Garbe (Mathematik)

Um die Definition der Garbe zu verstehen, ist es ratsam, sich das Beispiel der Garbe der stetigen Funktionen gewärtig zu halten: ${\displaystyle F(U)}$ ist dann die Menge der stetigen Funktionen ${\displaystyle U\to \mathbb {R} }$, die Einschränkungsabbildungen (Bilder der Inklusionsabbildungen unter dem Funktor ${\displaystyle F}$) sind schlichtweg die Einschränkungen der Funktionen auf kleinere Bereiche.

Eine Prägarbe auf einer Kategorie C ist ein kontravarianter Funktor ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$: C ${\displaystyle \rightarrow }$ A in eine Kategorie A, etwa die Kategorie der Mengen oder die Kategorie der abelschen Gruppen. Wenn C eine Grothendieck-Topologie besitzt, so nennt man eine Prägarbe eine Garbe, wenn für jede überdeckende Familie {φ_i: V_i ${\displaystyle \rightarrow }$ U}_{i${\displaystyle \in }$I} die Sequenz :${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod {\mathcal {F}}(V_{i})\rightrightarrows \prod {\mathcal {F}}(V_{i}\times V_{j}),}$ exakt ist, d. h. wenn ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ der Differenzkern der beiden rechten Pfeile ist.

Wie im Fall eines topologischen Raumes kann man Prägarben vergarben. Ebenso kann man verschiedene Kohomologietheorien entwickeln, etwa Čech-Kohomologie.

Die Gesamtheit aller Garben auf einem Situs bildet einen Topos.

So wie eine Garbe eine Sammlung von Objekten ist, ist ein Morphismus zwischen Garben eine Sammlung von Morphismen dieser Objekte. Diese muss mit den Einschränkungsabbildungen verträglich sein.

Es seien ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ Garben auf ${\displaystyle X}$ mit Werten in derselben Kategorie. Ein Morphismus ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ besteht aus einer Sammlung von Morphismen ${\displaystyle \varphi (U)\colon {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)}$, einer für jede offene Teilmenge ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle X}$, so dass für jede Inklusion ${\displaystyle V\subseteq U}$ offener Teilmengen die Bedingung ${\displaystyle {\tilde {\rho }}_{V}^{U}\circ \varphi (U)=\varphi (V)\circ \rho _{V}^{U}}$ erfüllt ist. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \rho _{V}^{U}}$ die Einschränkungsabbildung von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ und ${\displaystyle {\tilde {\rho }}_{V}^{U}}$ die von ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

Fasst man die Garben wie oben beschrieben als Funktoren auf, so ist ein Morphismus zwischen den Garben dasselbe wie eine natürliche Transformation der Funktoren.

Für jede Kategorie ${\displaystyle C}$ bilden die ${\displaystyle C}$-wertigen Garben mit diesem Morphismenbegriff eine Kategorie.

Es sei ${\displaystyle C}$ eine Kategorie algebraischer Strukturen, die durch endliche projektive Limites definiert sind, also z. B. (abelsche) Gruppen, Ringe, Moduln. Insbesondere existieren pseudofiltrierende Kolimites in ${\displaystyle C}$, und ihre zugrundeliegenden Mengen stimmen mit den Kolimites der zugrundeliegenden Mengen der Einzelobjekte überein.

Für jeden Punkt ${\displaystyle x\in X}$ ist der Halm ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ einer Prägarbe ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ im Punkt ${\displaystyle x}$ definiert als

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\operatorname {colim} _{V\ni x}{\mathcal {F}}(V).}$

Elemente des Halms heißen Keime.

Keime sind also Äquivalenzklassen von lokalen Schnitten über offenen Umgebungen von ${\displaystyle x}$, wobei Schnitte äquivalent sind, wenn sie bei Einschränkung auf eine kleinere Umgebung gleich werden.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$, so gibt es eine Garbe ${\displaystyle \mathbf {a} {\mathcal {F}}}$, die Vergarbung von oder assoziierte Garbe zu ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, so dass für jede Garbe ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathrm {(Garben)} }(\mathbf {a} {\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=\mathrm {Hom} _{\mathrm {(Pr{\ddot {a}}garben)} }({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$

gilt. ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ist also linksadjungiert zum Vergissfunktor ${\displaystyle \mathrm {(Garben)} \to \mathrm {(Pr{\ddot {a}}garben)} .}$

Es gibt keine einheitliche Notation für den Vergarbungsfunktor.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine stetige Abbildung, so ist

${\displaystyle U\mapsto {\mathcal {F}}(f^{-1}(U)),\quad U\subseteq Y\ {\text{offen}}}$

eine Garbe auf ${\displaystyle Y}$, die mit ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$ bezeichnet wird und direktes Bild oder auch Bildgarbe von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ unter ${\displaystyle f}$ heißt.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ eine Garbe auf ${\displaystyle Y}$, so ist die assoziierte Garbe zu

${\displaystyle U\mapsto \operatorname {colim} _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V)}$

eine Garbe auf ${\displaystyle X}$, die Urbildgarbe, die mit ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ bezeichnet wird.

Ist ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ eine weitere stetige Abbildung, so sind die Funktoren

${\displaystyle \,(gf)_{*}}$ und ${\displaystyle \,g_{*}f_{*}}$

sowie die Funktoren

${\displaystyle \,(gf)^{-1}}$ und ${\displaystyle \,f^{-1}g^{-1}}$

natürlich äquivalent.

Die Funktoren ${\displaystyle \,f_{*}}$ und ${\displaystyle \,f^{-1}}$ sind adjungiert: Ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine Garbe auf ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ eine Garbe auf ${\displaystyle \,Y}$, so ist

${\displaystyle \operatorname {Hom} (f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} ({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}}).}$

Halme sind spezielle Garbenurbilder: Bezeichnet ${\displaystyle i_{y}}$ die Inklusion ${\displaystyle \{y\}\to Y}$ eines Punktes, so ist

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{y}=i_{y}^{-1}{\mathcal {G}};}$

dabei wurde die Garbe ${\displaystyle i_{y}^{-1}{\mathcal {G}}}$ auf dem einpunktigen Raum ${\displaystyle \,\{y\}}$ mit ihren globalen Schnitten identifiziert. Infolgedessen ist das Garbenurbild kompatibel mit Halmen:

${\displaystyle \,(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}.}$

Diese Beziehung ist auch der Grund dafür, dass ${\displaystyle \,f^{-1}}$ trotz der komplizierteren Definition der einfacher zu verstehende Funktor ist: in einem gewissen Sinn ist Kohomologie das Studium des Funktors ${\displaystyle \,f_{*}}$.

Zu einer Garbe ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ von Mengen sei ein topologischer Raum ${\displaystyle E}$ über ${\displaystyle X}$ wie folgt definiert:

• Die zugrundeliegende Menge ist die disjunkte Vereinigung aller Halme von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$; die Abbildung ${\displaystyle E\to X}$ bilde ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ auf ${\displaystyle x\in X}$ ab.
• Die Topologie auf ${\displaystyle E}$ ist die stärkste Topologie, für die die Abbildungen

${\displaystyle U\to E,\quad x\mapsto f_{x}}$

für jeden Schnitt ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)}$ über einer offenen Menge ${\displaystyle U\subseteq X}$ stetig sind.

Dann gibt es eine Bijektion zwischen den Schnitten von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ über einer offenen Menge ${\displaystyle U\subseteq X}$ und den Schnitten von ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$ über ${\displaystyle U}$, d. h. den stetigen Abbildungen ${\displaystyle s\colon U\to E}$, für die ${\displaystyle \pi \circ s}$ gleich der Inklusion ${\displaystyle U\subseteq X}$ ist.

Dieser Raum ${\displaystyle E}$ heißt der Étalé-Raum (frz. étalé = ausgebreitet) oder, in deutschsprachiger Literatur auch ohne Akzente geschrieben, der etale Raum.[1]

• Die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger bilden keine Prägarbe, weil die Einschränkung einer Funktion mit kompaktem Träger auf eine offene Teilmenge im Allgemeinen nicht wieder kompakten Träger hat.

• Die Prägarbe, die jeder nicht-leeren offenen Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ die abelsche Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sowie der leeren Menge die triviale Untergruppe ${\displaystyle \{0\}}$ zuordnet, ist keine Garbe: Ist ${\displaystyle U=U_{1}\cup U_{2}}$ mit ${\displaystyle U_{1}=(1,2)}$ und ${\displaystyle U_{2}=(3,4)}$, so lassen sich der Schnitt ${\displaystyle 5}$ über ${\displaystyle U_{1}}$ und der Schnitt ${\displaystyle 7}$ über ${\displaystyle U_{2}}$ nicht zu einem Schnitt über ${\displaystyle U}$ „verkleben“.

• Die Garbe ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ der holomorphen Funktionen auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist eine Garbe von Ringen (eine Ringgarbe): der Halm im Nullpunkt kann mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen ${\displaystyle \mathbb {C} \{z\}}$ identifiziert werden, d. h. der Potenzreihen, deren Konvergenzradius nicht Null ist. Die anderen Halme entstehen durch Koordinatenwechsel (d. h. ersetze ${\displaystyle z}$ durch ${\displaystyle z-a}$).

• Es sei ${\displaystyle X=\{\eta ,s\}}$ der topologische Raum mit zwei Punkten, von denen ${\displaystyle s}$ abgeschlossen ist und ${\displaystyle \eta }$ nicht, d. h. der Sierpiński-Raum. Dann ist eine Garbe durch die zwei Mengen ${\displaystyle M=\Gamma (X,{\mathcal {F}})}$ und ${\displaystyle N=\Gamma (\{\eta \},{\mathcal {F}})}$ zusammen mit einer Abbildung ${\displaystyle \rho \colon M\to N}$ bestimmt, und umgekehrt kann man diese Daten beliebig vorgeben und erhält eine Garbe. Die Halme von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sind

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\eta }=N}$ und ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}=M}$.

• Es sei ${\displaystyle X=\mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$ ausgestattet mit der Quotiententopologie und zu offenem ${\displaystyle U\subseteq X}$ sei ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ die Menge aller Funktionen, die lokal Steigung 1 haben, das sind alle ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x+\varepsilon +\mathbb {Z} )=f(x+\mathbb {Z} )+\varepsilon }$, sofern beide Seiten definiert sind und ${\displaystyle |\varepsilon |}$ hinreichend klein ist. Dies ist eine Garbe, bei der jeder Halm ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und auch ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {F}})\cong \mathbb {R} }$ für jede zusammenhängende offene echte Teilmenge ${\displaystyle U\subsetneq X}$. Es gibt jedoch keine globalen Schnitte, ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {F}})=\emptyset }$. Dadurch ist dies „nur“ eine mengenwertige und keine abelsche-Gruppen-wertige Garbe.

Der Begriff der Garbe lässt sich allgemeiner im Kontext von Grothendieck-Topologien fassen.

• Garbenkohomologie

• Francisco Miraglia: An Introduction to Partially Ordered Structures and Sheaves. Polimetrica, Mailand 2006, ISBN 88-7699-035-6 (Contemporary Logic).

1. F. Constantinescu, H. F. de Groote: Geometrische und algebraische Methoden der Physik: Supermannigfaltigkeiten und Virasoro-Algebren, Teubner Studienbücher 1994, ISBN 978-3-519-02087-5