Hartman-Watson-Verteilung
Die Hartman-Watson-Verteilung ist eine absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist nach Philip Hartman und Geoffrey S. Watson benannt. Diese stießen auf die Verteilung bei der Untersuchung der Beziehung zwischen der brownschen Bewegung auf der -Sphäre und der von-Mises-Verteilung.[1] Wichtige Arbeiten, inklusive eine explizite Form der Dichte in Integraldarstellung, stammen von Marc Yor.[2]
Die Verteilung findet Anwendung in der Finanzmathematik bei der Berechnung von Preisen von asiatischen Optionen mit dem Black-Scholes-Modell.
Hartman-Watson-Verteilung
Definition
Die Hartman-Watson-Verteilungen sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen , die folgende Beziehung zur Laplace-Transformation erfüllen
- ,
wobei die modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung bezeichnet und wie folgt definiert ist
Explizite Darstellung
Die unnormierte Dichte der Hartman-Watson-Verteilung ist
für .
Sie erfüllt die Gleichung
Die Dichte der Hartman-Watson-Verteilung ist für definiert und gegeben durch
oder ausgeschrieben
- .
Ein Satz von Yor über brownsche Exponentialfunktionale
Von Yor ([3]) stammt nachfolgende Aussage über den Zusammenhang zwischen der unnormierten Hartman-Watson-Dichte und brownschen Exponentialfunktionalen.
Sei eine eindimensionale brownsche Bewegung mit Drift , die in beginnt, und sei durch das Funktional
definiert. Dann ist die Verteilung von für durch
Einzelnachweise
- Philip Hartman und Geoffrey S. Watson: Normal" Distribution Functions on Spheres and the Modified Bessel Functions. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 2, Nr. 4, 1974, S. 593 -- 607, doi:10.1214/aop/1176996606.
- Marc Yor: Loi de l'indice du lacet Brownien, et distribution de Hartman-Watson. In: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiete. Band 53, 1980, S. 71–95, doi:10.1007/BF00531612.
- Marc Yor: On Some Exponential Functionals of Brownian Motion. In: Advances in Applied Probability. Band 24, Nr. 3, 1992, S. 509–531, doi:10.2307/1427477.
- Hiroyuki Matsumoto und Marc Yor: Exponential functionals of Brownian motion, I: Probability laws at fixed time. In: Institute of Mathematical Statistics and Bernoulli Society (Hrsg.): Probability Surveys. Band 2, 2005, S. 312 - 347, doi:10.1214/154957805100000159.
Bemerkungen
- ist eine andere Schreibweise für ein Wahrscheinlichkeitsmaß .