Hexatische Phase

Dislokationspaare zerstören die diskrete Translationsordnung (Verschiebung entlang der roten Pfeile), es lässt sich aber noch eine Orientierungsordnung erkennen, die in einer Richtung durch die schwarzen Linien angedeutet ist (oben). Erst Disklinationen zerstören zusätzlich die Orientierungsordnung (unten).

Kennt man die Positionen der Atome oder Partikel, so lässt sich die Translationsordnung messen mit der Translationskorrelationsfunktion ${\displaystyle G_{\vec {G}}({\vec {R}})}$ als Funktion des Abstandes zwischen dem Gitterplatz am Orte ${\displaystyle {\vec {R}}}$ und dem Ort ${\displaystyle {\vec {0}}}$, basierend auf der zweidimensionalen Dichtefunktion ${\displaystyle \rho _{\vec {G}}({\vec {R}})=e^{i{\vec {G}}\cdot [{\vec {R}}+{\vec {u}}({\vec {R}})]}}$ im reziproken Raum:

${\displaystyle G_{\vec {G}}({\vec {R}})=\langle \rho _{\vec {G}}({\vec {R}})\cdot \rho _{\vec {G}}^{\ast }({\vec {0}})\rangle }$

Der Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {R}}}$ zeigt hier auf einen Gitterplatz im Kristall, um den das Atom mit der Auslenkung ${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {R}})}$ thermisch fluktuieren kann, ${\displaystyle {\vec {G}}}$ ist ein reziproker Gittervektor in der Fourierdarstellung. Die spitzen Klammern deuten die statistische Mittelung über alle Teilchenpaare im Abstand R an (vgl. Korrelationsfunktion).

In der hexatischen Phase fällt die Translationskorrelationfunktion schnell, d. h. exponentiell ab.

Im (zweidimensionalen) Kristall dagegen ist die Translationsordnung quasi-langreichweitig, die Korrelationsfunktion zerfällt langsamer, d. h. algebraisch; sie ist allerdings nicht wie in drei Dimensionen perfekt langreichweitig, da die Auslenkungen ${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {R}})}$ aufgrund des Mermin-Wagner-Theorems bei Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunktes logarithmisch über alle Grenzen anwachsen (divergieren).

Nachteil der Translationskorrelationsfunktion ist, dass sie streng genommen nur im Kristall definiert ist: spätestens in der isotropen Flüssigkeit, wenn Disklinationen vorhanden sind, lässt sich der reziproke Gittervektor nicht mehr bestimmen.

Die j nächsten Nachbarteilchen bestimmen das sechszählige Richtungsfeld des i-ten Teilchens

Die Orientierungskorrelation des lokalen Richtungsfeldes als Funktion des Abstandes für den Kristall (blau), die hexatische Phase (grün) und die isotrop flüssige Phase (rot).

Die Orientierungsordnung bzw. das Direktorfeld ${\displaystyle \Psi }$ lässt sich aus dem lokalen Richtungsfeld für ein Teilchen am Ort ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ bestimmen, indem man die Winkel ${\displaystyle \theta _{ij}}$ der Verbindungsachsen zu den ${\displaystyle N_{j}}$ nächsten Nachbarn im sechszähligen Raum aufsummiert und mit der Anzahl ${\displaystyle N_{j}}$ der (im Mittel sechs) Nachbarn normiert:

${\displaystyle \Psi ({\vec {r}}_{i})={\frac {1}{N_{j}}}\sum _{j=1}^{N_{j}}e^{i6\theta _{ij}}}$

${\displaystyle \Psi }$ ist eine komplexe Zahl vom Betrag ${\displaystyle |\Psi ({\vec {r}})|\leq 1}$, die Phase ${\displaystyle \theta _{ij}}$ gibt die Richtung des sechszähligen Direktorfeldes an; für einen hexagonalen Kristall sind dies die Richtungen der Kristallachsen. Für ein Teilchen mit fünf oder sieben nächsten Nachbarn, wie bei Dislokationen und Disklinationen, verschwindet das lokale Direktorfeld: ${\displaystyle \Psi \sim 0}$, bis auf einen sehr kleinen Beitrag aufgrund von thermischen Fluktuationen.

Aus dem Direktorfeld ${\displaystyle \Psi }$ lässt sich für zwei Teilchen i und k im Abstand ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{k}}$ die Orientierungskorrelationsfunktion bestimmen:

${\displaystyle G_{6}({\vec {r}})=\langle \Psi ({\vec {r}}_{i})\cdot \Psi ^{\ast }({\vec {r}}_{k})\rangle }$

Die spitzen Klammern deuten wieder die statistische Mittelung über alle Teilchenpaare an.

Mit der Orientierungskorrelationsfunktion lassen sich alle drei o. g. Phasen identifizieren:

• Im Kristall zerfällt die Korrelationsfunktion nicht, sondern nähert sich einem konstanten Wert (blau in der doppeltlogarithmischen Abb.): Die Torsionssteifigkeit ist beliebig groß, d. h. die Frankkonstante ist unendlich.
• In der hexatischen Phase zerfällt die Orientierungskorrelationsfunktion nach einem Potenzgesetz (algebraisch), in der doppeltlogarithmischen Darstellung gibt dies gerade Linien (grün in der Abbildung dargestellt).
• In der isotropen Flüssigkeit zerfällt die Korrelation exponentiell, dies gibt gekrümmte Kurven im log-log Diagramm (rot in der Abb. bzw. Geraden im lin-log Diagramm).

Alle Kurven sind überlagert von der diskreten Struktur der Atome bzw. der Partikel, zu sehen an den Minima bei halbzahligen mittleren Teilchenabständen ${\displaystyle r}$. Teilchen, die in den Positionen schlecht korreliert sind, sind auch im lokalen Richtungsfeld schlecht korreliert.