Higman-Sims-Gruppe

Der Blockplan ${\displaystyle S(22,6,3)}$ besteht aus 22 Punkten und 77 Blöcken. Sei ${\displaystyle M^{0}}$ die Menge der Punkte und ${\displaystyle M^{1}}$ die Menge der Blöcke. Der Higman-Sims-Graph ist der Graph ${\displaystyle \Gamma }$ mit Knoten ${\displaystyle \left\{*\right\}\cup M^{0}\cup M^{1}}$, wobei

• ${\displaystyle *}$ mit jedem Element aus ${\displaystyle M^{0}}$ durch eine Kante verbunden ist,
• ${\displaystyle m\in M^{0}}$ mit ${\displaystyle b\in M^{1}}$ genau dann durch eine Kante verbunden ist, wenn ${\displaystyle m\in b}$,
• ${\displaystyle b_{1},b_{2}\in M^{1}}$ genau dann durch eine Kante verbunden sind, wenn ${\displaystyle b_{1}\cap b_{2}=\emptyset }$,

und es keine weiteren Kanten gibt. Der Higman-Sims-Graph hat also 100 Knoten und 1100 Kanten.

Die Higman-Sims-Gruppe ${\displaystyle HS:=Aut^{+}(\Gamma )}$ ist definiert als Gruppe derjenigen Graphautomorphismen von ${\displaystyle \Gamma }$, die eine gerade Permutation der Knoten von ${\displaystyle \Gamma }$ induzieren.

Der Stabilisator von ${\displaystyle *}$ ist isomorph zur Mathieu-Gruppe ${\displaystyle M_{22}}$.

• Oleg Bogopolski: Introduction to Group Theory. EMS Textbooks in Mathematics. Zürich: European Mathematical Society 2008, ISBN 978-3-03719-041-8/hbk