Hamilton-Funktion

Das totale Differential der Hamilton-Funktion lautet:

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Aufgrund der Produktregel erhält man

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}+{\dot {q}}_{i}\mathrm {d} p_{i}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t,}$

wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}}$ die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben, sodass gilt:

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\dot {q}}_{i}\mathrm {d} p_{i}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}\mathrm {d} q_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=-{\dot {p}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$

Die totale Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} t}}&=\sum _{i=1}^{f}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i=1}^{f}\left({\dot {q}}_{i}{\dot {p}}_{i}-{\dot {p}}_{i}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\\&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\end{aligned}}}$

Wenn die Hamilton-Funktion also nicht explizit von der Zeit ${\displaystyle t}$ abhängt, ist ihr Wert eine Erhaltungsgröße:

${\displaystyle {\mathcal {H}}\neq {\mathcal {H}}(t)\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=0\Rightarrow {\mathcal {H}}=konst.}$

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und -impulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:

${\displaystyle {\dot {q}}_{k}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{k}}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{k}}}}$

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für ${\displaystyle {\mathcal {H}}(t,q,p)}$ als Funktion von Operatoren ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle p}$ liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Bei einem Teilchen der Masse ${\displaystyle m}$, das sich nichtrelativistisch in einem Potential ${\displaystyle V}$ bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t,{\vec {q}},{\vec {p}})={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2\,m}}+V({\vec {q}})}$

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

${\displaystyle E^{2}-{\vec {p}}^{2}\,c^{2}=m^{2}\,c^{4}}$

gilt für die Hamilton-Funktion

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t,{\vec {q}},{\vec {p}})={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+{\vec {p}}^{2}\,c^{2}}}.}$

Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-m\,c^{2}{\sqrt {1-{\dot {\vec {q}}}^{2}/c^{2}}}}$

hängt der generalisierte Impuls ${\displaystyle p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}}$ gemäß

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m{\dot {\vec {q}}}}{\sqrt {1-{\dot {\vec {q}}}^{2}/c^{2}}}}}$

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

${\displaystyle {\dot {\vec {q}}}={\frac {{\vec {p}}\,c^{2}}{\sqrt {m^{2}\,c^{4}+{\vec {p}}^{2}\,c^{2}}}}}$

des Impulses.

Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(x,p)={\dot {x}}p-{\mathcal {L}}(x,{\dot {x}})={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m}{2}}\omega _{0}^{2}x^{2}=T+V=E}$

In kartesischen Koordinaten (${\displaystyle {\vec {q}}={\vec {x}}}$) lautet die Lagrange-Funktion eines Teilchens der Ladung ${\displaystyle q}$, das sich durch ein elektromagnetisches Feld bewegt,

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}+q\left({\dot {\vec {x}}}\cdot {\vec {A}}\right)-q\phi }$

Dabei ist ${\displaystyle \phi }$ das elektrische Potential und ${\displaystyle {\vec {A}}}$ das Vektorpotential des magnetischen Feldes. Der kanonische Impuls ist

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\vec {x}}}}}=m{\dot {\vec {x}}}+q{\vec {A}}}$

Diese Gleichung kann so umgestellt werden, dass die Geschwindigkeit durch den Impuls ausgedrückt wird:

${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}={\frac {1}{m}}\left({\vec {p}}-q{\vec {A}}\right)}$

Wird der Ausdruck für ${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}}$ und ${\displaystyle {\vec {p}}}$ in die Definition der Hamilton-Funktion eingesetzt, ergibt sich diese zu:

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\dot {\vec {x}}}\cdot {\vec {p}}-{\mathcal {L}}={\frac {1}{2m}}\left({\vec {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}+q\phi }$