ${\displaystyle A}$ mit Einselement ${\displaystyle e}$ sind äquivalent:

• ${\displaystyle A}$ besitzt Projektionen ${\displaystyle p}$ mit ${\displaystyle 0\not =p\not =e}$.
• ${\displaystyle A}$ besitzt Elemente mit unzusammenhängendem Spektrum.

Da ${\displaystyle \sigma (p)=\{0,1\}}$ für eine Projektion ${\displaystyle p}$ mit ${\displaystyle 0\not =p\not =e}$ offensichtlich unzusammenhängend ist, muss nur gezeigt werden, dass es eine von 0 und ${\displaystyle e}$ verschiedene Projektion gibt, wenn ein ${\displaystyle a\in A}$ unzusammenhängendes Spektrum hat. Da ${\displaystyle \sigma (a)}$ unzusammenhängend ist, gibt es offene Mengen ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$, so dass ${\displaystyle U\cap \sigma (a)\not =\emptyset }$, ${\displaystyle V\cap \sigma (a)\not =\emptyset }$, ${\displaystyle \sigma (a)\subset U\cup V}$ und ${\displaystyle U\cap V=\emptyset }$. Die Funktion ${\displaystyle f}$, die auf ${\displaystyle U}$ gleich 1 und auf ${\displaystyle V}$ gleich 0 ist, ist als lokal konstante Funktion holomorph, also ein Element aus ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\sigma (a))}$. Dann gilt nach dem spektralen Abbildungssatz ${\displaystyle \sigma (f(a))=f(\sigma (a))=\{0,1\}}$ und daher ${\displaystyle 0\not =f(a)\not =e}$. Da ${\displaystyle f=f\cdot f}$ folgt ${\displaystyle f(a)=(f\cdot f)(a)=f(a)\cdot f(a)}$. Daher ist ${\displaystyle f(a)}$ eine Projektion der gesuchten Art.

Diese Aussage kann zum schilowschen Idempotentensatz verschärft werden, was den tiefer liegenden holomorphen Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher erfordert.

• F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, Ch. 1, §7: "A Functional Calculus for a Single Banach Algebra Element"
• J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983, ISBN 0-12-393301-3
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I (Springer 1979, 2002)