Hexaeder

Hexaeder [hɛksaˈeːdər], von griech. ἑξάεδρον hexáedron, „Sechsflächner“, bezeichnet allgemein ein Polyeder mit sechs ebenen Begrenzungsflächen. Dabei handelt es sich im Allgemeinen nicht um einen regulären platonischen Vielflächner, sondern einen beliebigen von sechs ebenen Flächen begrenzten Körper. Im Speziellen, insbesondere im Zusammenhang mit platonischen Körpern, handelt es sich um das regelmäßige Hexaeder bzw. den Würfel mit den 6 kongruenten Flächen.

Graphentheoretische Betrachtungen

Unterscheidet man nach der Struktur (genauer: nach dem zugrundeliegenden Kantengraphen, so dass z. B. ein Parallelepiped und ein Pyramidenstumpf mit vierseitiger Grundfläche nicht von einem Würfel zu unterscheiden, dagegen all diese hingegen von einer Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche), so gibt es nur sieben graphentheoretisch verschiedene Typen konvexer Hexaeder[1]:
Flächen: 4, 4, 4, 4, 4, 4
Kanten: 12,  Ecken: 8		 Flächen: 5,  3, 3, 3, 3, 3
Kanten: 10,  Ecken: 6		 Flächen: 5,  4, 4,  3, 3, 3
Kanten: 11,  Ecken: 7		 Flächen: 5, 5,  4, 4,  3, 3
Kanten: 12,  Ecken: 8
Würfel, Quader, Parallelepiped, Rhomboeder, Trigonales Trapezo­eder, Pyramiden­stumpf mit vier­eckiger Grund- und Deckfläche Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche
Flächen: 3, 3, 3, 3, 3, 3
Kanten: 9,  Ecken: 5		 Flächen: 4, 4, 4, 4,  3, 3
Kanten: 11,  Ecken: 7		 Flächen: 4, 4,  3, 3, 3, 3
Kanten: 10,  Ecken: 6
Doppeltetraeder Dieser Körper weist Chiralität auf:
Es gibt eine „linkshändige“ und eine „rechtshändige“ Variante,
die durch Ebenenspiegelung auseinander hervorgehen.

Betrachtet man auch nichtkonvexe Hexaeder, so kommen noch die folgenden drei Typen mit „Auskerbung“ dazu:
Flächen: 4, 4,  3, 3, 3, 3
Kanten: 10,  Ecken: 6		 Flächen: 5, 5,  3, 3, 3, 3
Kanten: 11,  Ecken: 7		 Flächen: 6, 6,  3, 3, 3, 3
Kanten: 12,  Ecken: 8

Würfel-Typ

Vom Würfel-Typ (6 Flächen, 12 Kanten, 8 Ecken) gibt es folgende Formen:

Grafik
Name Würfel Quader Trigonal trapezohedron Trigonal trapezohedron Quadrilateral Kegelstumpf Parallelepiped Rhombohedron
Flächen Quadrat drei Paare von
Rechtecken		 kongruente Rhomben kongruente Vierecke quadratischer
Pyramidenstumpf		 drei Paare von
Parallelogrammen		 drei Paare von
Rhomben
Symmetrien Oh, [4,3], (*432)
order 48
(8 Spiegelungen,
3! Achspermutationen)		 D2h, [2,2], (*222)
order 8
(8 Spiegelungen,
wenn alle Achsen unterschiedlich lang)		 D3d, [2+,6], (2*3)
order 12		 D3, [2,3]+, (223)
order 6		 C4v, [4], (*44)
order 8		 Ci, [2+,2+], (×)
order 2

Hexaeder in der Chemie
  • Eine organische Verbindung, die wie ein Würfel aufgebaut ist, ist das nach dem englischen Cube (englisch für Würfel) benannte Cuban.
  • Kubische Kristallsysteme kommen bei der Beschreibung des geometrischen Aufbaus von Kristallen vor, wie zum Beispiel beim Kochsalz (Natriumchlorid-Struktur).

Siehe auch

Literatur
  • Beweis zur Existenz von genau sieben konvexen Hexaedern: Anatole Beck, Michael Bleicher, Donald Crowe: Excursions into Mathematics. 1969, S. 29–30.
Commons: Hexaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Hexaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise
  1. Martin Gardner: Denkspiele von anderen Planeten. Hugendubel, München 1986, ISBN 3-88034-295-4, S. 134.
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