Heegaard-Zerlegung

Eine Heegaard-Zerlegung einer geschlossenen 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ besteht aus zwei Henkelkörpern ${\displaystyle H_{1}}$ und ${\displaystyle H_{2}}$ und einem Homöomorphismus ${\displaystyle f:\partial H_{1}\rightarrow \partial H_{2}}$, so dass ${\displaystyle M}$ aus ${\displaystyle H_{1}}$ und ${\displaystyle H_{2}}$ durch Verkleben mittels ${\displaystyle f}$ entsteht, d. h., man hat einen Homöomorphismus

${\displaystyle M\cong (H_{1}\cup H_{2})/{\sim }}$

für die durch

${\displaystyle x\sim y\Longleftrightarrow y=f(x),x\in \partial H_{1},y\in \partial H_{2}}$

gegebene Relation.

Das Geschlecht der Flächen ${\displaystyle \partial H_{1}\cong \partial H_{2}}$ heißt das Geschlecht der Heegaard-Zerlegung. Die in ${\displaystyle M}$ eingebettete Fläche ${\displaystyle \partial H_{1}=\partial H_{2}\subset M}$ heißt Heegaard-Fläche der Heegaard-Zerlegung.

Das Heegaard-Geschlecht ${\displaystyle g(M)}$ ist das Minimum des Geschlechts über alle Heegaard-Zerlegungen von ${\displaystyle M}$. Die Heegaard-Euler-Charakteristik ${\displaystyle \chi _{-}^{h}(M)}$ ist das Negative des Maximums der Euler-Charakteristik über alle Heegaard-Flächen, also ${\displaystyle \chi _{-}^{h}(M)=2g(M)-2}$.

Der Heegaard-Gradient von ${\displaystyle M}$ ist das Infimum ${\displaystyle \inf {\tfrac {\chi _{-}^{h}(M_{i})}{d_{i}}}}$ über alle endlichen Überlagerungen von ${\displaystyle M}$, wobei ${\displaystyle d_{i}}$ den Grad der Überlagerung ${\displaystyle M_{i}\to M}$ bezeichnet.

Aus der Morse-Theorie folgt, dass jede geschlossene orientierbare 3-Mannigfaltigkeit eine Heegaard-Zerlegung besitzt. Alternativ ergibt sich die Existenz von Heegaard-Zerlegungen auch aus der Triangulierbarkeit von 3-Mannigfaltigkeiten, man kann die Umgebung des 1-Skeletts einer Triangulierung als Henkelkörper wählen, sein Komplement ist dann als Umgebung des 1-Skeletts der dualen Triangulierung ebenfalls ein Henkelkörper.

• Standard-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre: Seien ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ Henkelkörper vom Geschlecht ${\displaystyle 0}$ (d. h. Vollkugeln) und ${\displaystyle f=id:S^{2}\rightarrow S^{2}}$, dann ist ${\displaystyle (H_{1}\cup H_{2})/{\sim }\cong S^{3}}$.
• Seien ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ Henkelkörper vom Geschlecht ${\displaystyle 1}$ (d. h. Volltori) und ${\displaystyle f=id:T^{2}\rightarrow T^{2}}$, dann ist ${\displaystyle (H_{1}\cup H_{2})/{\sim }\cong S^{2}\times S^{1}}$.
• Geschlecht-1-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre: Seien ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ Henkelkörper vom Geschlecht ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle f:T^{2}\rightarrow T^{2}}$ bilde die Longitude auf den Meridian und den Meridian auf die Longitude ab, dann ist ${\displaystyle (H_{1}\cup H_{2})/{\sim }\cong S^{3}}$.
• Standard-Heegaard-Zerlegung der Linsenräume: Seien ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ Henkelkörper vom Geschlecht ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle f:T^{2}\rightarrow T^{2}}$ sei durch eine beliebige Matrix ${\displaystyle A\in SL(2,\mathbb {Z} )}$ gegeben, dann ist ${\displaystyle (H_{1}\cup H_{2})/{\sim }\cong L(p,q)}$ ein Linsenraum.
• Heegaard-Zerlegung von Flächenbündeln: Jedes Flächenbündel mit einer Faser vom Geschlecht ${\displaystyle g}$ hat eine Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht ${\displaystyle 2g+1}$. Insbesondere ist der Heegaard-Gradient eines Flächenbündels ${\displaystyle 0}$. Weil nach dem Satz von Agol jede 3-Mannigfaltigkeit von einem Flächenbündel endlich überlagert wird, ist damit der Heegaard-Gradient stets trivial.

Aus einer Heegaard-Zerlegung einer Mannigfaltigkeit kann man durch Stabilisierung (Ankleben zusätzlicher Henkel, für die jeweils Longituden auf Meridiane und Meridiane auf Longituden abgebildet werden) weitere Heegard-Zerlegungen derselben 3-Mannigfaltigkeit mit Heegaard-Flächen höheren Geschlechts erhalten. Diese durch Stabilisierung erhaltenen Heegaard-Zerlegungen sind reduzibel, d. h., es gibt in der Heegaard-Fläche eine geschlossene Kurve, die in beiden Henkelkörpern (aber nicht in der Heegaard-Fläche) eine Kreisscheibe berandet. Eine Heegaard-Zerlegung heißt irreduzibel, wenn es keine solche Kurve gibt. Das Lemma von Haken besagt, dass Heegaard-Zerlegungen einer reduziblen 3-Mannigfaltigkeit immer reduzibel sind.

Eine Heegaard-Zerlegung heißt schwach reduzibel, wenn es in der Heegaard-Fläche zwei disjunkte (nicht null-homotope) geschlossene Kurven gibt, die Kreisscheiben in unterschiedlichen Henkelkörpern der Heegaard-Zerlegung beranden. Andernfalls heißt die Heegaard-Zerlegung stark irreduzibel. Casson und Gordon bewiesen 1987, dass alle irreduziblen Heegaard-Zerlegungen stark irreduzibel sind.

Für eine 3-Mannigfaltigkeit mit Rand ${\displaystyle M}$ definiert man Heegaard-Zerlegungen analog als Zerlegungen ${\displaystyle M=H_{1}\cup H_{2}}$ in zwei Kompressionskörper mit ${\displaystyle \partial _{+}H_{1}\cup \partial _{+}H_{2}}$.

Eine verallgemeinerte Heegaard-Zerlegung von ${\displaystyle M}$ ist eine Zerlegung in (nicht notwendig zusammenhängende) Kompressionskörper ${\displaystyle V_{i},W_{i},i=1,\dots ,n}$ und Flächen ${\displaystyle H_{i},i=1,\dots ,n}$ mit ${\displaystyle \partial _{+}V_{i}=\partial _{+}W_{i}=H_{i}}$ und ${\displaystyle \partial _{-}W_{i}=\partial _{-}V_{i+1}}$. Die Vereinigung der Kompressionskörper muss ganz ${\displaystyle M}$ sein und ihre inneren Kerne sollen disjunkt sein.

• Saveliev, Nikolai: Lectures on the topology of 3-manifolds. An introduction to the Casson invariant. Second revised edition. de Gruyter Textbook. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2012. ISBN 978-3-11-025035-0

• Jesse Johnson: Notes on Heegaard splittings

1. P.Heegaard: Forstudier til en topologisk teori for de algebraiske fladers sammenhaeng, Dissertation, Kopenhagen 1898.