Hamilton-Funktion (Kontrolltheorie)

Die Hamilton-Funktion in der Theorie der optimalen Steuerungen wurde von Lew Pontrjagin als Teil seines Maximumprinzips entwickelt. Sie ähnelt der Hamilton-Funktion der Mechanik, aber unterscheidet sich doch von ihr. Pontrjagin zeigte, dass eine notwendige Bedingung für das Lösen eines Optimalsteuerungsproblems ist, dass die gewählte Steuerung die Hamilton-Funktion minimieren muss.

Notation und Problemstellung

Eine Steuerung $u(t)$ soll so gewählt werden, dass folgendes Zielfunktional minimiert wird

J(u)=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L(x,u,t)\mathrm {d} t

wobei $x(t)$ den Zustand des Systems beschreibt, welcher sich gemäß der Differentialgleichungen

{\dot {x}}=f(x,u,t)\qquad x(0)=x_{0}\quad t\in [0,T]

entwickelt, und die Steuerung $u(t)$ folgenden Einschränkungen genügen muss

a\leq u(t)\leq b\quad t\in [0,T].

Des Weiteren ist $\Psi (x(T))$ eine beliebige Funktion des Zielzustandes $x(T)$ nach der Zeit $T$ sowie $L(x,u,t)$ die Lagrangefunktion, welche die Dynamik des betrachteten Systems beschreibt.

Definition der Hamilton-Funktion

H(x,\lambda ,u,t)=\lambda ^{T}(t)f(x,u,t)+L(x,u,t)\,

wobei $\lambda (t)$ die Lagrange-Multiplikatoren sind, deren Komponenten die adjungierten Zustände beschreiben.

Literatur

Velimir Jurdjevic: Geometric Control Theory (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 52). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2008, ISBN 978-0-521-05824-7.

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