Harmonische Norm

Sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die harmonische Norm einer de-Rham-Kohomologie-Klasse ist definiert als die ${\displaystyle L^{2}}$-Norm des (nach dem Satz von Hodge) harmonischen Repräsentanten der Kohomologieklasse, äquivalent als das Infimum über die ${\displaystyle L^{2}}$-Norm geschlossener Differentialformen in der Kohomologieklasse. Dabei ist die ${\displaystyle L^{2}}$-Norm einer Differentialform ${\displaystyle \alpha }$ definiert durch

${\displaystyle \Vert \alpha \Vert _{L^{2}}=\int _{M}\alpha \wedge *\alpha }$

mit dem Hodge-Stern-Operator ${\displaystyle *}$.

Für die Gromov-Norm ${\displaystyle \Vert \alpha \Vert _{1}}$ einer Homologieklasse ${\displaystyle \alpha \in H_{k}(M)}$ und die harmonische Norm der Poincaré-dualen Kohomologieklasse ${\displaystyle \alpha ^{*}}$ gilt die Ungleichung[1]

${\displaystyle \Vert \alpha \Vert _{1}\leq k!(n-1)^{k}{\sqrt {vol(M)}}\Vert \alpha ^{*}\Vert _{L^{2}}}$,

wenn ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Ricci-Krümmung ${\displaystyle Ric\geq -(n-1)}$ ist.

Umgekehrt lassen sich für negativ gekrümmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten oder lokal symmetrische Räume nichtkompakten Typs bei Homologieklassen nichtverschwindender Gromov-Norm obere Schranken für die harmonische Norm in Abhängigkeit vom Injektivitätsradius und der Gromov-Norm angeben.[2]

• N. Bergeron, M. H. Șengün, A. Venkatesh: Torsion homology growth and cycle complexity of arithmetic manifolds. Duke Math. J. 165, No. 9, 1629–1693 (2016).
• N. Dunfield, J. Brock: Norms on the cohomology of hyperbolic 3-manifolds. Invent. Math. 210, No. 2, 531–558 (2017).
• C. Connell, S. Wang: Homological norms on nonpositively curved manifolds. Comment. Math. Helv. 97, No. 4, 801–825 (2022).

1. Connell-Wang (op.cit.), Theorem 1.5
2. Connell-Wang (op.cit.), Theorem 1.6 und Theorem 1.9