Hickssche Nachfragefunktion

Man geht zunächst von einem Ausgabenminimierungsproblem aus, das durch

${\displaystyle \min _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}$ unter der Nebenbedingung ${\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq {\overline {u}}}$

gegeben ist, wobei ${\displaystyle u(\cdot )}$ stetig, streng monoton steigend, differenzierbar und strikt quasikonkav sei. ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ist der Vektor der nachgefragten Gütermengen und ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ldots ,p_{n})}$ der dazugehörige Preisvektor.

Im genannten Problem werden die Gesamtausgaben für die ${\displaystyle n}$ Güter aus dem Warenkorb minimiert, wobei aber ein gewisses Nutzenniveau gewahrt werden soll. Die Lösung eines solchen Ausgabenminimierungsproblems ist bestimmungsgemäß eine Funktion ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$, die anzeigt, welche Menge von den jeweiligen Gütern nachgefragt werden sollte, um das gegebene Nutzenniveau möglichst kostengünstig zu erzielen. Es ist folglich ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ eine Funktion des Preisvektors ${\displaystyle \mathbf {p} }$ und des festgelegten Nutzenniveaus ${\displaystyle {\overline {u}}}$.

Man bezeichnet das so gegebene ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ als Hicks’sche Nachfrage und vereinbart ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})\equiv \mathbf {x} ^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}$.

Das Ausgabenproblem reduziert sich im klassischen Zwei-Güter-Fall zu

${\displaystyle \min _{x_{1},x_{2}}p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}$ unter der Nebenbedingung ${\displaystyle u(x_{1},x_{2})\geq {\overline {u}}}$.

Minimiert werden also die Gesamtausgaben für die beiden Güter ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ mit ihren jeweiligen Preisen ${\displaystyle p_{1}}$ bzw. ${\displaystyle p_{2}}$. Die Lösung des Minimierungsproblems sind zwei Funktionen ${\displaystyle x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},{\overline {u}})}$ und ${\displaystyle x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},{\overline {u}})}$, die in Abhängigkeit von den Güterpreisen (aller Güter!) sowie dem mindestens gewünschten Nutzenniveau anzeigen, wie viel optimalerweise von Gut 1 bzw. Gut 2 konsumiert werden soll. Diese Funktionen bezeichnet man als Hicks’sche Nachfragen und schreibt ${\displaystyle x_{1}^{h}}$ bzw. ${\displaystyle x_{2}^{h}}$.

Im Beispiel betrage der Preis von Gut 1 ${\displaystyle p_{1}}$ und derjenige von Gut 2 ${\displaystyle p_{2}}$. Der Konsument beziehe seinen Nutzen ausschließlich aus diesen beiden Gütern. Seine Nutzenfunktion lautet ${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}^{2}}$. Wir formulieren das nun folgende Optimierungsproblem zur Vereinfachung mit Gleichheitsrestriktion (${\displaystyle u(x_{1},x_{2})={\overline {u}}}$), was durch die Eigenschaften der Nutzenfunktion gerechtfertigt ist. Das Minimierungsproblem lautet:

${\displaystyle \min _{x_{1},x_{2}}p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}$ unter der Nebenbedingung ${\displaystyle x_{1}x_{2}^{2}={\overline {u}}}$

Die korrespondierende Lagrange-Funktion lautet ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\lambda )=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\lambda ({\overline {u}}-x_{1}x_{2}^{2})}$. Die Optimalitätsbedingungen lauten

1. ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial x_{1}=p_{1}-\lambda ^{*}\left(x_{2}^{*}\right)^{2}=0}$
2. ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial x_{2}=p_{2}-2\lambda ^{*}x_{1}^{*}x_{2}^{*}=0}$ und
3. ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial \lambda ={\overline {u}}-x_{1}^{*}\left(x_{2}^{*}\right)^{2}=0}$

Aus (1) und (2) folgt ${\displaystyle x_{1}^{*}=x_{2}^{*}(p_{2}/2p_{1})}$ bzw. ${\displaystyle x_{2}^{*}=2x_{1}^{*}(p_{1}/p_{2})}$, eingesetzt in (3) folgen schließlich die Hicks’schen Nachfragen

${\displaystyle x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},{\overline {u}})={\sqrt[{3}]{{\overline {u}}(p_{2}/2p_{1})^{2}}}}$ und

${\displaystyle x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},{\overline {u}})={\sqrt[{3}]{2{\overline {u}}(p_{1}/p_{2})}}}$.

Beachte, dass die Hicks’schen Nachfragen nach den beiden Gütern identisch sind, wenn der Preis von Gut 2 gerade doppelt so hoch wie der von Gut 1 ist.