Heinrich August Rothe

Rothe wurde am 3. September 1773 in Dresden geboren und besuchte ab 1785 die Kreuzschule. Er immatrikulierte sich 1789 an der Universität Leipzig im Fach Rechtswissenschaften, wechselte jedoch bald zur Mathematik. 1792 erwarb er die Magisterwürde unter der Leitung von Carl Friedrich Hindenburg und wurde 1793 promoviert.[3] Im selben Jahr wurde er dort zum Dozenten und 1796 zum außerordentlichen Professor ernannt. 1800 wurde er zum korrespondierenden Mitglied der Göttinger Akademie der Wissenschaften gewählt.[4] 1804 ging er als ordentlicher Professor an die Universität Erlangen, wo er den Lehrstuhl von Karl Christian von Langsdorf übernahm. Im Jahr 1818 wurde er in die Deutsche Akademie der Naturforscher Leopoldina aufgenommen. Er ging 1823 im Alter von 50 Jahren in den Ruhestand und starb im Jahr 1842. Sein Lehrstuhl wurde von Johann Wilhelm Pfaff, dem jüngeren Bruder von Johann Friedrich Pfaff übernommen.[5][6][7]

In seiner Dissertation aus dem Jahr 1793 entwickelte er die Rothe-Hagen-Identität, eine Summenformel für Binomialkoeffizienten, die nach ihm und Johann Georg Hagen benannt wurde.[8] Die Arbeit enthält auch eine Formel zur Berechnung der Taylor-Reihe der Inversen einer Funktion aus der Taylor-Reihe der Funktion selbst, die mit dem Lagrangeschen Inversionssatz verwandt ist.[9]

Rothe-Diagramm der
Permutation (2,4,1,3,5)

	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \times }$	${\displaystyle \bullet }$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \times }$		${\displaystyle \times }$	${\displaystyle \bullet }$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \bullet }$
${\displaystyle 4}$			${\displaystyle \bullet }$
${\displaystyle 5}$					${\displaystyle \bullet }$

In seiner Arbeit zu Permutationen aus dem Jahr 1800 definierte Rothe erstmals die Inverse einer Permutation. Er entwickelte auch eine Technik zur Visualisierung von Permutationen, die heute als Rothe-Diagramm bekannt ist. Ein Rothe-Diagramm ist ein quadratisches Schema, das einen Punkt in einer Zelle ${\displaystyle (i,j)}$ aufweist, wenn die Permutation das Element ${\displaystyle i}$ auf das Element ${\displaystyle j}$ abbildet und ein Kreuz in jeder Zelle ${\displaystyle (i,j)}$, für die ein Punkt später in gleichen Zeile sowie ein weiterer Punkt später in der gleichen Spalte steht. Die Kreuze markieren dann die Fehlstände der Permutation. Nachdem das Rothe-Diagramm der inversen Permutation das transponierte Diagramm der Ausgangsposition ist, konnte er so zeigen, dass sich die Zahl der Fehlstände durch die Inversion nicht ändert. Damit konnte er weiter zeigen, dass die Determinante einer transponierten Matrix gleich der der Ausgangsmatrix ist. Wird nämlich die Determinante in ein Polynom entwickelt, entspricht jeder Term einer Permutation, wobei das Vorzeichen des Terms dem Vorzeichen der Permutation entspricht, welches wiederum über die Fehlstandszahl bestimmt werden kann. Nachdem jeder Term der Determinante der transponierten Matrix einem Term der Ausgangsmatrix mit der entsprechend inversen Permutation entspricht und sich die Fehlstandszahl dabei nicht verändert, müssen die beiden Determinanten gleich sein.[10]

Weiter betrachtete Rothe in dieser Arbeit erstmals selbstinverse Permutationen, also Permutationen, die gleich ihrer Inversen sind oder äquivalent dazu ein symmetrisches Rothe-Diagramm besitzen. Für die Anzahl dieser Permutationen fand er die Rekurrenz

${\displaystyle T(n)=T(n-1)+(n-1)T(n-2)}$,

deren Lösung die Folge

${\displaystyle 1,2,4,10,26,76,232,764,2620,9496,\ldots }$    (Folge A000085 in OEIS)

ist.[11] Diese Folge zählt auch die Anzahl der möglichen Young-Tableaus und die Anzahl der Matchings in einem vollständigen Graph. Rothe formulierte 1811 weiterhin die q-Binomialformel, eine Verallgemeinerung des Binomischen Lehrsatzes.[12][13]

• Formulae De Serierum Reversione Demonstratio Universalis Signis Localibus Combinatorio-Analyticorum Vicariis Exhibita: Dissertatio Academica, Leipzig 1793.
• Ueber Permutationen, in Beziehung auf die Stellen ihrer Elemente. Anwendung der daraus abgeleiteten Satze auf das Eliminationsproblem. In Carl Hindenburg (Hrsg.): Sammlung Combinatorisch-Analytischer Abhandlungen. Bey G. Fleischer dem jüngern, 1800, S. 263–305.
• Handbuch der reinen Mathematik / Systematisches Lehrbuch der Arithmetik. zwei Bände, Barth, Leipzig 1804 und 1811.
• Theorie der combinatorischen Integrale. Riegel und Wießner, Nürnberg 1820.

1. Bernd Bekemeier: Martin Ohm, 1792–1872: Universitäts- und Schulmathematik in der neuhumanistischen Bildungsreform (= Studien zur Wissenschafts-, Sozial- und Bildungsgeschichte der Mathematik. Band 4). Vandenhoeck & Ruprecht, 1987, ISBN 3-525-40311-9, S. 83.
2. Hans Niels Jahnke: Mathematik und Bildung in der Humboldtschen Reform (= Studien zur Wissenschafts-, Sozial- und Bildungsgeschichte der Mathematik. Band 8). Vandenhoeck & Ruprecht, 1990, ISBN 3-525-40315-1, S. 175.
3. Heinrich August Rothe im Mathematics Genealogy Project (englisch) Vorlage:MathGenealogyProject/Wartung/id verwendet
4. Holger Krahnke: Die Mitglieder der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen 1751–2001 (= Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Philologisch-Historische Klasse. Folge 3, Bd. 246 = Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Folge 3, Bd. 50). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2001, ISBN 3-525-82516-1, S. 206.
5. Karl Immanuel Gerhardt: Geschichte der Mathematik in Deutschland (= Geschichte der Wissenschaften in Deutschland: Neuere Zeit. Band 17). R. Oldenbourg, 1877, S. 204.
6. David E. Rowe: In search of Steiner's Ghosts: Imaginary elements in the nineteenth-century geometry. In: Dominique Flament (Hrsg.): Le Nombre: une Hydre à n visages, Entre nombres complexes et vecteurs. Fondation Maison des Sciences de l’Homme, 1997, S. 193–208.
7. Moritz Cantor: Rothe, Heinrich August. In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Band 29, Duncker & Humblot, Leipzig 1889, S. 349 f.
8. H. W. Gould: Some generalizations of Vandermonde's convolution. In: American Mathematical Monthly. Band 63, 1956, S. 84–91.
9. Ronald Calinger: Vita Mathematica: Historical Research and Integration With Teaching (= Mathematical Association of America Notes. Band 40). Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-88385-097-4, S. 146–147.
10. Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching. Addison-Wesley, Reading, Mass. 1973, S. 14–15.
11. Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching. Addison-Wesley, Reading, Mass. 1973, S. 48, 56.
12. D.M. Bressoud: Some identities for terminating q-series. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 89, Nr. 2, 1981, S. 211–223.
13. H.B. Benaoum: h-analogue of Newton's binomial formula. In: Journal of Physics A: Mathematical and General. Band 31, Nr. 46, S. L751–L754.