Basis (Vektorraum)

Eine Basis eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ ist eine Teilmenge ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle V}$ mit folgenden gleichwertigen Eigenschaften:

1. Jedes Element von ${\displaystyle V}$ lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus ${\displaystyle B}$ darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.
2. ${\displaystyle B}$ ist ein minimales Erzeugendensystem von ${\displaystyle V}$, jeder Vektor aus ${\displaystyle V}$ lässt sich also als Linearkombination aus ${\displaystyle B}$ darstellen (${\displaystyle V}$ ist lineare Hülle von ${\displaystyle B}$) und diese Eigenschaft gilt nicht mehr, wenn ein Element aus ${\displaystyle B}$ entfernt wird.
3. ${\displaystyle B}$ ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von ${\displaystyle V}$. Wird also ein weiteres Element aus ${\displaystyle V}$ zu ${\displaystyle B}$ hinzugefügt, ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig.
4. ${\displaystyle B}$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von ${\displaystyle V}$.

Eine Basis lässt sich mit Hilfe einer Indexmenge ${\displaystyle I}$ in der Form ${\displaystyle B=\{b_{i}:\;i\in I\}}$ beschreiben, eine endliche Basis beispielsweise in der Form ${\displaystyle B=\{b_{1},\dotsc ,b_{n}\}}$. Wird eine solche Indexmenge ${\displaystyle I}$ benutzt, dann verwendet man jedoch meist zur Bezeichnung der Basis gleich die Familienschreibweise, d. h. ${\displaystyle b=(b_{i})_{i\in I}}$ statt ${\displaystyle B=\{b_{i}:\;i\in I\}}$.

Man beachte, dass in der Familienschreibweise eine Ordnungsrelation auf der Indexmenge ${\displaystyle I}$ eine Anordnung der Basisvektoren erzeugt; ${\displaystyle b}$ heißt dann „geordnete Basis“. Dies macht man sich bei der Beschreibung der Orientierung von Vektorräumen zunutze. Eine Indexmenge mit Ordnungsrelation ermöglicht es, unter den Basen Orientierungsklassen (Händigkeit) einzuführen. Beispiele: abzählbar unendliche Basis ${\displaystyle b=(b_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$, endliche Basis ${\displaystyle b=(b_{1},\dotsc ,b_{n})=(b_{i})_{i\in \{1,\dotsc ,n\}}}$.

Die Koeffizienten, die in der Darstellung eines Vektors als Linearkombination von Vektoren aus der Basis ${\displaystyle B}$ auftreten, nennt man die Koordinaten des Vektors bezüglich ${\displaystyle B}$. Diese sind Elemente des dem Vektorraum zugrundeliegenden Körpers ${\displaystyle K}$ (z. B. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Zusammen bilden diese einen Koordinatenvektor ${\displaystyle x=(x_{i})_{i\in B}}$, der allerdings in einem anderen Vektorraum liegt, dem Koordinatenraum ${\displaystyle K^{B}}$. Achtung: Die Zuordnung der Koordinaten zu ihren jeweiligen Basisvektoren ist entscheidend. Wurde bei der Beschreibung der Basis keine Indexmenge verwendet, muss daher bei der Beschreibung der Koordinaten die Menge der Basisvektoren selbst zur Indizierung herangezogen werden („${\displaystyle {i\in B}}$“).

Obwohl Basen meist als Mengen aufgeschrieben werden, ist daher eine durch eine Indexmenge ${\displaystyle I}$ gegebene „Indizierung“ praktischer. Die Koordinatenvektoren haben dann die Form ${\displaystyle x=(x_{i})_{i\in I}}$, der Koordinatenraum ist ${\displaystyle K^{I}}$. Ist ${\displaystyle I}$ mit einer Ordnungsrelation versehen, so entsteht auch für den Koordinatenvektor eine Reihenfolge der Koordinaten. Im Beispiel ${\displaystyle I=\{1,\dotsc ,n\}}$ ist der Koordinatenvektor von der Form ${\displaystyle x=(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$ („Nummerierung“ der Koordinaten). Der Koordinatenraum ist hier ${\displaystyle K^{n}}$, bei reellen oder komplexen Vektorräumen also ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

• Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. Ein Beweis für diese Aussage ist im Abschnitt Existenzbeweis angegeben.
• Alle Basen eines Vektorraumes enthalten dieselbe Anzahl von Elementen. Diese Anzahl, die auch eine unendliche Kardinalzahl sein kann, nennt man die Dimension des Vektorraums.
• Eine Teilmenge ${\displaystyle \{b_{1},\dotsc ,b_{k}\}}$ eines ${\displaystyle K}$-Vektorraumes ${\displaystyle V}$ definiert eindeutig eine lineare Abbildung ${\displaystyle K^{k}\to V,\quad e_{i}\mapsto b_{i}}$, wobei ${\displaystyle e_{i}}$ den ${\displaystyle i}$-ten Standardeinheitsvektor bezeichnet.

Diese Abbildung ist genau dann

• injektiv, wenn die ${\displaystyle b_{i}}$ linear unabhängig sind;
• surjektiv, wenn die ${\displaystyle b_{i}}$ ein Erzeugendensystem bilden;
• bijektiv, wenn die ${\displaystyle b_{i}}$ eine Basis bilden.

Diese Charakterisierung überträgt sich auf den allgemeineren Fall von Moduln über Ringen, siehe Basis (Modul).

e₁ und e₂ bilden eine Basis der Ebene.

• In der euklidischen Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ gibt es die so genannte Standardbasis ${\displaystyle \{(1,0),(0,1)\}}$. Darüber hinaus bilden in dieser Ebene zwei Vektoren genau dann eine Basis, wenn sie nicht in dieselbe (oder die entgegengesetzte) Richtung zeigen.

• Die Standardbasis des Vektorraums ${\displaystyle K^{n}}$ ist die Menge der kanonischen Einheitsvektoren ${\displaystyle \{(1,0,\dotsc ,0),(0,1,0,\dotsc ,0),\dotsc ,(0,\dotsc ,0,1)\}}$.

• Die Standardbasis im Raum der Matrizen ${\displaystyle K^{m\times n}}$ wird durch die Standardmatrizen gebildet, bei denen genau ein Eintrag ${\displaystyle 1}$ ist und alle anderen Einträge ${\displaystyle 0}$ sind.

• Der Nullvektorraum ${\displaystyle \{0\}}$ hat Dimension null; seine einzige Basis ist die leere Menge.

• Als ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum wird für ${\displaystyle \mathbb {C} }$ meist die Basis ${\displaystyle \{1,i\}}$ verwendet. Eine Menge ${\displaystyle \{a,b\}\subseteq \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ist genau dann eine Basis von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ über ${\displaystyle \mathbb {R} }$, wenn ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ keine reelle Zahl ist. Als ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Vektorraum hat ${\displaystyle \mathbb {R} }$ eine Basis, die man aber nicht explizit angeben kann.

• Der Vektorraum der Polynome über einem Körper hat die Basis ${\displaystyle \{1,X,X^{2},X^{3},\dotsc \}}$. Es gibt aber auch viele andere Basen, die zwar umständlicher anzuschreiben sind, aber in konkreten Anwendungen praktischer sind, zum Beispiel die Legendre-Polynome.

• Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bilden die Vektoren ${\displaystyle \{(1,0,0,0,\dotsc ),(0,1,0,0,\dotsc ),(0,0,1,0,\dotsc ),\dotsc \}}$ zwar ein linear unabhängiges System, aber keine Basis, denn es wird zum Beispiel die Folge ${\displaystyle (1,1,1,1,\dotsc )}$ nicht davon erzeugt, da eine Kombination unendlich vieler Vektoren keine Linearkombination ist.

Die folgenden Überlegungen skizzieren einen Beweis dafür, dass die vier charakterisierenden Eigenschaften, die in diesem Artikel als Definition des Begriffs Basis genannt werden, äquivalent sind. (Für diesen Beweis wird das Auswahlaxiom oder Lemma von Zorn nicht benötigt.)

• Wenn sich jeder Vektor eindeutig als Linearkombination von Vektoren in ${\displaystyle B}$ darstellen lässt, dann ist ${\displaystyle B}$ insbesondere ein Erzeugendensystem (nach Definition).
  Wenn ${\displaystyle B}$ nicht minimales Erzeugendensystem ist, dann gibt es eine echte Teilmenge ${\displaystyle B'}$, die auch ein Erzeugendensystem ist. Sei nun ${\displaystyle b^{*}}$ ein Element von ${\displaystyle B}$, welches nicht in ${\displaystyle B'}$ liegt. Dann lässt sich ${\displaystyle b^{*}}$ auf mindestens zwei verschiedene Arten als Linearkombination von Vektoren in ${\displaystyle B}$ darstellen, nämlich einmal als Linearkombination von Vektoren in ${\displaystyle B'}$ und einmal als ${\displaystyle b^{*}=1\cdot b^{*}}$. Es ergibt sich ein Widerspruch und daher ist ${\displaystyle B}$ minimal.
  Also gilt (1) → (2).

• Jedes minimale Erzeugendensystem muss linear unabhängig sein. Denn wenn ${\displaystyle B}$ nicht linear unabhängig ist, dann gibt es einen Vektor ${\displaystyle b^{*}}$ in ${\displaystyle B}$, welcher sich als Linearkombination von Vektoren in ${\displaystyle B\setminus \{b^{*}\}}$ darstellen lässt. Dann aber lässt sich jede Linearkombination von Vektoren in ${\displaystyle B}$ auch durch eine Linearkombination von Vektoren in ${\displaystyle B\setminus \{b^{*}\}}$ umschreiben und ${\displaystyle B}$ wäre nicht minimal.
  Also gilt (2) → (4).

• Jedes linear unabhängige Erzeugendensystem ${\displaystyle B}$ muss eine maximale linear unabhängige Menge sein. Wäre nämlich ${\displaystyle B}$ nicht maximal linear unabhängig, so gäbe es ein ${\displaystyle b^{*}}$ (das nicht in ${\displaystyle B}$ liegt), welches zusammen mit ${\displaystyle B}$ linear unabhängig wäre. Aber ${\displaystyle b^{*}}$ lässt sich als Linearkombination von Elementen von ${\displaystyle B}$ darstellen, was der linearen Unabhängigkeit widerspricht.
  Also gilt (4) → (3).

• Ein maximal linear unabhängiges System ${\displaystyle B}$ ist ein Erzeugendensystem: Sei ${\displaystyle b^{*}}$ ein beliebiger Vektor. Wenn ${\displaystyle b^{*}}$ in ${\displaystyle B}$ enthalten ist, dann lässt sich ${\displaystyle b^{*}}$ als Linearkombination von Elementen von ${\displaystyle B}$ schreiben. Wenn aber ${\displaystyle b^{*}}$ nicht in ${\displaystyle B}$ enthalten ist, dann ist die Menge ${\displaystyle B\ \cup \{b^{*}\}}$ eine echte Obermenge von ${\displaystyle B}$ und damit nicht mehr linear unabhängig. Die Vektoren ${\displaystyle b_{1},\dotsc ,b_{n}}$, die in einer möglichen linearen Abhängigkeit ${\displaystyle a_{1}b_{1}+\dotsb +a_{n}b_{n}=0}$ vorkommen, können nicht alle aus ${\displaystyle B}$ sein, daher muss einer davon (sagen wir ${\displaystyle b_{1}}$) gleich ${\displaystyle b^{*}}$ sein, mit ${\displaystyle a_{1}}$ ungleich 0. Daher ist ${\displaystyle b^{*}=-{\tfrac {1}{a_{1}}}(a_{2}b_{2}+\dotsb +a_{n}b_{n})}$. Die Eindeutigkeit dieser Darstellung folgt aus der linearen Unabhängigkeit von ${\displaystyle B}$.
  Also gilt (3) → (1).

Mit dem Lemma von Zorn kann man beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis haben muss, auch wenn man sie oft nicht explizit angeben kann.

Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum. Man möchte eine maximale linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums finden. Es liegt also nahe, das Mengensystem

${\displaystyle P:=\{X\subseteq V:\;X{\text{ linear unabhängig}}\}\,}$

zu betrachten, das durch die Relation ${\displaystyle \subseteq }$ halbgeordnet wird. Man kann nun zeigen:

1. ${\displaystyle P}$ ist nicht leer (zum Beispiel enthält ${\displaystyle P}$ die leere Menge). Besteht ${\displaystyle V}$ nicht nur aus dem Nullvektor, dann ist zusätzlich auch jede Einermenge ${\displaystyle \{v\}}$ mit ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle v\neq \mathbf {0} }$ ein Element von ${\displaystyle P}$.
2. Für jede Kette ${\displaystyle C\subseteq P}$ ist auch ${\displaystyle \bigcup C=\bigcup _{X\in C}X=\{v:\exists X\in C:v\in X\}}$ in ${\displaystyle P}$.

Aus dem Lemma von Zorn folgt nun, dass ${\displaystyle P}$ ein maximales Element hat. Die maximalen Elemente von ${\displaystyle P}$ sind nun aber genau die maximalen linear unabhängigen Teilmengen von ${\displaystyle V}$, also die Basen von ${\displaystyle V}$. Daher hat ${\displaystyle V}$ eine Basis und es gilt darüber hinaus, dass jede linear unabhängige Teilmenge von ${\displaystyle V}$ in einer Basis von ${\displaystyle V}$ enthalten ist.

Ist ${\displaystyle T\subset V}$ eine vorgegebene Menge linear unabhängiger Vektoren und geht man in obigem Beweis von

${\displaystyle P:=\{X\subseteq V:\;T\subset X,\,X{\text{ linear unabhängig}}\}\,}$

aus, so erhält man die Aussage, dass ${\displaystyle T}$ in einem maximalen Element von ${\displaystyle P}$ enthalten ist. Da sich ein solches maximales Element wieder als eine Basis von ${\displaystyle V}$ erweist, ist gezeigt, dass man jede Menge linear unabhängiger Vektoren zu einer Basis von ${\displaystyle V}$ ergänzen kann. Diese Aussage nennt man Basisergänzungssatz.

• Austauschlemma von Steinitz (nach E. Steinitz): Sind ${\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}}$ eine Basis eines Vektorraumes ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle w}$ ein weiterer vom Nullvektor verschiedener Vektor aus ${\displaystyle V}$, so kann man einen der Basisvektoren gegen ${\displaystyle w}$ „austauschen“, d. h., es existiert ein Index ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$, sodass ${\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{i-1},w,v_{i+1},\dotsc ,v_{n}}$ ebenfalls eine Basis von ${\displaystyle V}$ ist.
  Diese Aussage wird häufig benutzt, um zu zeigen, dass alle Basen eines Vektorraumes aus gleich vielen Vektoren bestehen.[1]
• Jeder Vektorraum ist ein freies Objekt über seiner Basis. Dies ist eine universelle Eigenschaft von Vektorräumen im Sinne der Kategorientheorie. Konkret heißt dies:

1. Eine lineare Abbildung eines Vektorraums in einen anderen Vektorraum ist bereits durch die Bilder der Basisvektoren vollständig bestimmt.
2. Jede beliebige Abbildung der Basis in den Bildraum definiert eine lineare Abbildung.

• In einem ${\displaystyle d}$-dimensionalen Vektorraum über einem endlichen Körper mit ${\displaystyle q}$ Elementen gibt es

${\displaystyle {\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}\left(q^{d}-q^{k}\right)}$

verschiedene Basen.

Reelle und komplexe Vektorräume tragen meist zusätzliche topologische Struktur. Aus dieser Struktur kann sich ein Basisbegriff ergeben, der vom hier beschriebenen abweicht.

• Basiswechsel (Vektorraum)
• Standardbasis
• Komplementärbasis

• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschaft, Mannheim u. a. 1990, ISBN 978-3-411-14101-2.

1. In der Verbandstheorie wird das Austauschlemma von Steinitz in den Rahmen der modularen Verbände gestellt. Es lässt sich zeigen, dass es dem Satz von Kurosch-Ore subsumiert werden kann. Man spricht in diesem Zusammenhang auch vom Austauschsatz in modularen Verbänden. (Siehe: Helmuth Gericke: Theorie der Verbände., 2. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 143–146)