Hexadezimalsystem

Bei hexadezimal handelt es sich um eine Mischung eines griechischen und eines lateinischen Wortpartikels. Zwar könnte die 16 ohne Rückgriff auf die jeweils andere Sprache ausgedrückt werden (sedezimal von lat. sedecim bzw. hexadekadisch vom Griechischen), diese Bezeichnungen sind jedoch höchstens akademisch und haben keine Verbreitung gefunden.

Hexadezimal ist zu unterscheiden vom Wort hexagesimal, das synonym zu sexagesimal ist und das Zahlensystem zur Basis 60 bezeichnet.

Um hexadezimale von dezimalen Zahlen unterscheiden zu können, existieren mehrere Schreibweisen. Üblicherweise werden hexadezimale Zahlen mit einem Index oder Präfix versehen.

Verbreitete Schreibweisen sind: 72₁₆, 72_hex, 72h, 72H, 72_H, 0x72, $72, "72 und X'72', wobei das Präfix 0x und das Suffix h insbesondere in der Programmierung und technischen Informatik Verwendung finden. Das Anhängen eines h an die Hex-Zahl ist auch als Intel-Konvention geläufig. Die Schreibweise mit dem Dollar-Präfix ist in Assemblersprachen bestimmter Prozessorfamilien üblich, insbesondere bei Motorola, zum Beispiel beim Motorola 68xx und 68xxx, aber auch beim MOS 65xx; die Schreibweise X'72' ist in der Welt der IBM-Großrechner üblich, wie in REXX.

Der Übersicht dienende Trennpunkte können bei Hexadezimalzahlen alle vier Stellen gesetzt werden, trennen also Gruppen von jeweils sechzehn Bit. Die Bedeutung der 1.0000₁₆ = 65.536₁₀ unter den hexadezimalen Zahlen entspricht also jener der 1.000₁₀ unter den dezimalen Zahlen.

Zum Vergleich ein voller Vierundsechzig-Bit-Bus mit und ohne Trennpunkte: FFFF.FFFF.FFFF.FFFF und FFFFFFFFFFFFFFFF

Dezimale Zahlen werden, wo sie nicht der zu erwartende Normalfall sind, indiziert: 114₁₀

Gezählt wird wie folgt:

Für die hexadezimalen Ziffern und Zahlen sind keine eigenständigen Namen gebräuchlich. Hexadezimalzahlen werden daher meist Ziffer für Ziffer gelesen.

Beispiele:

• 10 sprich: „eins-null“ (nicht: „zehn“),
• 1E sprich: „eins-E“,
• F112 sprich: „F-eins-eins-zwei“.

Analog lässt sich jedoch auch die Zählweise des Dezimalsystems verwenden, ohne dass der Einsatz des Hexadezimalsystems bei jeder Zahl gehört werden kann und sich dann zum Beispiel aus dem Kontext ergeben muss. Da es allerdings zu Verwechslungen mit Dezimalzahlen kommen kann, wird dies seltener angewendet.

Beispiele:

• 10 sprich: „zehn“,
• 1E sprich: „E-zehn“,
• BD sprich: „D-und-B-zig“,
• F2A sprich: „F-hundert-A-undzwanzig“,
• F112 sprich: „F-tausendeinhundertzwölf“.

Beispiel: 2 · 5 = A

Von der Spalte mit dem Wert 2 vertikal hinunter gehen bis Schnittpunkt der Zeile mit Wert 5 → Ergebnis: A

Da das Hexadezimalsystem ein Stellenwertsystem ist, haben die Stellen nach dem Komma (das auch hier manchmal als Punkt geschrieben wird) den Stellenwert ${\displaystyle 1 \over B^{n}}$, wobei ${\displaystyle B}$ die dezimale Basis 16 und ${\displaystyle n}$ die Position der jeweiligen Nachkommastelle ist. Die erste Nachkommastelle (${\displaystyle n=1}$) hat damit den Stellenwert ${\displaystyle {1 \over 16^{1}}={1 \over 16}}$, die zweite Nachkommastelle (${\displaystyle n=2}$) hat den Stellenwert ${\displaystyle {1 \over 16^{2}}={1 \over 256}}$, die dritte Nachkommastelle (${\displaystyle n=3}$) hat den Wert ${\displaystyle {1 \over 16^{3}}={1 \over 4096}}$ und so weiter.

Da die Zahl 16 nur über den einzigen Primfaktor 2 verfügt, ergibt sich bei allen gekürzten Brüchen, deren Nenner keine Zweierpotenz ist, eine periodische Kommadarstellung im Hexadezimalsystem:

${\displaystyle 1 \over 1}$ = 1	${\displaystyle 1 \over 5}$ = 0,316	${\displaystyle 1 \over 9}$ = 0,1C716	${\displaystyle 1 \over \mathrm {D} _{16}}$ = 0,13B16
${\displaystyle 1 \over 2}$ = 0,816	${\displaystyle 1 \over 6}$ = 0,2A16	${\displaystyle 1 \over \mathrm {A} _{16}}$ = 0,1916	${\displaystyle 1 \over \mathrm {E} _{16}}$ = 0,124916
${\displaystyle 1 \over 3}$ = 0,516	${\displaystyle 1 \over 7}$ = 0,24916	${\displaystyle 1 \over \mathrm {B} _{16}}$ = 0,1745D16	${\displaystyle 1 \over \mathrm {F} _{16}}$ = 0,116
${\displaystyle 1 \over 4}$ = 0,416	${\displaystyle 1 \over 8}$ = 0,216	${\displaystyle 1 \over \mathrm {C} _{16}}$ = 0,1516	${\displaystyle 1 \over 10_{16}}$ = 0,116

Negative Zahlen lassen sich ebenfalls darstellen. Dazu wird in den meisten Fällen die Zweierkomplement-Darstellung verwendet. Durch ihre Auslegung braucht an den Mechanismen für Rechnungen in den Grundrechenarten keine Änderung vorgenommen zu werden.

Der programmierbare UPN-Taschenrechner HP-16C Computer Scientist von 1982 war speziell für Programmierer konzipiert. Eines der Hauptmarkmale war das Rechnen in und die Umrechnung zwischen verschiedenen Zahlensystemen (siehe Hex-Zahl in der Anzeige), was später von vielen Herstellern in höherwertige Taschenrechner integriert wurde.

Viele Taschenrechner, aber auch die genauso genannten Hilfsprogramme auf Personal Computern, bieten Umrechnungen zum Zahlbasiswechsel an. Insbesondere rechnen die Windows- und macOS-Programme „Rechner“ Binär-, Hexadezimal- und Oktalzahlen in Dezimale und zurück, wenn man unter „Ansicht“ (Windows) bzw. „Darstellung“ (macOS) den Menüpunkt „Programmierer“ auswählt. In vielen Linux-Distributionen ist ein Taschenrechner-Hilfsprogramm vorinstalliert, das eine solche „Programmierer-Option“ beinhaltet, oder man kann in der Kommandozeile die Anweisung printf (als eingebauten bash-Befehl oder gesondertes Hilfsprogramm) dafür benutzen.

1278 : 16 = 79 Rest: 14 (= E) (Nr:1278-(79*16)=14)
  79 : 16 =  4 Rest: 15 (= F) (Nr:79-(4*16)=15)
   4 : 16 =  0 Rest:  4       (Nr:4-(0*16)=4)

Formuliert im Dezimalsystem:

${\displaystyle h_{m}h_{m-1}\cdots h_{0},h_{-1}h_{-2}\cdots h_{-n}=\sum _{i=-n}^{m}h_{i}\cdot {(16_{10})}^{i}\qquad m,n\in \mathbb {N} \quad h_{i}\in \{0;1;\cdots ;15\}}$

Formuliert im Hexadezimalsystem:

${\displaystyle h_{m}h_{m-1}\cdots h_{0},h_{-1}h_{-2}\cdots h_{-n}=\sum _{i=-n}^{m}h_{i}\cdot {(10_{16})}^{i}\qquad m,n\in \mathbb {N} \quad h_{i}\in \{0;1;\cdots ;9;A;\cdots ;F\}}$

Wie auch das altbabylonische Sexagesimalsystem lässt sich auch das Hexadezimalsystem mit den Fingern abzählen. Mithilfe der folgenden Technik wird mit beiden Händen zusammen ein Byte dargestellt. Jede Hand repräsentiert dabei ein Nibble. Dessen oberes Crumb (Hälfte des Nibbles) zeigt sich am benutzten Finger, sein unteres Crumb dagegen am bezeigten Gelenk bzw. der Fingerspitze. Ein Bitflip ist durch Punktspiegelung der Daumenposition am Mittelpunkt der Fingerfläche herbeiführbar.

Einhändiges Zählen von Null bis F₁₆

OK-Zeichen

Benutzt man, wie schon die alten Babylonier, den Daumen als Zeiger, legt ihn an die Spitze des Zeigefingers wie beim OK-Zeichen der Taucher und definiert dieses Zeichen als die Null, lässt sich am oberen Gelenk des Zeigefingers die Eins festlegen, gefolgt von der Zwei am mittleren und schließlich der Drei am unteren Gelenk. Genauso fortgesetzt über die Vier an der Spitze des Mittelfingers, der Acht an der Spitze des Ringfingers und der Zwölf an der des kleinen. Damit lässt sich dann bis 15 = F₁₆ zählen, wenn der Daumen das untere Gelenk des kleinen Fingers erreicht hat, da wo er angewachsen ist.

Die beiden Crumbs des Nibbles werden dabei orthogonal auf der Hand abgebildet, sodass die unteren beiden Bits an der Höhe des Daumens am jeweiligen Finger und die beiden oberen am benutzen Finger abgelesen werden können. Das heißt, sowohl ein Daumen an der Fingerspitze, als auch am Zeigefinger steht für 00₂ im jeweiligen Crumb. Das obere Gelenk sowie der Mittelfinger stehen für 01₂, das mittlere Gelenk und der Ringfinger für 10₂ und das untere Gelenk und der kleine Finger bedeuten 11₂. Somit müssen sich nur noch vier Kombinationen gemerkt werden, um mit der Hand zwischen Hexadezimal- und Binärsystem zu konvertieren, anstelle von 16.

Ein Bitflip ist durch Punktspiegelung der Position des Daumens am Schnittpunkt der gedachten Achsen zwischen Ring- und Mittelfinger sowie der oberen und mittleren Gelenkreihe einfach zu erzielen. Ein Beispiel ist am Ende der folgenden Tabelle gegeben.

Beispiel zur Umwandlung zwischen Hex und Binär sowie von Bitflips mithilfe der Hand

Ganzes Nibble	Oberes Crumb	Finger	Unteres Crumb	Position des Daumens am Finger
016 = (00 00)2	002	Zeigefinger	002	Spitze, OK-Zeichen
116 = (00 01)2	002	Zeigefinger	012	Oberes Gelenk
216 = (00 10)2	002	Zeigefinger	102	Mittleres Gelenk
316 = (00 11)2	002	Zeigefinger	112	Unteres Gelenk
416 = (01 00)2	012	Mittelfinger	002	Spitze
816 = (10 00)2	102	Ringfinger	002	Spitze
C16 = (11 00)2	112	kleiner Finger	002	Spitze
Bitflip von 216 durch Punktspiegelung am Schnittpunkt der o. g. gedachten Achsen
D16 = (11 01)2	112	kleiner Finger	012	Oberes Gelenk

• Hexadezimale Farbdefinition – die Darstellung einer Farbe mit hexadezimaler Kodierung des Rot-, Grün- und Blauwertes
• Hex-Editor – ein Editor, um beliebige Dateien, die als Folge von Hexadezimalzahlen dargestellt werden, zu bearbeiten
• Hexadezimalzeit – ein 1863 vorgeschlagenes Uhrzeitformat, das sich nicht durchgesetzt hat
• Hexspeak – spezielle Begriffe, die sich durch Ziffern und die Buchstaben A–F darstellen lassen

Wiktionary: Hexadezimalsystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Online-Umrechner für verschiedene Zahlensysteme
• Zahlensysteme im Vergleich
• Historischer mechanischer Taschenrechner für das Hexadezimalsystem auf einestages

1. Umrechnen mit verschiedenen Basiswerten, abgerufen am 30. Oktober 2018