Heyting-Arithmetik

Die Heyting-Arithmetik übernimmt die Axiome der Peano-Arithmetik (PA), verwendet aber intuitionistische Logik als Inferenzregeln, insbesondere gilt der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht allgemein, wenn auch das Induktionsaxiom für viele konkrete Instanzen sorgt. Beispielsweise kann man beweisen, dass ${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {N} \colon x=y\vee x\neq y}$ ein Satz ist (zwei natürliche Zahlen sind gleich oder ungleich). Weil ${\displaystyle =}$ das einzige Prädikatensymbol in der Heyting-Arithmetik ist, folgt für jede quantorfreie Formel ${\displaystyle \varphi }$: ${\displaystyle \forall x,y,z,\dots \in \mathbb {N} \colon \varphi \vee \neg \varphi }$ ist beweisbar, wobei ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ … die freien Variablen in ${\displaystyle \varphi }$ sind.

Kurt Gödel studierte die Beziehungen zwischen Heyting-Arithmetik und Peano-Arithmetik. Er verwendete die Gödel-Gentzen-Übersetzung, um 1933 zu beweisen, dass wenn HA konsistent ist, so auch PA.

Die Heyting-Arithmetik sollte nicht mit Heyting-Algebren verwechselt werden, die das intuitionistische Analogon zu Booleschen Algebren sind.

• Harrop-Formel
• BHK-Interpretation
• Realisierbarkeit (Logik)

• Ulrich Kohlenbach: Applied proof theory. Springer, 2008.
• Anne S. Troelstra (Hrsg.): Metamathematical investigation of intuitionistic arithmetic and analysis. Springer, 1973.

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Intuitionistic Number Theory von Joan Moschovakis.
• Fragments of Heyting Arithmetic von Wolfgang Burr