Halbton

Im gleichstufig temperierten Tonsystem entspricht der Halbton einem Zwölftel der Oktave. Diese Bedeutung wurde bereits von Aristoxenos vorweggenommen, indem er die Oktave in sechs gleiche Ganztöne teilte und den Halbton als die Hälfte eines Ganztons definierte.

Die rechnerisch exakte Zwölftelung der Oktave ergibt für den temperierten Halbton ein Frequenzverhältnis (Proportion) von ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}{\widehat {=}}{\text{100}}}$ Cent, da dieser Wert zwölfmal mit sich selbst multipliziert das Frequenzverhältnis einer Oktave (2/1) ergibt.

In pythagoreischen Tonsystemen tritt aufgrund der reinen Quinten (Proportion ³⁄₂) kein (aus dem unteren Bereich der Obertonreihe stammender) „natürlicher“ diatonischer Halbton ( ¹⁶⁄₁₅ ~ 112 Cent) auf, sondern das Intervall mit der Proportion ${\displaystyle {\frac {256}{243}}{\widehat {\approx }}\ {\text{90}}}$ Cent,[1] das bei Philolaos „Diesis“, bei Euklid „Leimma“, seit der Spätantike auch als Halbton bezeichnet wurde.

Ohne praktische Verwendung wurde auch als Halbton die Apotome (${\displaystyle {\frac {2187}{2048}}{\widehat {\approx }}\ {\text{114}}}$ Cent) bezeichnet: die Differenz zwischen Ganzton ( ⁹⁄₈) und Leimma ( ²⁵⁶⁄₂₄₃). Die Tonbuchstaben und die Notenschrift unterscheiden diese Intervalle klar: Das Leimma ist eine kleine Sekunde c-h, die Apotome ein chromatischer Schritt, nämlich die übermäßige Prime cis→c.

Den Unterschied hebt erst die gleichstufige Stimmung auf, da sie das pythagoreische Komma (= Apotome-Leimma) zum Verschwinden bringt und dadurch eine enharmonische Verwechslung ermöglicht.

Die Einbeziehung der reinen großen Terz mit der Proportion ⁵⁄₄ in der seit der Renaissance aufkommenden reinen Stimmung änderte die Größenordnung der Halbtöne. Der diatonische Halbton, der große Halbton mit der Proportion ${\displaystyle {\frac {16}{15}}{\widehat {\approx }}\ {\text{112 Cent}}}$ kann nun dem unteren Bereich der Obertonreihe zugeordnet werden.

Wegen der Existenz von zwei Ganztönen gibt es auch zwei chromatische Halbtöne (übermäßige Primen):

Die kleinen chromatischen Halbtöne mit den Proportionen ${\displaystyle {\frac {135}{128}}{\widehat {\approx }}\ {\text{92 Cent}}}$ und ${\displaystyle {\frac {25}{24}}{\widehat {\approx }}\ {\text{71 Cent}}}$.

Beispiel:

Grifftabelle nach Peter Prelleur The Art of Playing on the Violin (1730)

Noch heute gilt bei Intonationen von A-cappella-Chören die folgende Faustregel (Regel des Weißenburger Kantors Maternus Beringer, 1610).[3]

Musikbeispiel 1: Akkorde hier nach „Selig seid ihr“ EKG Württemberg Nr. 651

rein Stimmung mitteltönige Stimmung gleichstufige Stimmung

Musikbeispiel 2: Passus duriusculus. Akkorde hier nach W.A. Mozart „Misericordias Domini“ d-Moll (KV 205 a).

Die Halbtonschritte im Bass betragen in der reinen Stimmung

c → h: 112 Cent h → b 92 Cent b → a 112 Cent a → as 71 Cent as → g 112 Cent

Als ein Hundertstel des gleichstufigen Halbtons wurde gegen Ende des 19. Jahrhunderts die Intervalleinheit Cent festgelegt. Sie erlaubt einen besonders klaren Größenvergleich bei den verschiedenen Halbtönen:

${\displaystyle C-{\frac {9}{8}}-D-{\frac {9}{8}}-E-{\frac {256}{243}}-F-{\frac {9}{8}}-G-{\frac {9}{8}}-A-{\frac {9}{8}}-H-{\frac {256}{243}}-C}$ bzw. … ${\displaystyle A-{\frac {256}{243}}-B-{\frac {9}{8}}-C}$

Die Apotome ist ein rein rechnerisches Intervall. In der mittelalterlichen Musik werden nie die beiden Töne B und H gleichzeitig verwendet.

${\displaystyle C-{\frac {9}{8}}-D-{\frac {10}{9}}-,E-{\frac {16}{15}}-F-{\frac {9}{8}}-G-{\frac {10}{9}}-,A-{\frac {9}{8}}-,H-{\frac {16}{15}}-C}$

Die Frequenzverhältnisse sind – bis auf die Oktave ( ²⁄₁) und große Terz ( ⁵⁄₄) – irrational. Deshalb wird die Intervallgröße in Cent angegeben.

C – 193 Cent – D – 193 Cent – E – 117 Cent – F – 193 Cent – G – 193 Cent – A – 193 Cent – H – 117 Cent – C

C – 200 Cent – D – 200 Cent – E – 100 Cent – F – 200 Cent – G – 200 Cent – A – 200 Cent – H – 100 Cent – C

Eine zwölfstufige Tonleiter ausschließlich aus Halbtonschritten wird chromatische Tonleiter genannt. Die Halbtonschritte sind teils diatonisch (kleine Sekunde) teils chromatisch (übermäßige Prime). Chromatische Halbtöne befinden sich auf derselben Linie, diatonische Halbtöne auf benachbarten Linien.

• Halbton aufwärts C-Des^ⓘ
• Halbton abwärts C-H^ⓘ