Ellipse

A. Führt man kartesische Koordinaten so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt, die ${\displaystyle x}$-Achse die Hauptachse ist, und

die Brennpunkte die Punkte ${\displaystyle F_{1}=(e,0),\ F_{2}=(-e,0)}$,

die Hauptscheitel ${\displaystyle S_{1}=(a,0),\ S_{2}=(-a,0)}$ sind,

so ergibt sich für einen beliebigen Punkt ${\displaystyle (x,y)}$ der Abstand zum Brennpunkt ${\displaystyle (e,0)}$ als ${\displaystyle {\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}}$ und zum zweiten Brennpunkt ${\displaystyle {\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}}$. Also liegt der Punkt ${\displaystyle (x,y)}$ genau dann auf der Ellipse, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:

${\displaystyle {\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}=2a}$

Nach Beseitigung der Wurzeln durch geeignetes Quadrieren und Verwenden der Beziehung ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-e^{2}}$ (s. o.) erhält man die Gleichung

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ oder nach ${\displaystyle y}$ aufgelöst

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}.}$

${\displaystyle S_{3}=(0,b),\;S_{4}=(0,-b)}$ sind die Nebenscheitel. Aus der Beziehung ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-e^{2}}$ erhält man die Gleichungen

${\displaystyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ und ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\ .}$

Daraus ergeben sich noch die Beziehungen

${\displaystyle b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}$

${\displaystyle p=a\cdot (1-\varepsilon ^{2})}$

Ist ${\displaystyle a=b}$, so ist ${\displaystyle \varepsilon =0}$ und die Ellipse ein Kreis.
Ist ${\displaystyle b=e}$, so ist ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$, und man nennt die Ellipse eine gleichseitige Ellipse oder Ellipse schönster Form. Diese entsteht z. B., wenn man einen Drehzylinder mit einer gegen die Zylinderachse um 45° geneigten Ebene schneidet: Die Länge der kleinen Halbachse der Ellipse ist dabei gleich dem Radius des Zylinders.

B. Die Ellipse in A. lässt sich auch mithilfe einer Bilinearform als Lösungsmenge der Gleichung ${\displaystyle {\vec {x}}^{\mathrm {T} }M\,{\vec {x}}=1}$ auffassen.[3] Hierbei werden die Vektoren ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle x^{\mathrm {T} }}$ mit dem gleichen Punkt ${\displaystyle X}$ identifiziert. Bei Einführung kartesischer Koordinaten ist ${\displaystyle M}$ die Matrix ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{a^{2}}}&0\\0&{\frac {1}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle {\vec {x}}^{\mathrm {T} }=(x,y)}$ ein Zeilenvektor und ${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ ein Spaltenvektor.

C. Eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung und den Brennpunkten auf der ${\displaystyle x}$-Achse heißt auch in 1. Hauptlage. Wenn hier die obige Ellipsengleichung erwähnt wird, wird immer angenommen, dass ${\displaystyle a\geq b}$ und damit die Ellipse in 1. Hauptlage ist, was im „realen Leben“ aber nicht sein muss. Da kann durchaus auch ${\displaystyle a<b}$ vorkommen, was bedeutet, dass die Ellipse sich in 2. Hauptlage befindet (die Brennpunkte liegen auf der ${\displaystyle y}$-Achse).

Aufgrund der Definition einer Ellipse gilt:

Eine Ellipse ist symmetrisch zu ihren Achsen und damit auch zu ihrem Mittelpunkt.

(Die Symmetrieeigenschaft lässt sich auch leicht an der hier abgeleiteten Gleichung einer Ellipse erkennen.)

Die halbe Länge ${\displaystyle p}$ einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter, manchmal auch nur Parameter ${\displaystyle p}$ oder auch semi-latus rectum (die Hälfte des latus rectum = ${\displaystyle 2\cdot p}$) der Ellipse. Mit Hilfe der Gleichung einer Ellipse rechnet man leicht nach, dass

${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}}$

gilt. Der Halbparameter hat noch die zusätzliche Bedeutung (s. unten): Der Krümmungsradius in den Hauptscheiteln ist ${\displaystyle p}$.

A. Für den Hauptscheitel ${\displaystyle (a,0)}$ bzw. ${\displaystyle (-a,0)}$ hat die Tangente die Gleichung ${\displaystyle x=a}$ bzw. ${\displaystyle x=-a}$. Die einfachste Weise, die Gleichung der Tangente in einem Ellipsenpunkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0}\neq 0)}$ zu bestimmen, ist, die Gleichung ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ der Ellipse implizit zu differenzieren. Hiermit ergibt sich für die Ableitung

${\displaystyle {\frac {2x}{a^{2}}}+{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \rightarrow \ y'=-{\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$

und damit die Punkt-Steigungs-Form der Tangente im Punkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$:

${\displaystyle y=-{\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{0})+y_{0}}$

Berücksichtigt man ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1}$, so erhält man als Gleichung der Tangente im Punkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$:

${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{0}}{b^{2}}}y=1}$

Diese Form schließt auch die Tangenten durch die Hauptscheitel ein. Letzteres gilt auch für die Vektorform

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}+s\;{\begin{pmatrix}-ay_{0}/b\\bx_{0}/a\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad s\in \mathbb {R} }$.

B. Die in A. eingeführte Tangentengleichung ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{0}}{b^{2}}}y=1}$ lässt sich auch ohne Differentialrechnung als Spezialfall einer Polarengleichung einführen (s. u. Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare, D.). Sie entspricht einer Normalenform mit dem Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}=\left({\tfrac {x_{0}}{a^{2}}},{\tfrac {y_{0}}{b^{2}}}\right)}$. Von diesem lässt sich ein dazu rechtwinkeliger Richtungsvektor ${\displaystyle {\vec {u}}}$ von ${\displaystyle t}$ ablesen. Da ${\displaystyle {\vec {u}}}$ nur bis auf einen Skalar eindeutig ist, hat er die Formen

${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{pmatrix}-y_{0}/b^{2}\\x_{0}/a^{2}\end{pmatrix}}=}$${\displaystyle {\frac {1}{ab}}{\begin{pmatrix}-ay_{0}/b\\bx_{0}/a\end{pmatrix}}=}$${\displaystyle -{\frac {y_{0}}{b^{2}}}{\begin{pmatrix}1\\{\frac {-x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\end{pmatrix}}}$;

dies liefert den Richtungsvektor der in A. angegebenen Vektorform und auch die Steigung der dort angegebenen Punktsteigungsform.

Eine zeichnerische Bestimmung von Ellipsentangenten findet man im Artikel Ellipse (Darstellende Geometrie).

Verschiebt man die obige Ellipse so, dass der Mittelpunkt der Punkt ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ist, ergibt sich die Mittelpunktsform einer Ellipse, deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen sind:

${\displaystyle {\frac {(x-m_{1})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-m_{2})^{2}}{b^{2}}}=1}$

Standarddarstellung

Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinus-Funktion. Wegen ${\displaystyle \cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1}$ beschreibt

${\displaystyle (a\cos t,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi }$

die Ellipse ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Verschiedene Möglichkeiten, den Parameter ${\displaystyle t}$ geometrisch zu interpretieren, werden im Abschnitt Ellipsen zeichnen angegeben.

Rationale Parameterdarstellung

Punkte einer Ellipse mit Hilfe der rationalen Parameterdarstellung berechnet (${\displaystyle \Delta u=0{,}2}$)

Mit der Substitution ${\displaystyle u=\tan(t/2)}$ und trigonometrischen Formeln erhält man

${\displaystyle \cos t=(1-u^{2})/(1+u^{2})\ ,\quad \sin t=2u/(1+u^{2})}$

und damit die rationale Parameterdarstellung einer Ellipse:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x(u)&=&a(1-u^{2})/(1+u^{2})\\y(u)&=&2bu/(1+u^{2})\end{array}},\quad -\infty <u<\infty \;.}$

Die rationale Parameterdarstellung hat folgende Eigenschaften (s. Bild):

• Für ${\displaystyle u=0}$ wird der positive Hauptscheitel dargestellt: ${\displaystyle x(0)=a,y(0)=0}$; für ${\displaystyle u=1}$ der positive Nebenscheitel: ${\displaystyle x(1)=0,y(1)=b}$.
• Übergang zur Gegenzahl des Parameters spiegelt den dargestellten Punkt an der ${\displaystyle x}$-Achse: ${\displaystyle x(-u)=x(u),y(-u)=-y(u)}$.
• Übergang zum Kehrwert des Parameters spiegelt den dargestellten Punkt an der ${\displaystyle y}$-Achse: ${\displaystyle x\left({\tfrac {1}{u}}\right)=-x(u),y\left({\tfrac {1}{u}}\right)=y(u)}$.
• Der negative Hauptscheitel kann mit keinem reellen Parameter ${\displaystyle u}$ dargestellt werden. Die Koordinaten desselben sind die Grenzwerte der Parameterdarstellung für unendliches positives oder negatives ${\displaystyle u}$: ${\displaystyle \lim _{u\to \pm \infty }x(u)=-a,\lim _{u\to \pm \infty }y(u)=0}$.

Rationale Parameterdarstellungen der Kegelschnitte (Ellipse, Hyperbel, Parabel) spielen im CAD-Bereich bei quadratischen rationalen Bezierkurven eine wichtige Rolle.[4]

Tangentensteigung als Parameter

Eine Parameterdarstellung, die die Tangentensteigung ${\displaystyle m}$ in dem jeweiligen Ellipsenpunkt verwendet, erhält man durch Differentiation der Parameterdarstellung ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,b\sin t)^{\mathrm {T} }}$:

${\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,b\cos t)^{\mathrm {T} }\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}$

Mit Hilfe trigonometrischer Formeln ergibt sich

${\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}$

Ersetzt man in der Standarddarstellung ${\displaystyle \cos t}$ und ${\displaystyle \sin t}$, erhält man schließlich

${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\;,\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right)^{\mathrm {T} },\,m\in \mathbb {R} .}$

Dabei ist ${\displaystyle m}$ die Tangentensteigung im jeweiligen Ellipsenpunkt, ${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$ die obere und ${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$ die untere Hälfte der Ellipse. Die Punkte mit senkrechten Tangenten (Scheitel ${\displaystyle (\pm a,0)}$) werden durch diese Parameterdarstellung nicht erfasst.
Die Gleichung der Tangente im Punkt ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ hat die Form ${\displaystyle y=mx+n}$. Der ${\displaystyle y}$-Abschnitt ${\displaystyle n}$ ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten des zugehörigen Ellipsenpunktes ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$:

${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}$

Diese Hauptform der Tangentengleichung ist ein wesentliches Hilfsmittel bei der Bestimmung der orthoptischen Kurve einer Ellipse.

Bemerkung: Die Hauptform der Tangentengleichung und die Koordinaten von ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ lassen sich auch ohne Differentialrechnung und ohne trigonometrische Formeln herleiten, indem die Tangente als Spezialfall einer Polare aufgefasst wird (s. u. Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare, D.)

Verschobene Ellipse

Eine verschobene Ellipse mit Mittelpunkt ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ wird durch

${\displaystyle (m_{1}+a\cos t\;,\;m_{2}+b\sin t),\ 0\leq t<2\pi }$

beschrieben.

Eine Parameterdarstellung einer beliebigen Ellipse ist in dem Abschnitt Ellipse als affines Bild des Einheitskreises enthalten.

Brennpunkteigenschaft

Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie, Leitstrahl oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der folgenden Eigenschaft:

Der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse wird durch die Normale in diesem Punkt halbiert.

Anwendungen

1. Der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet, ist gleich dem Ausfallswinkel, den die Tangente mit dem anderen Brennstrahl bildet. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, wird demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.
2. Da alle Wege von einem zum anderen Brennpunkt (entlang zusammengehöriger Brennstrahlen) gleich lang sind, wird z. B. Schall durch konstruktive Interferenz „verstärkt“ übertragen.
3. Die Tangente im Ellipsenpunkt ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels. Da Winkelhalbierenden leicht zu konstruieren sind, bietet die Brennpunkteigenschaft eine einfache Methode, die Tangente in einem Ellipsenpunkt zu konstruieren (Eine weitere Tangentenkonstruktion wird in Ellipse (Darstellende Geometrie) beschrieben.).

Zwei Ellipsen mit denselben Brennpunkten ${\displaystyle F_{1},\;F_{2}}$ nennt man konfokal. Durch jeden Punkt, der nicht zwischen den Brennpunkten liegt, gibt es genau eine Ellipse mit den Brennpunkten ${\displaystyle F_{1},\;F_{2}}$. Zwei konfokale Ellipsen haben keinen Schnittpunkt (s. Definition einer Ellipse).

Beweis der Brennpunkteigenschaft

Da die Tangente senkrecht zur Normalen verläuft, ist die obige Behauptung bewiesen, wenn die analoge Aussage für die Tangente gilt:

Die Tangente halbiert den Außenwinkel der Brennstrahlen

Der Außenwinkel der Brennstrahlen ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}}$ in einem Ellipsenpunkt ${\displaystyle P}$ wird von der Tangente in diesem Punkt halbiert (s. Bild).

Es sei ${\displaystyle L}$ der Punkt auf der Geraden ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ mit dem Abstand ${\displaystyle 2a}$ zum Brennpunkt ${\displaystyle F_{2}}$ (${\displaystyle a}$ ist die große Halbachse der Ellipse). Die Gerade ${\displaystyle w}$ sei die Winkelhalbierende der Außenwinkel der Brennstrahlen ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}}$. Um nachzuweisen, dass ${\displaystyle w}$ die Tangente ist, zeigt man, dass auf ${\displaystyle w}$ kein weiterer Ellipsenpunkt liegen kann. Anhand der Zeichnung und der Dreiecksungleichung erkennt man, dass

${\displaystyle |QF_{2}|+|QF_{1}|=|QF_{2}|+|QL|>|LF_{2}|=2a}$

gilt. Dies bedeutet, dass ${\displaystyle |QF_{2}|+|QF_{1}|>2a}$ ist. Wenn ${\displaystyle Q}$ ein Punkt der Ellipse wäre, müsste die Summe aber gleich ${\displaystyle 2a}$ sein.

Bemerkung: Ein Beweis mit Mitteln der analytischen Geometrie befindet sich im Beweisarchiv.[5]

Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik:

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich – mit den Ohren – in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Diese Art der Schallübertragung funktioniert in einigen Stationen der Pariser Métro sogar von Bahnsteig zu Bahnsteig. Das gleiche Prinzip der Schallfokussierung wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet. Auch im lampengepumpten Nd:YAG-Laser wird ein Reflektor in Form einer Ellipse verwendet. Die Pumpquelle – entweder eine Blitzlampe oder eine Bogenlampe – wird in dem einen Brennpunkt positioniert, und der dotierte Kristall wird in den anderen Brennpunkt gelegt.

Ellipse mit Leitlinien

Für eine echte Ellipse, d. h. ${\displaystyle e>0}$, bezeichnet man eine Parallele zur Nebenachse im Abstand ${\displaystyle a^{2}/e}$ als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt ${\displaystyle P}$ der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix ${\displaystyle d}$ auf der entsprechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrizität:

${\displaystyle |PF_{1}|:|Pd_{1}|=|PF_{2}|:|Pd_{2}|=\varepsilon .}$ Es ist ${\displaystyle \varepsilon >0.}$

Beweis:
Mit ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\Leftrightarrow y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}$ sowie ${\displaystyle e^{2}+b^{2}=a^{2}}$ und den binomischen Formeln ist

${\displaystyle |PF_{1,2}|^{2}=(x\mp e)^{2}+y^{2}=}$

${\displaystyle {(x\mp e)^{2}+b^{2}-{\frac {b^{2}x^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}x^{2}}{a^{2}}}\mp 2ex+e^{2}+b^{2}-{\frac {b^{2}x^{2}}{a^{2}}}={\frac {e^{2}x^{2}}{a^{2}}}\mp 2{\frac {ex}{a}}\cdot a+a^{2}=\left({\frac {ex}{a}}\mp {\frac {ea^{2}}{ae}}\right)^{2}=}}$

${\displaystyle \left({\frac {e}{a}}\right)^{2}\left(x\mp {\frac {a^{2}}{e}}\right)^{2}=\varepsilon ^{2}|Pd_{1,2}|^{2}}$.

Die Umkehrung dieser Aussage gilt auch und kann zu einer weiteren Definition einer Ellipse benutzt werden (ähnlich wie bei einer Parabel):

Für einen Punkt ${\displaystyle F}$ (Brennpunkt), eine Gerade ${\displaystyle d}$ (Leitlinie) nicht durch ${\displaystyle F}$ und eine reelle Zahl ${\displaystyle \varepsilon }$ mit ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ ist die Menge der Punkte (geometrischer Ort), für die der Quotient der Abstände zu dem Punkt ${\displaystyle F}$ und der Geraden ${\displaystyle d}$ gleich ${\displaystyle \varepsilon }$ ist, eine Ellipse:

${\displaystyle E=\{P\mid {\frac {|PF|}{|Pd|}}=\varepsilon \}}$

Die Wahl ${\displaystyle \varepsilon =0}$, also die Exzentrizität eines Kreises, ist in diesem Zusammenhang nicht erlaubt. Man kann als Leitlinie eines Kreises die unendlich entfernte Gerade auffassen.

Kegelschnittschar mit einem gemeinsamen Scheitel und einem gemeinsamen Halbparameter

Beweis:

Es sei ${\displaystyle F=(f,0),\ \varepsilon >0}$ und ${\displaystyle (0,0)}$ ein Punkt der Kurve. Die Leitlinie ${\displaystyle d}$ hat die Gleichung ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{\varepsilon }}}$. Mit ${\displaystyle P=(x,y)}$ und der Beziehung ${\displaystyle |PF|^{2}=\varepsilon ^{2}|Pd|^{2}}$ ergibt sich

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=\varepsilon ^{2}(x+{\tfrac {f}{\varepsilon }})^{2}=(\varepsilon x+f)^{2}}$ und ${\displaystyle x^{2}(\varepsilon ^{2}-1)+2xf(1+\varepsilon )-y^{2}=0.}$

Die Substitution ${\displaystyle p=f(1+\varepsilon )}$ liefert

${\displaystyle x^{2}(\varepsilon ^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$

Dies ist die Gleichung einer Ellipse (${\displaystyle \varepsilon <1}$) oder einer Parabel (${\displaystyle \varepsilon =1}$) oder einer Hyperbel (${\displaystyle \varepsilon >1}$). All diese nicht-ausgearteten Kegelschnitte haben den Ursprung als Scheitel gemeinsam (s. Bild).

Für ${\displaystyle \varepsilon <1}$ führt man neue Parameter ${\displaystyle a={\tfrac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}}$ und ${\displaystyle b^{2}=ap\Rightarrow 1-\varepsilon ^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}}$ ein; die obige Gleichung wird dann zu

${\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,}$

was die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt ${\displaystyle (a,0)}$, der ${\displaystyle x}$-Achse als Hauptachse und den Halbachsen ${\displaystyle a,b}$ ist.

Allgemeiner Fall:

Für den Brennpunkt ${\displaystyle F=(f_{1},f_{2})}$ und die Leitlinie ${\displaystyle ux+vy+w=0}$ erhält man die Gleichung

${\displaystyle \left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=\varepsilon ^{2}\cdot {\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}.}$

Die rechte Seite der Gleichung benutzt die Hessesche Normalform einer Geraden, um den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu berechnen.

Leitlinienkonstruktion

Konstruktion der Leitlinie:

Wegen ${\displaystyle e\cdot {\tfrac {a^{2}}{e}}=a^{2}}$ sind der Punkt ${\displaystyle D_{1}}$ der Leitlinie (siehe Bild) und der Brennpunkt ${\displaystyle F_{1}}$ bezüglich der Spiegelung am großen Scheitelkreis (im Bild grün) invers. Damit kann ${\displaystyle D_{1}}$ wie im Bild gezeigt aus ${\displaystyle F_{1}}$ mit Hilfe des großen Scheitelkreises konstruiert werden. Eine weitere Begründung für die Konstruktion liefert die Tatsache, dass der Brennpunkt ${\displaystyle F_{1}}$ und die Leitlinie ${\displaystyle d_{1}}$ sowohl bezüglich der Ellipse als auch bezüglich des großen Scheitelkreises ein Pol-Polare-Paar (siehe unten) bilden.

Ellipse mit zwei konjugierten Durchmessern

• Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser ${\displaystyle {\overline {QQ'}}}$. Man nennt ${\displaystyle {\overline {QQ'}}}$ den zu ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ konjugierten Durchmesser.[6]
• Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen. In der Zeichnung stimmt also der zu ${\displaystyle {\overline {QQ'}}}$ konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ überein.
• Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers (etwa ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$) sind parallel zum konjugierten Durchmesser (im Beispiel ${\displaystyle {\overline {QQ'}}}$).
• Haupt- und Nebenachse sind das einzige Paar orthogonaler konjugierter Durchmesser.
• Ist die Ellipse ein Kreis, so sind genau die orthogonalen Durchmesser (auch) konjugiert.
• Sind konjugierte Durchmesser nicht orthogonal, so ist das Produkt ihrer Steigungen ${\displaystyle {\tfrac {-b^{2}}{a^{2}}}}$.
• Seien ${\displaystyle d_{1}}$, ${\displaystyle d_{2}}$ konjugierte Durchmesser. Dann ist ${\displaystyle \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)^{2}=a^{2}+b^{2}}$. (Satz des Apollonius)
• Für die Ellipse mit der Gleichung ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ und der Parameterdarstellung ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$ gilt:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad }$ ( Vorzeichen: (+,+) oder (−,−) )

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad }$ ( Vorzeichen: (−,+) oder (+,−) )

liegen auf konjugierten Durchmessern und es ist

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .}$

Im Fall eines Kreises gilt ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}$

Konjugierte Durchmesser (erstrangig von Ellipsen) werden auch auf einer eigenen Wikipedia-Seite behandelt, ebenso der Satz des Apollonius (samt Beweis). Ein analytischer Gesamt-Beweis sämtlicher hier aufgeführter Aussagen, der von der gemeinsamen Bilinearform zweier Ursprungsgeraden ausgeht, findet sich im Beweisarchiv. Dieser Beweis benötigt weder trigonometrische Funktionen noch Parameterdarstellungen noch eine affine Abbildung.[7]

Eine Anwendungsmöglichkeit im Bereich des technischen Zeichnens besteht in der Möglichkeit, den höchsten Punkt einer Ellipse oder eines Ellipsenbogens beliebiger Lage über einer Linie zu finden – nützlich z. B. für korrekte 2D-Darstellungen nicht-orthogonaler Ansichten zylindrischer Körper oder abgerundeter Kanten ohne Verwendung von 3D-Programmen. Wichtig ist dies für den sauberen Anschluss tangential von der Ellipse weg laufender Linien. Hierzu sind in die Ellipse oder den Ellipsenbogen zwei Sehnen parallel zur gewünschten Tangentenrichtung und die durch die Mittelpunkte der beiden Sehnen definierte Linie des zugehörigen konjugierten Durchmessers einzuzeichnen. Der Schnittpunkt dieser Linie mit der Ellipse oder dem Ellipsenbogen definiert den Anschlusspunkt der Tangente (und normalerweise den Endpunkt des Ellipsenbogens).

Ellipse mit orthoptischer Kurve (lila)

Für die Ellipse ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf dem Kreis ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$.

Diesen Kreis nennt man die orthoptische Kurve der gegebenen Ellipse, es ist der Umkreis des Rechtecks, das die Ellipse umschreibt.

Führt man kartesische Koordinaten so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt, so kann eine beliebige Ellipse mit der Gleichung ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ beschrieben werden (s. o. Abschnitt Gleichung). Weiter ordnet für eine vorgegebene Ellipse eine Funktion ${\displaystyle f}$ je einem Punkt ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ die Gerade ${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$ zu. Bezüglich ${\displaystyle f}$ heißt ${\displaystyle P_{0}}$ Pol, die zugeordnete Gerade Polare. ${\displaystyle f}$ ist eine Bijektion; die inverse Funktion bildet je eine Polare auf einen Pol ab. Der Ellipsenmittelpunkt ${\displaystyle (0,0)}$ ist in keiner so definierten Polare enthalten, entsprechend existiert zu ${\displaystyle (0,0)}$ keine Polare. Die angegebene Gleichung der Polare lässt sich als Normalenform mit dem zugehörigen Normalenvektor ${\displaystyle \left({\tfrac {x_{0}}{a^{2}}},{\tfrac {y_{0}}{b^{2}}}\right)}$ auffassen.

Eine solche Beziehung zwischen Punkten und Geraden, die durch einen Kegelschnitt vermittelt wird, nennt man Pol-Polare-Beziehung oder einfach Polarität. Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Hyperbeln und Parabeln, siehe auch Pol und Polare.

Ellipse: Pol-Polare-Beziehung

Zu Pol und Polare gelten folgende Lagebeziehungen:

• Der Brennpunkt ${\displaystyle (e,0)}$ und die Leitlinie ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{e}}}$ sind polar zueinander. Da beide auch polar bezüglich des Scheitelkreises ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ sind, lässt sich die Leitlinie auch mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruieren (siehe hierzu auch Kreisspiegelung). (1)
• Genau dann, wenn der Pol außerhalb der Ellipse liegt, hat die Polare zwei Punkte mit der Ellipse gemeinsam (s. Bild: ${\displaystyle P_{2},\ p_{2}}$). (2)
• Genau dann, wenn der Pol auf der Ellipse liegt, hat die Polare genau einen Punkt mit der Ellipse gemeinsam (= die Polare ist eine Tangente; s. Bild: ${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$). (3)
• Genau dann, wenn der Pol innerhalb der Ellipse liegt, hat die Polare keinen Punkt mit der Ellipse gemeinsam (s. Bild: ${\displaystyle F_{1},\ l_{1}}$). (4)
• Jeder gemeinsame Punkt einer Polare und einer Ellipse ist Berührpunkt einer Tangente vom zugehörigen Pol ${\displaystyle P}$ an die Ellipse (s. Bild: ${\displaystyle P_{2},\ p_{2}}$). (5)
• Der Schnittpunkt zweier Polaren ist der Pol der Geraden durch die Pole. (6)

A. Ist eine Polare parallel zur ${\displaystyle y}$-Achse, so hat sie auch die Form ${\displaystyle 0\neq c=x\Leftrightarrow {\frac {1}{c}}\cdot x+0\cdot y=1}$. Mit dem zugehörigen Normalenvektor ${\displaystyle \left({\tfrac {x_{0}}{a^{2}}}={\tfrac {1}{c}},{\tfrac {y_{0}}{b^{2}}}=0\right)}$ ist der zugehörige Pol ${\displaystyle \left(x_{0}={\tfrac {a^{2}}{c}},y_{0}=0\right).}$ Insbesondere folgt für ${\displaystyle x_{0}={\tfrac {a^{2}}{c}}=e\Leftrightarrow c={\tfrac {a^{2}}{e}}}$ die Polarität (1) von Brennpunkt und Direktrix.

Einsetzen der betrachteten Polare in die Mittelpunktform einer Ellipse ergibt für die Ordinate ${\displaystyle y}$ eines beliebigen Schnittpunkts die Bedingung ${\displaystyle {\tfrac {c^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$; die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung in ${\displaystyle y}$ hat bis auf einen positiven Faktor die Form

${\displaystyle T_{1}=\left({\frac {a^{2}}{c^{2}}}-1=\right)\quad \ {\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-1}$.

B. Ist eine Polare nicht parallel zur ${\displaystyle y}$-Achse, so hat sie die Hauptform ${\displaystyle y=mx+n}$. Wegen ${\displaystyle n\neq 0}$ lässt sich diese in die Normalenform ${\displaystyle -mx/n+y/n=1}$ umformen. Vergleich mit der Normalenform ergibt als Darstellung Koordinaten des Pols mit den Parametern der Hauptform:

${\displaystyle x_{0}=-{\frac {ma^{2}}{n}},\quad \ y_{0}={\frac {b^{2}}{n}}}$.

Einsetzen der Hauptform ${\displaystyle y=mx+n}$ in die Mittelpunktform einer Ellipse ergibt für die Abszisse ${\displaystyle x}$ eines beliebigen Schnittpunkts die Bedingung ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {(mx+n)^{2}}{b^{2}}}=1}$; die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung in ${\displaystyle x}$ hat bis auf einen positiven Faktor die Form

${\displaystyle T_{2}=\left({\frac {m^{2}a^{2}}{n^{2}}}+{\frac {b^{2}}{n^{2}}}-1=\right)\quad \ {\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}-1.}$

C. Insgesamt erlaubt der Term ${\displaystyle T=T_{1}}$ bzw. ${\displaystyle T=T_{2}}$ für eine beliebige Polare folgende Unterscheidung paarweise disjunkter Fälle:

• Für ${\displaystyle T<0}$ hat die Polare mit der Ellipse keinen Punkt gemeinsam, und der Pol liegt innerhalb der Ellipse. Hieraus folgt (2).
• Für ${\displaystyle T=0}$ hat die Polare mit der Ellipse genau einen Punkt gemeinsam, und der Pol liegt auf der Ellipse. Also ist die Polare eine Tangente an die Ellipse, der Pol ihr Berührpunkt (s. Bild: ${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$). Hieraus folgt (3).
• Für ${\displaystyle T>0}$ hat die Polare mit der Ellipse zwei Punkte gemeinsam, und der Pol liegt außerhalb der Ellipse. Hieraus folgt (4).

D. Ist eine Tangente nicht senkrecht, so ergibt Auflösung der Gleichung ${\displaystyle T_{2}=0}$ nach ${\displaystyle n}$ und Einsetzen von ${\displaystyle n}$ die Hauptform der Tangente:

${\displaystyle \quad \ y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}$;

Einsetzen von ${\displaystyle n}$ in die Koordinaten ${\displaystyle x_{0}=-{\tfrac {ma^{2}}{n}},y_{0}={\tfrac {b^{2}}{n}}}$ des Berührpunkts ergibt die Koordinaten der Parameterdarstellung einer Ellipse mit der Steigung ${\displaystyle m}$ als Parameter: ${\displaystyle \quad \ {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\;,\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right)^{\mathrm {T} },\,m\in \mathbb {R} }$;

diese Parameterdarstellung erfasst die Hauptscheitel nicht.

E. Ausgehend von der im Abschnitt „Gleichung“, B. aufgeführten Bilinearform der Ellipse hat die Polare zum Punkt ${\displaystyle P}$ die Normalenformen

${\displaystyle {\vec {p}}^{\mathrm {T} }M{\vec {x}}=1}$ mit dem Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}^{\mathrm {T} }={\vec {p}}^{\mathrm {T} }M}$ und

${\displaystyle {\vec {x}}^{\mathrm {T} }M{\vec {p}}=1}$ mit dem Normalenvektor ${\displaystyle M{\vec {p}}={\vec {n}}}$.

Ist ${\displaystyle P}$ ein Punkt der Ellipse, so beschreiben auch diese Gleichungen eine Tangente.

Diese koordinatenfreie rechnerische Darstellung der Polare eignet sich für Beweise. Mit den Koordinatendarstellungen ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ und ${\displaystyle X(x,y)}$ sowie den im Abschnitt „Gleichung“ angegebenen Matrizenkoordinaten für ${\displaystyle M}$ entsteht durch Auswertung der Matrizenprodukte wieder die im Abschnitt Pol-Polare-Beziehung angegebene Gleichung ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{0}}{b^{2}}}y=1}$.

Beweis von (5) („Jeder gemeinsame Punkt einer Polare und einer Ellipse ist Berührpunkt einer Tangente vom zugehörigen Pol ${\displaystyle P}$ an die Ellipse.“):
Da die Ellipsenpunkte ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ auf der Polare zu ${\displaystyle P}$ liegen, gilt ${\displaystyle {\vec {s}}_{1}^{\mathrm {T} }M{\vec {p}}=1}$ und ${\displaystyle {\vec {s}}_{2}^{\mathrm {T} }M{\vec {p}}=1}$. Fasst man in diesen Gleichungen nicht ${\displaystyle M{\vec {p}}}$, sondern ${\displaystyle {\vec {s}}_{1}^{\mathrm {T} }M}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {s}}_{2}^{\mathrm {T} }M}$ als Normalenvektor auf, so besagen sie, dass die Tangenten in den Ellipsenpunkten ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ den Punkt ${\displaystyle P}$ gemeinsam haben.

Beweis von (6) („Der Schnittpunkt zweier Polaren ist der Pol der Gerade durch die Pole.“):
Für einen Schnittpunkt ${\displaystyle S}$ zweier Polaren zu ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ gilt ${\displaystyle {\vec {s}}^{\mathrm {T} }M{\vec {p}}_{1}=1}$ und ${\displaystyle {\vec {s}}^{\mathrm {T} }M{\vec {p}}_{2}=1}$. Fasst man in diesen Gleichungen nicht ${\displaystyle M{\vec {p}}_{1}}$ bzw. ${\displaystyle M{\vec {p}}_{2}}$, sondern ${\displaystyle {\vec {s}}^{\mathrm {T} }M={\vec {n}}^{\mathrm {T} }}$ als Normalenvektor auf, so besagen sie, dass auf der Polare zu ${\displaystyle S}$ die Punkte ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ liegen. Weiter zeigt die Betrachtung der Parameterform ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}_{1}+\lambda ({\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1})}$ mit

${\displaystyle {\vec {n}}^{\mathrm {T} }{\vec {x}}={\vec {n}}^{\mathrm {T} }{\vec {p}}_{1}+\lambda ({\vec {n}}^{\mathrm {T} }{\vec {p}}_{2}-{\vec {n}}^{\mathrm {T} }{\vec {p}}_{1})=1+\lambda (1-1)=1={\vec {s}}^{\mathrm {T} }M{\vec {x}}}$

die punktweise Gleichheit der Gerade ${\displaystyle (P_{1}P_{2})}$ mit der Polare zu ${\displaystyle S}$.

Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$, wobei ${\displaystyle A}$ eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ein beliebiger Vektor ist. Sind ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}}$ die Spaltenvektoren der Matrix ${\displaystyle A}$, so wird der Einheitskreis ${\displaystyle (\cos t,\sin t),0\leq \ t\leq 2\pi ,}$ auf die Ellipse

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t}$

abgebildet. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ist der Mittelpunkt und ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}}$ sind zwei konjugierte Halbmesser (s. u.) der Ellipse. ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}}$ stehen i. A. nicht senkrecht aufeinander. D. h., ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{2}}$ sind i. A. nicht die Scheitel der Ellipse. Diese Definition einer Ellipse liefert eine einfache Parameterdarstellung (s. u.) einer beliebigen Ellipse.

Scheitel, Scheitelform

Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Ellipsendurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Ellipsenpunkt ${\displaystyle {\vec {p}}'(t)=-{\vec {f}}_{1}\sin t+{\vec {f}}_{2}\cos t}$ ist, ergibt sich der Parameter ${\displaystyle t_{0}}$ eines Scheitels aus der Gleichung

${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot ({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0})=(-{\vec {f}}_{1}\sin t+{\vec {f}}_{2}\cos t)\cdot ({\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t)=0}$

und damit aus ${\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}}$.
(Es wurden die Formeln ${\displaystyle \cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ 2\sin t\cos t=\sin 2t}$ benutzt.)

Falls ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}=0}$ ist, ist ${\displaystyle t_{0}=0}$ und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform.

Die 4 Scheitel der Ellipse sind ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),{\vec {p}}(t_{0}+\pi ).}$

Die Scheitelform der Parameterdarstellung der Ellipse ist

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+({\vec {p}}(t_{0})-{\vec {f}}_{0})\cos(t-t_{0})+({\vec {p}}(t_{0}+{\tfrac {\pi }{2}})-{\vec {f}}_{0})\sin(t-t_{0}).}$