Satz von Gliwenko-Cantelli

Der Satz von Gliwenko-Cantelli oder Satz von Gliwenko, auch Hauptsatz der mathematischen Statistik oder Fundamentalsatz der Statistik genannt, englisch Central statistical theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher auf zwei Arbeiten der beiden Mathematiker Waleri Iwanowitsch Gliwenko und Francesco Cantelli aus dem Jahre 1933 zurückgeht. Aus dem Satz geht hervor, dass bei unabhängig durchgeführten Zufallsversuchen die aus den Zufallsstichproben gewonnenen empirischen Verteilungsfunktionen einer Zufallsgröße gleichmäßig mit Wahrscheinlichkeit Eins gegen deren tatsächliche Verteilungsfunktion konvergieren und dass dadurch die Möglichkeit der Schätzung dieser Verteilungsfunktion gegeben ist.

Empirische Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Stichprobe vom Umfang n=100

Formulierung des Satzes im Einzelnen

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:[1][2][3][4][5][6][7]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum

(\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )

und darauf eine Folge

X_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} \quad (n\in \mathbb {N} )

von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilungsfunktion $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ .

Die zum Stichprobenumfang $n\in \mathbb {N}$ gehörige empirische Verteilungsfunktion ist

F_{n}\colon {\mathbb {R} \times \Omega }\to [0,1]

mit

F_{n}(x,\omega )={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}{\chi _{(-\infty ,x]}(X_{k}(\omega ))}\quad (x\in \mathbb {R} ,\omega \in \Omega )

.[8]

Hierzu hat man auf dem gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum die Zufallsvariable

D_{n}\colon \Omega \to \mathbb {R}

mit

D_{n}(\omega )=\sup _{x\in \mathbb {R} }{\bigl |}F_{n}(x,\omega )-F(x){\bigr |}

,[9]

welche die obere Grenze aller Abstände dieser empirischen Verteilung von der gemeinsamen Verteilung $F$ unter Berücksichtigung alle nur möglichen Ausprägungen $x\in \mathbb {R}$ angibt.

Dann gilt:

Die Folge $(D_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert mit Wahrscheinlichkeit 1, also fast sicher, gegen Null.

Es gilt also

\operatorname {P} {\bigl (}\lim _{n\to \infty }D_{n}=0{\bigr )}=1

.

Anmerkungen

Der Satz ergibt sich als Anwendung des kolmogorowschen Gesetzes der großen Zahlen.
Er ist in verschiedene Richtungen verallgemeinert und abgewandelt worden. Einen Eindruck davon gibt die Arbeit des dänischen Mathematikers Flemming Topsøe aus dem Jahre 1970.[10]

Quellen und Hintergrundliteratur

Originalarbeiten

F. P. Cantelli: Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità. In: Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari. Band 4, 1933, S. 421–424.
V. Glivenko: Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità. In: Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari. Band 4, 1933, S. 92–99.
Flemming Topsøe: On the Glivenko-Cantelli theorem. In: Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. Band 14, 1970, S. 239–250, doi:10.1007/BF01111419 (MR0292143).

Monographien

Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory (= Springer Texts in Statistics). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 978-0-387-32903-1. MR2247694
Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. Academic Press, Inc., San Diego (u. a.) 2001, ISBN 0-12-174151-6. MR1796326
Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 40). 10. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1980.
P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Hochschultext. Band 91). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1977, ISBN 3-540-08418-5.MR0501219
Boris Wladimirowitsch Gnedenko: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main 1997, ISBN 3-8171-1531-8.
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-6.
Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung (= Springer-Lehrbuch). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-322-96418-2.
R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York (u. a.) 1979, ISBN 0-471-03262-X. MR0534143
M. Loève: Probability Theory I (= Graduate Texts in Mathematics. Band 45). 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90210-4. MR0651017
Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit (= Springer-Lehrbuch). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.
Vladimir Spokoiny, Thorsten Dickhaus: Basics of Modern Mathematical Statistics (= Springer Texts in Statistics). Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2015, ISBN 978-3-642-39908-4. MR3289985
Walter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Studia Mathematica. Band XXII). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1970. MR0286145

Einzelnachweise

Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1980, S. 456 ff
P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 145
B. W. Gnedenko: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie 1980, S. 185 ff
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 117 ff
Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. 2014, S. 262 ff
Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2009, S. 353 ff
Walter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1970, S. 318 ff
Mit $\chi$ werde die charakteristische Funktion bezeichnet.
Dabei steht $\sup$ für das Supremum.
Flemming Topsøe: On the Glivenko-Cantelli theorem. in: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 14 , S. 239 ff

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[MF-1] Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1980, S. 456 ff

[PG-WS-2] P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 145

[BWG-3] B. W. Gnedenko: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie 1980, S. 185 ff

[AK-4] Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 117 ff

[NK-5] Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. 2014, S. 262 ff

[KDS-6] Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2009, S. 353 ff

[WV-7] Walter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1970, S. 318 ff

[8] Mit $\chi$ werde die charakteristische Funktion bezeichnet.

[9] Dabei steht $\sup$ für das Supremum.

[FT-10] Flemming Topsøe: On the Glivenko-Cantelli theorem. in: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 14 , S. 239 ff