Hilberts Satz 90

Es sei ${\displaystyle L/K}$ eine zyklische Galoiserweiterung und ${\displaystyle \sigma }$ ein Erzeuger der zugehörigen Galoisgruppe. Dann ist jedes ${\displaystyle y\in L^{\times }}$ mit Norm ${\displaystyle N_{L/K}(y)=1}$ von der Form

${\displaystyle y={\frac {\sigma x}{x}}}$

mit einem geeigneten ${\displaystyle x\in L^{\times }}$.

${\displaystyle E}$ ist ein Körper, ${\displaystyle E/F}$ eine galoissche Körpererweiterung und ${\displaystyle G={\text{Gal}}(E/F)}$. Dann folgt für die Galoiskohomologie:

${\displaystyle H^{1}(G,E^{\times })=0}$

Es sei ${\displaystyle X}$ ein Schema. Dann ist

${\displaystyle \mathrm {H} _{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{1}(X,\mathbb {G} _{\mathrm {m} })=\mathrm {Pic} \,X.}$

Anders ausgedrückt: Jedes étale-lokal triviale Geradenbündel ist bereits ein Zariski-Geradenbündel.

Die ursprüngliche Fassung verallgemeinert sich in der motivischen Kohomologie zur Exaktheit von

${\displaystyle \mathrm {H} ^{1}(Y,\mathbb {G} _{\mathrm {m} })\to ^{1-\sigma }H^{1}(Y,\mathbb {G} _{\mathrm {m} })\to ^{N_{X/Y}}H^{1}(X,\mathbb {G} _{\mathrm {m} })}$

für zyklische Galoisüberlagerungen ${\displaystyle Y/X}$ mit Erzeuger ${\displaystyle \sigma }$. Für das Spektrum eines Körpers erhält man die ursprüngliche Fassung zurück.

• David Hilbert: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. (PDF; 90 MB). In: Zahlbericht. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 4, S. 175–546, 1897, siehe S. 272.

1. Franz Lemmermeyer (2018): 120 Jahre Hilberts Zahlbericht. (PDF; 541 kB). Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 120 (1), 41–79, siehe S. 10.