Methode der harmonischen Balance

Modell der System-Ruhelagen: Zustand 1 ist gegenüber kleinen Störungen stabil und geht bei großen Störungen in Zustand 3 über. Zustand 2 ist labil.

Eine Ruhelage eines dynamischen Systems im schwingungsfreien Zustand ist asymptotisch stabil, wenn nach einer Signalstörung die Ausgangsgröße ${\displaystyle y(t)}$ wieder in die Ruhelage zurückkehrt. Ein stabiles System neigt dazu, seinen momentanen Zustand beizubehalten, auch wenn Störungen von außen einwirken. Zu jedem Stabilitätsbereich gehört eine Ruhelage und ein Einzugsbereich der Ruhelage. Hat ein nichtlinearer Regelkreis nur eine Ruhelage, so kann man annehmen, dass seine Ausgangsgröße ${\displaystyle y(t)}$ global asymptotisch stabil ist, sofern keine Dauerschwingungen auftreten.

Nichtlineare dynamische Systeme sind im Gegensatz zu linearen Systemen von Anfangsbedingungen und des Eingangssignals der statischen Nichtlinearität abhängig. Je nach Funktion der statischen Nichtlinearität kann stabiles und instabiles Verhalten auftreten. Nichtlineare Systeme können bei Einsatz von sogenannten Kennlinien-Reglern im Regelkreis gewollte Schwingungen hervorrufen. Solche stationären Dauerschwingungen werden auch als Grenzschwingungen bezeichnet. Grenzschwingungen können stabil, instabil und semistabil sein.

Nichtlineare Regelsysteme können im Gegensatz zu linearen Systemen mehrere Ruhelagen haben. Ein Pendel wird mit seinen Massen der potentiellen und kinetischen Energien durch eine Differenzialgleichung 2. Ordnung beschrieben, in der der Winkel ${\displaystyle \varphi }$ als 2. Ableitung und nichtlinear auftritt. Bewertet man den Winkel des Befestigungspunktes mit 90°, dann hat das Pendel eine Ruhelage bei 270° und einen Einzugsbereich der Ruhelage > 90° und < 90° und eine instabile Ruhelage von 90° im Koordinatensystem.

Ein nichtlineares dynamisches System mit der Ausgangsgröße ${\displaystyle y(t)}$ hat folgendes Verhalten bei Auslenkung aus einer instabilen Ruhelage:

• ${\displaystyle y(t)}$ geht in eine andere Ruhelage über,
• ${\displaystyle y(t)}$ strebt in Richtung ${\displaystyle \infty }$,
• ${\displaystyle y(t)}$ macht eine Dauerschwingung.

Mit der Harmonischen Balance lässt sich klären, ob Grenzschwingungen auftreten können und ob sie stabil oder instabil sind und welche Frequenz und (Eingangs-)Amplitude sie haben.

Ein dynamisches System verhält sich linear, wenn die Wirkungen zweier linear überlagerter Eingangssignale sich am Ausgang des Systems in gleicher Weise linear überlagern. Das System verhält sich linear, wenn es das Superpositionsprinzip (Siehe auch: Superpositionsprinzip der Physik) und das Verstärkungsprinzip erfüllt.

Ein Übertragungssystem ist intern stabil, wenn alle (Teil-)Übertragungsfunktionen nur Pole in der linken s-Halbebene haben. Ein Übertragungssystem gilt als extern stabil, wenn jedes beliebige beschränkte Eingangssignal an dem System auch ein beschränktes Ausgangssignal hervorruft. (Siehe BIBO-Stabilität)

Blockschaltbild eines einfachen Standardregelkreises

Die Stabilitätsgrenze eines linearen Regelkreises ist nach dem vereinfachten Stabilitätskriterium von Nyquist erreicht, wenn die Ortskurve des Frequenzgangs (Siehe auch PT2-Glied) des offenen Regelkreises genau den kritischen Punkt −1 der Abszisse des Realteils schneidet. Für Werte des Schnittpunktes ${\displaystyle \operatorname {Re} <-1}$ entstehen aufklingende Schwingungen des geschlossenen Regelkreises.

Damit gilt für die Stabilität der Grenzschwingung der kritischen Frequenz ${\displaystyle \omega _{\mathrm {krit} }}$ des offenen Regelkreises:

${\displaystyle F_{0}(\mathrm {j} \omega _{\mathrm {krit} })=-1}$.

Zur Ermittlung der Ortskurve wird der komplexe Frequenzgang in Real- und Imaginärteil zerlegt und für verschiedene Werte der Frequenz ${\displaystyle \omega }$ in der Gaußschen Zahlenebene eingetragen.

• Aus einer gegebenen Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ oder einem Frequenzgang ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ in Produktdarstellung wird der Nenner des Frequenzgangs als Polynom ausmultipliziert und in Realteil und Imaginärteil geordnet.
• Damit der imaginäre Anteil im Nenner des Frequenzgangs verschwindet, muss der Real- und Imaginärteil des Nenners mit sich selbst aber mit umgekehrten Vorzeichen mit der Frequenzganggleichung multipliziert werden.

Beispiel: ${\displaystyle (x+\mathrm {j} \omega )\cdot (x-\mathrm {j} \omega )=x^{2}-\mathrm {j} ^{2}\omega ^{2}=x^{2}+\omega ^{2}}$

[ Anmerkung: ${\displaystyle (\mathrm {j} \omega )^{2}=-\omega ^{2};(\mathrm {j} \omega )^{3}=-\mathrm {j} \omega ^{3}}$ ]

• Der Zähler wird mit dem Real- und Imaginärteil des Nenners multipliziert, damit die Gleichung mit der ursprünglichen Aussage unverändert ist.
• Der Zähler wird nach Realteil und Imaginärteil geordnet.

Ortskurve des Frequenzgangs

Gegeben: Übertragungsfunktion 3. Ordnung mit globalem I-Verhalten und der Verstärkung ${\displaystyle K}$.

${\displaystyle G(s)={\frac {K}{s\cdot (T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)}}}$

${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )={\frac {K}{\mathrm {j} \omega \cdot (T_{1}\cdot \mathrm {j} \omega +1)(T_{2}\cdot \mathrm {j} \omega +1)}}={\frac {K}{-(T_{1}+T_{2})\cdot \omega ^{2}+\mathrm {j} \cdot \left(\omega -T_{1}\cdot T_{2}\cdot \omega ^{3}\right)}}}$

Wird der Realteil des Nenners mit der Hilfsgröße ${\displaystyle a=-(T_{1}+T_{2})\omega ^{2}}$ und der Imaginärteil des Nenners mit der Hilfsgröße ${\displaystyle b=\omega -T_{1}T_{2}\omega ^{3}}$ bezeichnet, kann der Frequenzgang ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ für den Realteil und den Imaginärteil wie folgt berechnet werden:

Zunächst werden die Zahlenwerte der Hilfsgrößen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ als Funktion von ${\displaystyle \omega =0}$ bis ${\displaystyle \omega =\infty }$ in Stufen von ${\displaystyle \omega }$-Werten errechnet und in die unten stehende Gleichung des Frequenzgangs ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ eingesetzt. Die so errechneten realen und imaginären Anteile des Frequenzgangs werden in das Diagramm der Gaußschen Zahlenebene als Ortskurve des Frequenzgangs eingetragen.

Ortskurve des Frequenzgangs ${\displaystyle G(j\omega )}$

${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )={\frac {K\cdot a}{a^{2}+b^{2}}}-\mathrm {j} {\frac {K\cdot b}{a^{2}+b^{2}}}}$

Sprungantwort vor und an der Stabilitätsgrenze.

Zahlenbeispiel der Stabilitätsgrenze eines linearen Regelkreises:

Gegeben: Offener Regelkreis mit einem P-Regler: ${\displaystyle K=8}$ und einer Regelstrecke 3. Ordnung, ${\displaystyle T=1}$:

${\displaystyle G_{0}(s)={\frac {8}{(T\cdot s+1)^{3}}}}$

Gesucht: Verhalten der Sprungantwort für die Führungsgröße ${\displaystyle w(t)=1}$ des geschlossenen Regelkreises.

Nach dem Schließen des Regelkreises mit dieser ungünstigen Regelstrecke mit drei gleichen Zeitkonstanten wird bereits bei der Verstärkung ${\displaystyle K=8}$ die Stabilitätsgrenze für eine konstante Amplitude der Regelgröße erreicht. Die Ortskurve durchläuft als ${\displaystyle f(\omega =2\pi f)}$ beginnend bei ${\displaystyle f(\omega =0)}$ mit dem Wert ${\displaystyle \operatorname {Re} =8,\omega =0;\operatorname {Im} =0}$ den 4., 3. und 2. Quadranten und schneidet die Abszisse des Realteils bei genau ${\displaystyle \operatorname {Re} =-1,\operatorname {Im} =0}$.

Die Form der Ortskurve ändert sich nicht, solange die drei Zeitkonstanten einen beliebigen aber untereinander den gleichen Wert ${\displaystyle (T_{1}=T_{2}=T_{3}=T)}$ haben. Die Größe der Zeitkonstante ${\displaystyle T}$ hat dann eine Bedeutung, wenn das Zeitverhalten des Regelkreises z. B. als Sprungantwort der Führungsgröße dargestellt werden soll. Drei gleiche Zeitkonstanten in einer Regelstrecke mit drei Verzögerungsgliedern stellen regelungstechnisch das ungünstigste Zeitverhalten bezüglich der Stabilität des Regelkreises dar.

Wird die Verstärkung ${\displaystyle K>8}$ erhöht, dann treten progressiv zunehmend größere Amplituden mit steigender Zeit auf. Die Ortskurve des Frequenzgangs schneidet die Abszisse bei Werten < −1. Wird die Verstärkung ${\displaystyle K<8}$ reduziert, dann nehmen die Amplituden der Regelgröße einen aperiodischen gedämpften Verlauf und die Regelgröße nimmt nach der Einschwingzeit einen konstanten Wert an. Die Ortskurve schneidet die Abszisse bei Werten > −1.

Besteht die Regelstrecke nur aus einem Verzögerungssystem 2. Ordnung mit einem P-Regler beliebig hoher Verstärkung, kann es theoretisch nicht zu Dauerschwingungen kommen, weil die Ortskurve des Frequenzgangs nur den 4. und 3. Quadranten der gaußschen Zahlenebene durchläuft und den kritischen Punkt ${\displaystyle \operatorname {Re} =-1}$ nicht treffen kann.

Anmerkung: Für die Berechnung des Schwingungszustandes eines nichtlinearen dynamischen Systems nach dem Zwei-Ortskurven-Verfahren ist die Kenntnis der Konstruktion der Ortskurve des Frequenzgangs des linearen Systems erforderlich!

Allgemeine Darstellung des nichtlinearen Regelkreises

Dynamische Systeme werden durch Differenzialgleichungen (DGL) beschrieben. Enthält die DGL oder die gesuchte Funktion oder deren Ableitungen eine Potenz ${\displaystyle n>1}$ oder Produkte der gesuchten Funktion oder Winkelfunktionen, Logarithmen usw. in den Argumenten, handelt es sich um eine nichtlineare DGL und das System verhält sich nichtlinear. Nichtlineare Differenzialgleichungen sind nur in sehr seltenen Ausnahmefällen analytisch lösbar. Sie können aber mittels der numerischen zeitdiskreten Methoden oder mit kommerziellen Rechenprogrammen (Simulink) relativ einfach berechnet werden.

Bei einem nichtlinearen statischen System kann die Übertragungskennlinie als eine in weiten Grenzen sich ändernde Verstärkung angesehen werden. Das System antwortet auf ein sinusförmiges Eingangssignal meist mit einer Verzerrung der Schwingung des Eingangssignals gleicher Frequenz und einer Phasenverschiebung. Lediglich ein symmetrisches Zweipunkt-Element (Zweipunktregler) ohne Hysterese, ohne Totzone und Signalbegrenzung antwortet auf eine sinusförmige Eingangsschwingung mit einer Rechteckschwingung der gewählten Rechteck-Amplitude ${\displaystyle u(t)=\pm U_{\mathrm {max} }=\pm d}$ der gleichen Frequenz ohne eine Phasenverschiebung.
(${\displaystyle d}$ ist der Kennlinien-Hilfspunkt der nichtlinearen Kennlinie zu einer sinusförmigen Eingangs-Schwingung ${\displaystyle e(t)}$)

Das einfache symmetrische Zweipunkt-Element mit der Rechteck-Amplitudenhöhe ${\displaystyle \pm d}$ definiert sich als Signumfunktion mit ${\displaystyle u(t)}$ als Ausgangsgröße:

${\displaystyle u(t)=f[e(t)]=d\cdot \operatorname {sign} [e(t)]{\begin{cases}d&{\text{für}}\;e(t)>0,\ {\text{stabil}}\\0&{\text{für}}\;e(t)=0,\ {\text{instabil}}\\-d&{\text{für}}\;e(t)<0,\ {\text{stabil.}}\end{cases}}}$

Das Zweipunkt-Element hat zwei Ruhelagen. Es erzeugt in Abhängigkeit von dem Eingangssignals ${\displaystyle e(t)}$ zwei Stellgrößen. Der Zustand ${\displaystyle u(t)=0}$, für ${\displaystyle e(t)=0}$ ist nur dann ein stationärer Wert, wenn dem Zweipunkt-Element eine Totzone ${\displaystyle {\mathit {TZ}}=c}$ (${\displaystyle c}$ ist Kennlinien-Hilfspunkt) eingerichtet wird. Damit würde aus dem Zweipunkt-Element ein Dreipunkt-Element entstehen.

Sonderfälle sind statische nichtlineare Systeme mit quadratischer oder exponentieller Kennlinie. Ein sinusförmig erregtes System mit quadratischer Kennlinie antwortet mit einer Sinusschwingung der doppelten Frequenz und Gleichanteil (verschobener Arbeitspunkt); ein System mit exponentieller Kennlinie antwortet mit einem sinusähnlichen Impuls mit großem Oberwellenanteil.

Wird ein nichtlineares dynamisches System 2. und höherer Ordnung durch ein sinusförmiges Eingangssignal ${\displaystyle e(t)}$ angeregt, antwortet es meistens mit einer angenähert sinusförmigen Schwingung gleicher Frequenz, aber anderer Amplitude und einer Phasenverschiebung. Ist das statische nichtlineare System ein schaltender Regler, so wird in einem Regelkreis trotz steiler Impulsflanken des rechteckförmigen Regler-Ausgangssignals ${\displaystyle \pm U_{\mathrm {max} }}$ bei genügend großer Frequenz von ${\displaystyle e(t)}$ und ${\displaystyle u(t)}$ durch das Tiefpassverhalten des linearen dynamischen Systems ein angenähert sinusförmiges Ausgangssignal ${\displaystyle y(t)}$ erreicht.

Durch dieses Verhalten ist die „Harmonische Linearisierung“ begründet: die Rechteckschwingung mit ihrem großen Oberwellen-Anteil als Eingangsgröße ${\displaystyle u(t)}$ wird nur in ihrer Grundschwingung entsprechender Amplitude berücksichtigt. Damit kann das nichtlineare statische System ${\displaystyle N}$ in Abhängigkeit von der Amplitude ${\displaystyle e_{\mathrm {max} }=A}$ der Sinusschwingung des Eingangssignals ${\displaystyle e(t)}$ beschrieben werden.

Nichtlineare Systeme sind häufig einzigartig, jedoch können aus dem nichtlinearen statischen System Verhaltensweisen definiert werden, die bei gegebenen Parametern eine System-Beschreibungsfunktion erlauben. Darunter fallen Elemente mit Begrenzung, Totzone, Hysterese, progressiver Kennlinie und die sogenannten Kennlinienregler wie Zweipunkt- und Mehrpunktregler, die sich in zahlreichen Varianten wie folgt darstellen:

• Zweipunkt-Element (Zweipunktregler) symmetrisch und unsymmetrisch mit und ohne Hysterese
• Dreipunkt-Element (Dreipunktregler) symmetrisch und unsymmetrisch mit und ohne Hysterese
• Mehrpunkt-Element
• Element mit progressiver Kennlinie symmetrisch und unsymmetrisch
• Element mit degressiver Kennlinie, symmetrisch und unsymmetrisch
• Elemente mit Begrenzung symmetrisch und unsymmetrisch
• Elemente mit Totzone symmetrisch und unsymmetrisch
• Elemente mit Totzone und Begrenzung
• Elemente mit Vorspannung
• Gleichrichter-Element
• Betragselement

Laut der Fachliteratur können bis zu 40 unterschiedliche Beschreibungsfunktionen nichtlinearer statischer Systeme entnommen werden, die das nichtlineare Systemverhalten ${\displaystyle N(A)}$ nur für ein periodisches sinusförmiges Eingangssignal ${\displaystyle e(t)=e_{\text{max}}\sin(\omega t)}$ mit der Amplitude ${\displaystyle A=e_{\mathrm {max} }}$ und das Ausgangssignal ${\displaystyle u(t)}$ nur mit der Grundwelle beschreiben.

In der bekannten Fachliteratur der Regelungstechnik sowie in den aktuellen Vorlesungsmanuskripten deutscher Hochschulen findet man für die Harmonische Linearisierung kaum eine identische mathematische Ableitung aus der Fourieranalyse, noch identische System- und Signalbezeichnungen. Ursache sind die verschiedenen Signalbezeichnungen z. B. mit Xe, Xa, E, U, X, Y, der Gleichungsaufbau der Fourieranalyse und die Bezeichnungen der geometrischen Eckpunkte der nichtlinearen Kennlinien.

Die Gleichung der Fourieranalyse und deren Vereinfachung unterscheiden sich durch die unterschiedliche Verwendung der harmonischen Sinus- oder Kosinusschwingung mit und ohne Gleichanteile, unterschiedliche Integrationsgrenzen und unterschiedliche Berechnung der Koeffizienten. Auch sind die Ergebnisse der Beschreibungsfunktionen unter verschiedenen Namen (öfter ${\displaystyle N(A)}$, ${\displaystyle N(U_{0})}$, ${\displaystyle B({\hat {X}}e)}$, ${\displaystyle N({\hat {X}}e)}$) als Funktion der Amplitude der Eingangsgröße des nichtlinearen Systems mit zahlreichen Kennlinien-Regler-Funktionen nicht übereinstimmend, weil die geometrischen Eckwerte der Kennlinien-Beschreibung mit den Hilfsgrößen (meist ${\displaystyle a,b,c,d}$) in unterschiedlicher Weise benutzt werden.

Trotz der unterschiedlichen mathematischen Wege, die zu der Gleichung der Harmonischen Balance führen, ist das Ergebnis überall identisch. Das Verständnis der Ortskurve des Frequenzgangs des linearen Systems ist erforderlich und ebenso das Verständnis der Ortskurve der Beschreibungsfunktion des nichtlinearen statischen Systems. Aus der Fachliteratur können die zahlreichen Beschreibungsfunktionen der nichtlinearen statischen Systeme mit den zugehörigen Skizzen der Kennlinien und der Ortskurven entnommen werden. Die unterschiedlichen geometrischen Eckwerte mit der Kennlinienskizze (${\displaystyle a,b,c,d}$) der Beschreibungsfunktion können leicht den verschiedenen Quellen der Fachliteratur zugeordnet werden.

Nachfolgend wird von den international verwendeten Systemgrößen des Regelkreises ausgegangen: Führungsgröße ${\displaystyle w(t)=0}$, Reglereingangsgröße ${\displaystyle e(t)}$, Reglerausgangsgröße (Nichtlinearität) ${\displaystyle u(t)}$ und linearer Regelstrecken-Ausgang ${\displaystyle y(t)}$. Die folgenden dargestellten mathematischen Ableitungen sind der Fachliteratur[1] nachempfunden.

Die Methode der Harmonischen Linearisierung geht gemäß dem Hammerstein-Modell von der Annahme aus, dass die von dem nichtlinearen System erzeugten Oberwellen durch das nachfolgende lineare System mit Tiefpassverhalten als unwirksam (gefiltert) werden.

Aus der Sicht der Regelungstechnik wird für ein nichtlineares dynamisches System häufig das Hammerstein-Modell – im Gegensatz zum Wiener-Modell – eingesetzt, weil in vielen Fällen die zum Regler gehörende Stellgröße nichtlinear ist.

Das Verhalten des Reglers als nichtlineares statisches System ${\displaystyle N}$ kann durch eine in weiten Grenzen sich ändernde Verstärkung angesehen werden, wodurch bei einem sinusförmigen Eingangssignal ${\displaystyle e(t)=e_{\mathrm {max} }\sin(\omega t)}$ eine Signalverzerrung und Phasenverschiebung ${\displaystyle \varphi }$ des Ausgangssignals ${\displaystyle u(t)=f[e(t),N(e_{\mathrm {max} })]}$ hervorgerufen wird. Häufig ist die Abhängigkeit von ${\displaystyle N(e_{\mathrm {max} })}$ durch bekannte Parameter oder durch die Größe der Amplitude ${\displaystyle e_{\mathrm {max} }}$ des sinusförmigen Eingangssignals ${\displaystyle e(t)}$ bestimmt, deshalb ist das Großsignal-Verhalten des Systems zu untersuchen, „Stabilität im Großen“. Manche Kennlinienregler sprechen erst an, wenn das Eingangssignal eine Mindestgröße erreicht.

Für eindeutige nichtlineare Kennlinien wie das Zweipunkt-Element, d. h. für jedes statische Eingangssignal ${\displaystyle e(t)}$ gibt es nur ein statisches Ausgangssignal ${\displaystyle u(t)}$, ist die Beschreibungsfunktion reell, d. h. die Phasenverschiebung ${\displaystyle \varphi =0}$.

Darstellung des nichtlinearen Regelkreises im Zustand der Harmonischen Balance

Die Eingangsgröße ${\displaystyle e(t)}$ des statischen nichtlinearen Systems soll eine Sinusschwingung ohne Gleichanteil sein:

${\displaystyle e(t)=e_{\mathrm {max} }\cdot \sin(\omega \cdot t)}$.

Die Amplitude ${\displaystyle e_{\mathrm {max} }}$ der Eingangs-Sinusschwingung wird häufig in der Fachliteratur mit ${\displaystyle e_{\mathrm {max} }=A}$ bezeichnet.

Die verzerrte Ausgangsschwingung ${\displaystyle u(t)}$ lässt sich als Fourier-Reihe schreiben, als eine Summe aus einem Gleichwert ${\displaystyle a_{0}}$ und aus den Sinussignalen der Grundfrequenz ${\displaystyle a_{1}\sin(\omega _{0}t+\phi _{1})}$ und den harmonischen Oberschwingungen als Vielfache der Grundfrequenz:

${\displaystyle u(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cdot \cos \left({\frac {n2\pi t}{T}}\right)+b_{n}\cdot \sin \left({\frac {n2\pi t}{T}}\right)\right]\quad {\text{mit}}\quad \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f}$.

Die Ausgangsgröße ${\displaystyle u(t)}$ kann je nach Verhalten des nichtlinearen Systems einen Gleichanteil ${\displaystyle a_{0}}$ enthalten. Es interessiert aber nur das Schwingverhalten.

Wenn das nachgeschaltete lineare System ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ die verzerrte sinusähnliche Eingangsschwingung ${\displaystyle u(t)}$ als Tiefpassfilter stark genug dämpft, werden die hohen Frequenzen im Vergleich zu den niedrigeren sehr stark unterdrückt. Für diese Betrachtung werden die Anteile der Oberschwingungen als vernachlässigbar angenommen.

${\displaystyle u(t)\approx a_{0}+a_{1}\cos(\omega \cdot t)+b_{1}\sin(\omega \cdot t)}$

Die Beschreibungsfunktion des statischen nichtlinearen Systems ergibt sich durch das Verhältnis der Grundwellen des Ausgangssignals ${\displaystyle u_{1}(t)}$ zum Eingangssignal ${\displaystyle e_{1}(t)}$. Sie berücksichtigt nur die Grundschwingung des Ausgangssignals ohne den Gleichanteil ${\displaystyle a_{0}}$.

Eingangssignal:

${\displaystyle e_{1}(t)=e_{\mathrm {max} }\cdot \sin(\omega \cdot t)}$

Ausgangssignal:

${\displaystyle u_{1}(t)=a_{1}\cos(\omega \cdot t)+b_{1}\sin(\omega \cdot t)}$

Mit der komplexen Darstellung der beiden Signale ergibt sich die Beschreibungsfunktion nach der Euler-Formel:

${\displaystyle \cos(\omega \cdot t)+\mathrm {j} \cdot \sin(\omega \cdot t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}}$

${\displaystyle (\cos(\omega \cdot t)+\mathrm {j} \cdot \sin(\omega \cdot t))\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \pi /2}=-\mathrm {j} \cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}}$

${\displaystyle e_{1}(t)=\operatorname {Re} {(-\mathrm {j} \cdot e_{\mathrm {max} }\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t})}\Rightarrow {\tilde {e}}_{1}(t)=-\mathrm {j} \cdot e_{\mathrm {max} }\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}}$

${\displaystyle u_{1}(t)=\operatorname {Re} {((a_{1}-\mathrm {j} \cdot b_{1})\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t})}\Rightarrow {\tilde {u}}_{1}(t)=(a_{1}-\mathrm {j} \cdot b_{1})\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}}$.

${\displaystyle N(e_{\mathrm {max} })={\frac {{\tilde {u}}_{1}(\mathrm {j} \omega t)}{{\tilde {e}}_{1}(\mathrm {j} \omega t)}}={\frac {(a_{1}-\mathrm {j} \cdot b_{1})\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}}{-\mathrm {j} \cdot e_{\mathrm {max} }\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}}}}$

Die Eingangsamplitude ${\displaystyle e_{\mathrm {max} }}$ der Sinusschwingung des nichtlinearen Systems wird häufig auch mit ${\displaystyle A}$ bezeichnet.

${\displaystyle N(A)={\frac {b_{1}+\mathrm {j} a_{1}}{A}}={\frac {b_{1}}{A}}+\mathrm {j} {\frac {a_{1}}{A}}}$

${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle b_{1}}$ sind die Koeffizienten der ersten Grundschwingungen des nichtlinearen Systems.

Für die zahlreichen Formen der sogenannten Kennlinienregler lassen sich anhand der Geometrie der Kennlinien mit diesen Koeffizienten (häufig mit ${\displaystyle a,b,c,d}$ bezeichnet) die Fourier-Koeffizienten ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle b_{1}}$ der nichtlinearen Beschreibungsfunktionen ${\displaystyle N(A)}$ errechnen.

${\displaystyle a_{1}={\frac {2}{T}}\cdot \int _{-T/2}^{T/2}u(t)\cdot \cos(\omega t)\,\mathrm {d} t\qquad {\text{mit}}\quad \omega ={\frac {2\pi }{T}}}$

${\displaystyle b_{1}={\frac {2}{T}}\cdot \int _{-T/2}^{T/2}u(t)\cdot \sin(\omega t)\,\mathrm {d} t\qquad {\text{mit}}\quad \omega ={\frac {2\pi }{T}}}$

Die Beschreibungsfunktionen sind abhängig von der Funktion des nichtlinearen Kennlinien-Elements.

• Der Ausgang eines symmetrischen Zweipunkt-Elements schwingt als Funktion der Eingangsschwingung synchron mit den Nulldurchgängen ohne Phasenverschiebung.
• Unsymmetrische Mehrpunkt-Elemente (Amplitude ${\displaystyle d\neq \left|-d\right|}$) erzeugen einen Gleichanteil.
• Bei Kennlinien-Elementen mit Hysteresefunktionen sind die Beschreibungsfunktionen komplex.

Die Beschreibungsfunktionen kann man als einen „Ersatzfrequenzgang“ eines nichtlinearen Systems bezeichnen. Sie hängt von der Amplitude ${\displaystyle A}$ der Eingangsschwingung ${\displaystyle e(t)}$ und der Frequenz der Dauerschwingung ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ab und wird mit ${\displaystyle N(A,\omega )}$ definiert. Zum Unterschied des linearen Frequenzgangs mit der Abhängigkeit von ${\displaystyle \omega }$, ist die Beschreibungsfunktion im Wesentlichen von der Amplitude ${\displaystyle A}$ als unabhängige Variable abhängig. Bei rein statischer Nichtlinearität entfällt die Abhängigkeit von der Frequenz. Nachfolgend werden die Beschreibungsfunktionen als frequenzunabhängig für statische Nichtlinearitäten betrachtet als ${\displaystyle N(A)}$.

Die Aufstellung und umfangreichen Ableitungen der Beschreibungsfunktionen ${\displaystyle N(A)}$ der zahlreichen Kennlinien-Elemente sind der Fachliteratur der Regelungstechnik zu entnehmen. Die jeweiligen Beschreibungsfunktionen ${\displaystyle N(A)}$ der nichtlinearen statischen Systeme sind alle als algebraische Funktionen abgeleitet, lediglich die relevanten geometrischen Eckpunkte mit den Buchstaben ${\displaystyle a,b,c,d}$ unterscheiden sich, können aber leicht anhand der beigefügten Kennlinien-Skizzen zugeordnet werden.

Die nachfolgenden Beschreibungsfunktionen ${\displaystyle N(A)}$ gelten nur für Anwendungen im Zustand der Harmonischen Balance.[2]

Benennung Nichtlineares System	Beschreibungsfunktion ${\displaystyle N(A)=\operatorname {Re} \left(N(A)\right)+\mathrm {j} \operatorname {Im} \left(N(A)\right)}$	Nichtlineare Kennlinie und invertierte Ortskurve ${\displaystyle -{\frac {1}{N(A)}}}$
Zweipunkt-Regler ${\displaystyle u={\begin{cases}-d&{\text{für}}\;e<0\\0&{\text{für}}\;e=0\\d&{\text{für}}\;e>0\end{cases}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \left(N(A)\right)&={\frac {4\cdot d}{\pi \cdot A}}\\\operatorname {Im} \left(N(A)\right)&=0\end{aligned}}}$
Zweipunkt-Regler mit Hysterese ${\displaystyle u={\begin{cases}-d&{\text{für}}\;e\leq -c\\-d,d&{\text{für}}\;-c<e<c\\d&{\text{für}}\;c\leq e\end{cases}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \left(N(A)\right)&={\frac {4\cdot d}{\pi \cdot A}}\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {c}{A}}\right)^{2}}}\\\operatorname {Im} \left(N(A)\right)&=-{\frac {4\cdot c\cdot d}{\pi \cdot A^{2}}}\\{\text{mit}}\;A\geq c\end{aligned}}}$[3]
Element mit Begrenzung (Sättigung) ${\displaystyle k=\tan \alpha =d/c}$ ${\displaystyle u={\begin{cases}-d&{\text{für}}\;e<-c\\k\cdot e&{\text{für}}\;-c\leq e\leq c\\d&{\text{für}}\;c<e\end{cases}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \left(N(A)\right)&={\frac {2\cdot d}{\pi \cdot c}}\cdot \arcsin \left({\frac {c}{A}}\right)+{\frac {2\cdot d}{\pi \cdot A}}\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {c}{A}}\right)^{2}}}\\\operatorname {Im} \left(N(A)\right)&=0\\{\text{mit}}\;A\geq c\end{aligned}}}$
Element mit Totzone ${\displaystyle k=\tan \alpha =d/(c_{0}-c)}$ ${\displaystyle u={\begin{cases}k\cdot (e+c)&{\text{für}}\;e<-c\\0&{\text{für}}\;-c\leq e\leq c\\k\cdot (e-c)&{\text{für}}\;c<e\end{cases}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \left(N(A)\right)&=k-{\frac {2\cdot k}{\pi }}\cdot \arcsin \left({\frac {c}{e}}\right)-{\frac {2\cdot k\cdot c}{\pi \cdot e}}\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {c}{A}}\right)^{2}}}\\\operatorname {Im} \left(N(A)\right)&=0\\{\text{mit}}\;A\geq c\end{aligned}}}$
Dreipunkt-Regler (= Zweipunkt-Regler mit Totzone) ${\displaystyle u={\begin{cases}-d&{\text{für}}\;e\leq -c\\0&{\text{für}}\;-c<e<c\\d&{\text{für}}\;c\leq e\end{cases}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \left(N(A)\right)&={\frac {4\cdot d}{\pi \cdot A}}\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {c}{A}}\right)^{2}}}\\\operatorname {Im} \left(N(A)\right)&=0\\{\text{mit}}\;A\geq c\end{aligned}}}$

Bei komplizierten nichtlinearen Beschreibungsfunktionen oder linearen Systemen höherer Ordnung kann die formelmäßige Lösung sehr schwierig werden. In diesem Fall wählt man die anschauliche grafische Lösung des Zwei-Ortskurven-Verfahrens.

Die gesuchten unbekannten Größen sind die Amplitude ${\displaystyle A}$ der Nichtlinearität und die Frequenz ${\displaystyle \omega }$, mit der das nichtlineare dynamische System schwingt.[4]

Die Gleichung der Harmonischen Balance wird umgeformt, um zunächst ${\displaystyle A}$ berechnen zu können:

${\displaystyle N(A)=-{\frac {1}{G(\mathrm {j} \omega )}}}$.

Schreibt man die Gleichung in Realteil und Imaginärteil:

${\displaystyle \operatorname {Re} N(A)=-\operatorname {Re} {\frac {1}{G(\mathrm {j} \omega )}}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} N(A)=-\operatorname {Im} {\frac {1}{G(\mathrm {j} \omega )}}}$.

Damit ergeben sich zwei reelle Gleichungen. Handelt es sich um eindeutige nichtlineare Kennlinien, d. h. für jede Eingangsgröße existiert eine eindeutige Ausgangsgröße wie bei den Zweipunkt- und Dreipunkt-Elementen, so wird die Beschreibungsfunktion mit dem Imaginärteil zu Null:

${\displaystyle \operatorname {Im} {\frac {1}{G(\mathrm {j} \omega )}}=0}$.

Die Lösung des Gleichungssystems vereinfacht sich auf die Lösung zweier getrennter Gleichungen. Zuerst werden die Pole von ${\displaystyle \omega }$ des linearen Systems aus ${\displaystyle \operatorname {Im} 1/G(j\omega )=0}$ bestimmt und in die rechte Seite der nachfolgenden Gleichung eingesetzt. So kann ${\displaystyle A}$ berechnet werden mit:

${\displaystyle \operatorname {Re} N(A)=-\operatorname {Re} {\frac {1}{G(\mathrm {j} \omega )}}}$.

Die grafische Methode ist sehr anschaulich. Man erhält die Amplitude ${\displaystyle A}$ und die Frequenz der Dauerschwingung ${\displaystyle \omega }$ des nichtlinearen Regelkreises, wenn sich ein Schnittpunkt der beiden Ortskurven des Frequenzgangs ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ und der negativen invertierten Beschreibungsfunktion ${\displaystyle -1/N(A)}$ ergibt. Es lässt sich feststellen, ob es in einem Regelkreis zu Dauerschwingungen kommt und ob mehrere Dauerschwingungen möglich sind.

Darstellung des Zwei-Ortskurven-Verfahrens der Harmonischen Balance

Die in der Gleichung der Harmonischen Balance dargestellte negative, invertierte Ortskurve der Beschreibungsfunktion ${\displaystyle N(A)}$ kann in das gleiche Diagramm der Ortskurve des Frequenzgangs ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ als ${\displaystyle {\frac {-1}{N(A)}}}$ eingetragen werden, mit den Ortskurven-Parametern von ${\displaystyle A}$. Schwingt das System, ergibt sich ein Schnittpunkt der beiden Ortskurven. Daraus kann die Amplitude ${\displaystyle A}$ und die Frequenz ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ abgelesen werden.

Je nach Art des nichtlinearen Systems ist die Lage der negativen inversen Ortskurve auf der realen Achse des Koordinatensystems eine Gerade und hat keine imaginären Anteile. Bei nichtlinearen Systemen mit einer Hysterese handelt es sich um eine im negativen imaginären Bereich versetzte Gerade. Bei nichtlinearen Systemen mit Dreipunktregler und Hysterese handelt es sich um ein Kennlinienfeld.

Je nach Art der Ortskurve des Frequenzgangs und der Ortskurve der Beschreibungsfunktion kann es zu mehreren Dauerschwingungen kommen, weil es zu mehreren Schnittpunkten kommen kann. Bei dem Dreipunktregler ist die Ortskurve der Beschreibungsfunktion auf der realen Achse gefaltet (die beiden Äste der Ortskurve überdecken sich), d. h. für eine gegebene Frequenz ${\displaystyle \omega }$ können im Schnittpunkt Schwingungen für zwei verschieden große Amplituden ${\displaystyle A}$ möglich sein.

Andererseits kann die Ortskurve des Frequenzgangs für lineare Systeme größerer Ordnung den Punkt Re = 0 und Im = 0 umschlingen. Enthält das lineare System eine Totzeit, dann verläuft die Ortskurve des Frequenzgangs spiralförmig um den Punkt Re = 0 und Im = 0, so dass es zu vielen Schnittpunkten und damit zu mehreren Dauerschwingungen unterschiedlicher Amplituden ${\displaystyle A}$ und unterschiedlichen Frequenzen ${\displaystyle \omega }$ kommen kann.

Handelt es sich bei einem Regelkreis um beispielsweise einem Zweipunktregler und einem linearen System ${\displaystyle G_{0}(s)}$ erster oder zweiter Ordnung, kann es laut dem Zwei-Ortskurven-Verfahren nicht zu Dauerschwingungen kommen, weil die Ortskurve des Frequenzgangs nicht in den zweiten Quadranten kommen kann. Leider weiß man durch numerische Berechnung oder aus Erfahrung mit Zweipunktreglern, dass der Regelkreis mit einer Dauerschwingung antwortet. Die Begründung dieses Verhaltens wird damit erklärt, dass die Bedingung der harmonischen Schwingung der Ausgangsgröße ${\displaystyle y(t)}$ des Regelkreises mit Tiefpassverhalten nicht erfüllt wird. Die Ausgangsgröße ${\displaystyle y(t)}$ ist in diesem Fall keine harmonische Schwingung.

Dagegen können sich die Ortskurven eines Zweipunktreglers mit Hysterese durch die Lage der [-1 / N(A)]-Ortskurve im negativen imaginären Bereich des 3. Quadranten sehr wohl mit der Ortskurve des linearen Systems ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ 2. Ordnung treffen.

Sprungantwort des nichtlinearen Systems mit Dreipunktregler als Dauerschwingung

Praxisbeispiel der Harmonischen Balance

Regelstrecke mit globalem I-Verhalten:[5]

${\displaystyle G_{S}(s)={\frac {2}{s\cdot (2\cdot s+1)\cdot (0{,}5\cdot s+1)}}}$

Symmetrischer Dreipunktregler mit der Beschreibungsfunktion: ±U_max = ±2; ±Totzone = ±0,5; Führungsgröße w(t) = 1
Geometrische Eckpunkte: U_max = d; Totzone = c

${\displaystyle N(A)={\frac {4\cdot d}{\pi \cdot A}}\cdot {\sqrt {1-c^{2}/A^{2}}}}$

Ergebnis:

Die Werte der Ortskurve der negativen invertierten Beschreibungsfunktion ${\displaystyle {\frac {-1}{N(A)}}}$ werden als ${\displaystyle f(A)}$ aus der zugehörigen Gleichung ${\displaystyle N(A)}$ des Dreipunktreglers errechnet und auf der reellen Achse Re der Ortskurve des Frequenzgangs eingetragen. Die zwei Äste der Ortskurve beginnen bei ${\displaystyle A=c}$, enden bei ${\displaystyle A=\infty }$ und kehren die Richtung um bei ${\displaystyle A=1{,}41\;c}$. Sie schneiden sich bei ${\displaystyle {\frac {-1}{N(A)}}=-0{,}8}$ mit ${\displaystyle A=1{,}97}$ und ${\displaystyle A=0{,}517}$ mit der Ortskurve des Frequenzgangs bei Realteil von -0,8; ${\displaystyle \omega =1}$.

Die Dauerschwingung mit ${\displaystyle A=0{,}517}$ ist instabil. Die Amplitude ${\displaystyle A=0{,}517}$ liegt im Grenzbereich der Totzone ${\displaystyle c=0{,}5}$, in der noch keine Dauerschwingung möglich ist. Die Beschreibungsfunktion mit der Amplitude ${\displaystyle A=1{,}97}$ ergibt eine stabile Dauerschwingung. Allgemein gilt: die stabile Dauerschwingung stellt sich auf die größere Amplitude ein.

Das mittels numerischer zeitdiskreter Methoden berechnete Diagramm mit dem Zeitverhalten der Systemgrößen stimmt bezüglich der Amplitude und der Frequenz nach dem Einschwingen nach ca. 16 s völlig mit den Ergebnissen der Harmonischen Balance überein.

Die Ortskurve des Frequenzgangs eines linearen Systems als offener Regelkreis zeigt Dauerschwingungen an, wenn nach dem Nyquist-Verfahren in der komplexen Ebene die Ortskurve den Punkt ${\displaystyle {\mathit {Re}}=-1}$ und ${\displaystyle {\mathit {Im}}=0}$ trifft. Es handelt sich hierbei um keine stabilen Dauerschwingungen, weil bei geringsten Änderungen der Pole von ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ der kritische Punkt ${\displaystyle {\mathit {Re}}=-1\pm \Delta {\mathit {Re}}}$ nicht getroffen wird. Die Folge ist bei einem Wert von ${\displaystyle {\mathit {Re}}=-1+\Delta {\mathit {Re}}}$, eine gedämpfte Schwingung tritt auf oder bei einem Wert von ${\displaystyle {\mathit {Re}}=-1-\Delta {\mathit {Re}}}$ entsteht eine zunehmend aufklingende Schwingung.

Mit dem Zwei-Ortskurven-Verfahren lassen sich Dauerschwingungen eines nichtlinearen dynamischen zurückgekoppelten Systems ermitteln, wenn in der komplexen Ebene sich die Ortskurven der Beschreibungsfunktion des nichtlinearen Systems und die Ortskurve des Frequenzgangs des linearen Systems treffen. Treffen sich die beiden Ortskurven nicht, handelt es sich um einen schwingungsfreien Regelkreis.

Dabei ist zu berücksichtigen, dass das lineare verzögernde System ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ von mindestens zweiter Ordnung sein muss, anderenfalls durchläuft die Ortskurve des Frequenzganges nicht den zweiten Quadranten und kann eine auf der realen Achse liegende Ortskurve ${\displaystyle N(A)}$ nicht treffen.

Bei einer Dauerschwingung treten Grenzbedingungen für die Beschreibungsfunktion ${\displaystyle N(A)}$ auf. Dabei werden die Grenzbedingungen der Schnittpunkte der Ortskurve der Beschreibungsfunktion für drei Fälle betrachtet, bei der die Amplitude ${\displaystyle A}$ durch transiente Störungen um einen kleinen Wert ${\displaystyle \Delta A}$ erhöht oder vermindert wird und dann jeweils wieder in die Ausgangslage zurückkehrt. Es stellt sich die Frage, was geschieht, wenn eine Dauerschwingung besteht und durch eine kleine vorübergehende Amplitudenänderung positiv oder negativ auf den Gleichgewichtszustand der Dauerschwingung einwirkt. Die Gleichung der harmonischen Balance wird für diese Fälle zu einer Ungleichung.

Folgende Regel gilt für die meisten praktischen Anwendungen und insbesondere für Schnittpunkte mit mehreren ω-Werten für den kleinsten Wert von ω.[6]

Beispiel für einen Regelkreis mit einer Ortskurve eines Dreipunktreglers und einer PT3-Regelstrecke:

Die beiden Zweige der Ortskurve der reellen Beschreibungsfunktion ${\displaystyle N(A)}$ liegen negativ invertiert ${\displaystyle {\frac {-1}{N(A)}}}$ übereinander auf der reellen Achse.

Analyse der Grenzschwingungen bei transienten Abweichungen von der Amplitude ${\displaystyle A}$ um ${\displaystyle \pm \Delta A}$ für drei Fälle: getroffen, berührt, nicht getroffen.

Es werden folgende drei Fälle unterschieden, bei denen sich die beiden Ortskurven treffen, berühren oder nicht treffen:[7][8]

• Fall 1): Die beiden Ortskurven treffen sich

Die negativ invertierte Ortskurve der Beschreibungsfunktion ${\displaystyle N(A)}$ wird von der Ortskurve des Frequenzgangs ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ getroffen. Es ergeben sich theoretisch zwei Schnittpunkte und damit zwei Dauerschwingungen gleicher Frequenz mit unterschiedlicher Amplitude. Dies gilt für den Fall, dass auch der kurze Arm der Beschreibungsfunktion ${\displaystyle A=c}$ bis ${\displaystyle A={\sqrt {2}}\;c}$ (Umkehrpunkt) getroffen wird.

Nachfolgend wird der Zweig der Beschreibungsfunktion vom Umkehrpunkt ${\displaystyle A={\sqrt {2}}\;c}$ im Abstand zur Ordinate mit ${\displaystyle {\frac {-1}{N(A)}}={\frac {-p\;c}{2\;d}}}$ mit zunehmender Größe der Amplitude bis ${\displaystyle A=\infty }$ betrachtet.

Wird die Amplitude infolge einer transienten Störung um einen kleinen Betrag ${\displaystyle \Delta A}$ vergrößert, liegt der neue Wert ${\displaystyle A_{+}}$ links von der Ortskurve des Frequenzgangs ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ und liegt außerhalb der Ortskurve (nicht umschlungen). Nach dem Nyquist-Kriterium ist der geschlossene Regelkreis stabil. Die Schwingung klingt ab. Nach Ende der Störung wird wieder der Zustand der stabilen Dauerschwingung erreicht.

Wird die Amplitude infolge einer transienten Störung um einen kleinen Betrag ${\displaystyle \Delta A}$ verkleinert, liegt der neue Wert ${\displaystyle A_{-}}$ rechts von der Ortskurve des Frequenzgangs ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$. Der neue Wert ${\displaystyle A_{-}}$ wird von der Ortskurve ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ umschlungen und liegt innerhalb des Bereichs der der Ortskurve. Nach dem Nyquist-Kriterium ist der geschlossene Regelkreis instabil. Die Schwingung klingt auf, die Amplitude vergrößert sich auf ihren ursprünglichen Wert. Nach Verschwinden der Störungen ist die Grenzschwingung stabil.

• Fall 2): Die beiden Ortskurven berühren sich am Umkehrpunkt ${\displaystyle A={\sqrt {2}}\;c}$ der beiden Äste

Sind die Schnittpunkte nur Berührungspunkte, dann wird die Grenzschwingung als semistabil bezeichnet.

Wird die Amplitude infolge einer transienten Störung um einen kleinen Betrag vergrößert, liegt der neue Wert ${\displaystyle A_{+}}$ links von der Ortskurve des Frequenzgangs und außerhalb der Ortskurve (nicht umschlungen). Nach dem Nyquist-Kriterium ist der geschlossene Regelkreis stabil. Die Schwingung klingt ab. Nach Ende der Störung wird wieder der Zustand der stabilen Dauerschwingung erreicht.

Wird die Amplitude infolge einer transienten Störung um einen kleinen Betrag ${\displaystyle \Delta A}$ verkleinert, liegt der neue Wert ${\displaystyle A_{-}}$ rechts von der Ortskurve des Frequenzgangs ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ und wird von der Ortskurve ${\displaystyle G(s)}$ umschlungen. Die semistabile Grenzschwingung klingt auf. Das Regelsystem ist instabil.

• Fall 3): Die beiden Ortskurven treffen sich nicht und berühren sich nicht

Der geschlossene Regelkreis ist stabil. Es treten keine Dauerschwingungen auf.

Durch Austausch träger Verzögerungsglieder des linearen dynamischen Systems erhält das System ein schnelleres Zeitverhalten.

Beispiel lineare Regelstrecke:

${\displaystyle G_{S}(s)={\frac {K}{s\cdot (T_{1}\cdot s+1)\cdot (T_{2}\cdot s+1)}}}$

Lineares reales PD1-Glied (Kompensierglied):

${\displaystyle G_{\text{KOMP}}(s)={\frac {T_{1}\cdot s+1}{T_{N}\cdot s+1}}}$

Die Zeitkonstante ${\displaystyle T_{1}}$ der Strecke soll größer als ${\displaystyle T_{2}}$ der Strecke sein. Das PD-Glied mit Zeitkonstante ${\displaystyle T_{1}}$ des Reglers soll das Verzögerungsglied mit der Zeitkonstante ${\displaystyle T_{1}}$ kompensieren. Die Zeitkonstante ${\displaystyle T_{N}}$ muss kleiner ${\displaystyle T_{1}}$ sein. Damit ergibt sich die neue Übertragungsfunktion des linearen Regelstrecke in Frequenzgang-Darstellung zu:

${\displaystyle G_{S1}(\mathrm {j} \omega )={\frac {K}{\mathrm {j} \omega \cdot (T_{N}\cdot \mathrm {j} \omega +1)\cdot (T_{2}\cdot \mathrm {j} \omega +1)}}}$.

Sprungantwort des nichtlinearen Regelkreises mit Dreipunktregler ohne Dauerschwingungen, Darstellung des Einschwingvorgangs

Mit dieser Maßnahme schmiegt sich der Verlauf des Frequenzgangs ${\displaystyle G(\mathrm {j} \omega )}$ näher an die Ordinate beim Durchtreten vom 3. in den 2. Quadranten an. Sind die Parameter der Beschreibungsfunktion so gewählt, dass die beiden Ortskurven sich nicht berühren, ist der Regelkreis asymptotisch stabil. Die Minimierung der Totzone und damit die Optimierung des schwingungsfreien Regelkreises mit einem Dreipunktregler lässt sich nur mit der numerischen Simulation bestimmen.

Für einen schwingungsfreien Regelkreis mit einem Dreipunktregler wird vorausgesetzt, dass das lineare dynamische System, die Regelstrecke, ein globales I-Verhalten zeigt. Typisch für solche Regelstrecken sind Stellantriebe, die durch den Dreipunktregler auf die Bewegungen Vorlauf, Rücklauf oder Ruhezustand gebracht werden. Der Stillstand entspricht der Soll-Positionierung.

Werden die Parameter des Berechnungsbeispiels des mit Dauerschwingungen behafteten Regelkreises mit dem Dreipunktregler wie folgt modifiziert, entsteht wie in der Grafik dargestellt ein schwingungsfreier Regelkreis.

• Die beiden Verzögerungen der PT1-Glieder werden durch PD1-Glieder um den Faktor 10 reduziert,

${\displaystyle G_{0}(\mathrm {j} \omega )={\frac {2}{\mathrm {j} \omega \cdot (0{,}1\cdot \mathrm {j} \omega +1)\cdot (0{,}05\cdot \mathrm {j} \omega +1)}}}$

• Die bezogene Größe (1 = 100 %) der Rechteck-Schwingamplitude ${\displaystyle \pm U_{\text{max}}}$ wird auf ${\displaystyle \pm 1{,}2}$ gesetzt,
• Die bezogene Größe der Totzone wird auf ${\displaystyle \pm c=\pm 0{,}1}$ gesetzt,
• die maximale bezogene Führungsgröße ${\displaystyle w(t)=1}$ gesetzt.

Die Größe der Totzone bestimmt, bei welcher Regelabweichung der Regler ansprechen soll. In diesem Fall richtet sich das Zeitverhalten (Integrationskonstante ${\displaystyle T_{N}}$) der auszulegenden Regelstrecke nach der Totzone. Nur ein langsamer Stellantrieb erlaubt für einen schwingungsfreien Betrieb eine kleine Totzone und damit eine genaue Positionierung. Je kleiner die Totzone, umso häufiger und kürzer sind die Rechteckschwingungen ${\displaystyle u(t)}$ während des Einschwingvorgangs der Regelgröße ${\displaystyle y(t)}$.